5.2: Ejercicios

1 ✳

¿Verdadero o falso?

1. \(\vecs{ \nabla} \cdot(\textbf{a} \times\vecs{r} ) = 0\text{,}\)donde\(\textbf{a}\) es un vector constante en\(\mathbb{R}^3\), y\(\vecs{r} \) es el campo vector\(\vecs{r} = (x, y, z)\text{.}\)
2. \(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} f) = 0\)para todos los campos\(f\) escalares\(\mathbb{R}^3\) con segundas derivadas parciales continuas.
3. \(\vecs{ \nabla} \cdot(f \vecs{F} ) = \vecs{ \nabla} (f)\cdot \vecs{F} + f \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{,}\)para cada campo\(\vecs{F} \) vectorial\(\mathbb{R}^3\) con derivadas parciales continuas, y cada función\(f\) escalar\(\mathbb{R}^3\) con derivadas parciales continuas.
4. Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en la región\(D\text{,}\) donde\(D\) está\(\mathbb{R}^3\) sin el origen. Si a\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \gt 0\) lo largo\(D\text{,}\) entonces el flujo de\(F\) a través de la esfera de radio\(5\) con centro en el origen es positivo.
5. Si\(\vecs{F} \) se define un campo vectorial y tiene derivadas parciales continuas en todas partes\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y satisface en\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\text{,}\) todas partes, entonces, para cada esfera, el flujo que sale de un hemisferio es igual al flujo hacia el hemisferio opuesto.
6. Si\(\vecs{r} (t)\) es una trayectoria dos veces diferenciable continuamente\(\mathbb{R}^2\) con curvatura constante\(\kappa\text{,}\), entonces\(\vecs{r} (t)\) parametriza parte de un círculo de radio\(1/\kappa\text{.}\)
7. El campo vectorial\(\vecs{F} = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}\,,\,\frac{x}{x^2+y^2}\right)\) es conservador en su dominio, el cual está\(\mathbb{R}^2\text{,}\) sin el origen.
8. Si un campo vectorial\(\vecs{F} = (P, Q)\) en\(\mathbb{R}^2\) tiene en\(Q = 0\) todas partes,\(\mathbb{R}^2\text{,}\) entonces la integral de línea\(\oint\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) es cero, por cada curva cerrada simple en\(\mathbb{R}^2\text{.}\)
9. Si la aceleración y la velocidad de una partícula en movimiento\(\mathbb{R}^3\) son constantes, entonces el movimiento se está produciendo a lo largo de una espiral.

2 ✳

¿Verdadero o falso?

1. \(\vecs{ \nabla} \times(\textbf{a} \times\vecs{r} ) = 0\text{,}\)donde\(\textbf{a}\) es un vector constante en\(\mathbb{R}^3\), y\(\vecs{r} \) es el campo vector\(\vecs{r} = (x, y, z)\text{.}\)
2. \(\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} f) = 0\)para todos los campos\(f\) escalares\(\mathbb{R}^3\) con segundas derivadas parciales continuas.
3. \(\vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} ) = 0\)para cada campo vectorial\(\vecs{F} \) encendido\(\mathbb{R}^3\) con segundas derivadas parciales continuas.
4. Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en la región\(D\text{,}\) donde\(D\) está\(\mathbb{R}^3\) sin el origen. Si\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\text{,}\) entonces el flujo de\(\vecs{F} \) a través de la esfera de radio\(5\) con centro en el origen es\(0\text{.}\)
5. Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en la región\(D\text{,}\) donde\(D\) está\(\mathbb{R}^3\) sin el origen. Si\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =\vecs{0}\) entonces\(\oint_C\vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) es cero, por cada curva cerrada simple y suave\(C\) en la\(\mathbb{R}^3\) que se evita el origen.
6. Si\(\vecs{F} \) se define un campo vectorial y tiene derivadas parciales continuas en todas partes\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y satisface en\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \gt 0\text{,}\) todas partes, entonces, para cada esfera, el flujo que sale de un hemisferio es mayor que el flujo hacia el hemisferio opuesto.
7. Si\(\vecs{r} (t)\) es un camino\(\mathbb{R}^3\) con curvatura constante\(\kappa\text{,}\) entonces\(\vecs{r} (t)\) parametriza parte de un círculo de radio\(1/\kappa\text{.}\)
8. El campo vectorial\(\vecs{F} = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}\,,\,\frac{x}{x^2+y^2} \,,\,z\right)\) es conservador en su dominio, que está\(\mathbb{R}^3\text{,}\) sin el\(z\) eje -eje.
9. Si todas las líneas de flujo de un campo vectorial\(\mathbb{R}^3\) son paralelas al\(z\) eje -eje, entonces la circulación del campo vectorial alrededor de cada curva cerrada es\(0\text{.}\)
10. Si la velocidad de una partícula en movimiento es constante, entonces su aceleración es ortogonal a su velocidad.

3 ✳

1. ¿Verdadero o falso? Si\(\vecs{r} (t)\) es la posición en el momento\(t\) de que un objeto se mueve\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y\(\vecs{r} (t)\) es dos veces diferenciable, entonces\(|\vecs{r} ''(t)|\) es el componente tangencial de su aceleración.
2. Let\(\vecs{r} (t)\) es una curva suave\(\mathbb{R}^3\) con unidad tangente, vectores normales y binormales\(\hat{\textbf{T}}(t)\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}(t)\text{,}\)\(\hat{\textbf{B}}(t)\text{.}\) Que dos de estos vectores abarcan el plano normal a la curva en\(\vecs{r} (t)\text{?}\)
3. ¿Verdadero o falso? Si\(\vecs{F} = P\hat{\pmb{\imath}} + Q\hat{\pmb{\jmath}} + R\hat{\mathbf{k}}\) es un campo vectorial en\(\mathbb{R}^3\) tal que\(P\text{,}\)\(Q\text{,}\)\(R\) tiene derivadas continuas de primer orden, y si en\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \vecs{0}\) todas partes\(\mathbb{R}^3\), entonces\(\vecs{F} \) es conservador.
4. ¿Verdadero o falso? Si\(\vecs{F} = P\hat{\pmb{\imath}} + Q\hat{\pmb{\jmath}} + R\hat{\mathbf{k}}\) es un campo vectorial en\(\mathbb{R}^3\) tales que\(P\text{,}\)\(Q\text{,}\)\(R\) tienen derivadas continuas de segundo orden, entonces\(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \cdot F) = 0\text{.}\)
5. ¿Verdadero o falso? Si\(\vecs{F} \) es un campo vectorial en\(\mathbb{R}^3\) tal que\(|\vecs{F} (x, y, z)| = 1\) para todos\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\text{,}\) y si\(S\) es la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}\) entonces\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = 4\pi\text{.}\)
6. ¿Verdadero o falso? Cada superficie\(S\) cerrada\(\mathbb{R}^3\) es orientable. (Recordemos que\(S\) está cerrado si es el límite de una región sólida\(E\text{.}\))

4 ✳

1. En la curva que se muestra a continuación (una hélice que se encuentra en la superficie de un cono), ¿la curvatura aumenta, disminuye o es constante a medida que aumenta z?

   

2. De las dos funciones que se muestran a continuación, una es una función\(f(x)\) y otra es su curvatura ¿\(\kappa(x)\text{.}\)Cuál es cuál?

   

3. Dejar\(C\) ser la curva de intersección del cilindro\(x^2 + z^2 = 1\) y el sillín\(xz = y\text{.}\) Parametrise\(C\text{.}\) (Asegúrese de especificar el dominio de su parametrización.)
4. Dejar\(H\) ser la rampa helicoidal (también conocida como helicoide) que gira alrededor del\(z\) eje en sentido horario visto desde arriba, comenzando en el eje\(z = 0\text{,}\) y cuando y aumentando\(2\pi\) las unidades cada vez que hace una revolución completa. Dejar\(S\) ser la porción de la\(H\) cual se encuentra fuera del cilindro\(x^2 + y^2 = 4\text{,}\) por encima del\(z = 0\) plano y por debajo del\(z = 5\) plano. Elige una de las siguientes funciones y da el dominio en el que la función que has elegido parametriza S. (Pista: Solo es posible una de las siguientes funciones.)
   1. \(\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \cos v, u \sin v, u\big)\)
   2. \(\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \cos v, u \sin v, v\big)\)
   3. \(\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \sin v, u \cos v, u\big)\)
   4. \(\displaystyle \vecs{r} (u, v) = \big(u \sin v, u \cos v, v\big)\)
5. Anote una curva parametrizada de curvatura cero y longitud de arco\(1\text{.}\) (Asegúrese de especificar el dominio de su parametrización).
6. Si\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) es una constante\(C\) en todos\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y\(S\) es un cubo de unidad de volumen tal que el flujo hacia afuera a través de cada lado de\(S\) es\(1\text{,}\) lo que es\(C\text{?}\)
7. Let

   \[ \vecs{F} (x, y) = \big(ax + by\,,\, cx + dy\big) \nonumber \]

   Dar el conjunto completo de\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\) y\(d\) tal que\(\vecs{F} \) sea conservador.
8. Si\(\vecs{r} (s)\) ha sido parametrizado por arclength (es decir,\(s\) es arclength), ¿cuál es la longitud de arco de\(\vecs{r} (s)\) entre\(s = 3\) y\(s = 5\text{?}\)
9. Dejar\(\vecs{F} \) ser un campo vectorial 2D el cual se define en todas partes excepto en los puntos marcados\(P\) y\(Q\text{.}\) Supongamos que en\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0\) todas partes en el dominio de\(\vecs{F} \text{.}\) Considera las cinco curvas\(R\text{,}\)\(S\text{,}\)\(T\text{,}\)\(U\text{,}\) y\(V\) se muestran en la imagen.

   ¿Cuál de los siguientes es necesariamente cierto?

   

   1. \(\displaystyle \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_T \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \)
   2. \(\displaystyle \int_R \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_T \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_U \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = 0\)
   3. \(\displaystyle \int_R \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_T \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_U \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \)
   4. \(\displaystyle \int_U \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = \int_R \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} + \int_S \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \)
   5. \(\displaystyle \int_V \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} = 0\)
10. Anote un campo vectorial 3D de\(\vecs{F} \) tal manera que para todas las superficies cerradas\(S\text{,}\) el volumen encerrado por\(S\) sea igual a

    \[ \iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

11. Considere el campo vectorial\(\vecs{F} \) en el\(xy\) plano -plano que se muestra a continuación. ¿El\(\hat{\mathbf{k}}^{\rm th}\) componente de\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) a\(P\) positivo, negativo o cero?

5 ✳

Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. Si\(\vecs{F} \) es un campo vectorial 3D definido en todos\(\mathbb{R}^3\), y\(S_1\) y\(S_2\) son dos superficies con el mismo límite, pero\(\iint_{S_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \ne \iint_{S_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) entonces no\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) es cero en ninguna parte.
2. Si\(\vecs{F} \) es un campo vectorial que satisface\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) = 0 cuyo dominio no está simplemente conectado, entonces no\(\vecs{F} \) es conservador.
3. El círculo osculante de una curva\(C\) en un punto tiene el mismo vector tangente unitario, vector normal unitario y curvatura que\(C\) en ese punto.
4. Un planeta que orbita un sol tiene un periodo proporcional al cubo del eje mayor de la órbita.
5. Para cualquier campo vectorial 3D\(\vecs{F} \text{,}\)\(\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\) = 0.
6. Un campo cuya divergencia es cero en todas partes en su dominio tiene superficies cerradas\(S\) en su dominio.
7. El campo de fuerza gravitacional es conservador.
8. Si\(\vecs{F} \) es un campo definido en todos\(\mathbb{R}^3\) esos que\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 3\) para alguna curva\(C\text{,}\) entonces\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) es distinto de cero en algún momento.
9. El componente normal de aceleración para una curva de curvatura constante es constante.
10. La curva definida por

    \[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^4)\,\hat{\pmb{\imath}} + 3t^4\hat{\pmb{\jmath}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty, \nonumber \]

    es la misma que la curva definida por

    \[ \vecs{r} _2(t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + 3t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

6 ✳

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (T) y cuáles son falsas (F)?

Todas las funciones de valor real\(f(x,y,z)\) y todos los campos vectoriales\(\vecs{F} (x, y, z)\) tienen dominio,\(\mathbb{R}^3\) a menos que se especifique

1. Si\(f\) es una función continua de valor real y\(S\) una superficie orientada lisa, entonces

   \[ \iint_S f\, \text{d}S = -\iint_{-S} f\,\text{d}S \nonumber \]

   donde `\(-S\)'denota la superficie\(S\) pero con la orientación opuesta.
2. Supongamos que los componentes del campo vectorial\(\vecs{F} \) tienen derivadas parciales continuas. Si\(\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0\) por cada superficie lisa cerrada, entonces\(\vecs{F} \) es conservadora.
3. Supongamos que\(S\) es una superficie lisa delimitada por una curva cerrada simple lisa\(C\text{.}\) La orientación de\(C\) está determinada por la de\(S\) como en el teorema de Stokes. Supongamos que la función valorada real\(f\) tiene derivadas parciales continuas. Entonces

   \[ \int_C f\,\text{d}x =\iint_S \left(\frac{\partial f}{\partial z}\hat{\pmb{\jmath}} - \frac{\partial f}{\partial y}\hat{\mathbf{k}}\right)\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

4. Supongamos que la función de valor real\(f(x,y,z)\) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. Entonces

   \[ (\vecs{ \nabla} f ) \times (\vecs{ \nabla} f ) = \vecs{ \nabla} \times (\vecs{ \nabla} f ) \nonumber \]

5. La curva parametrizada por

   \[ \vecs{r} (t) = \big(2 + 4t^3 \,,\, -t^3 \,,\, 1 - 2t^3\big)\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

   tiene curvatura\(\kappa(t) = 0\) para todos\(t\text{.}\)
6. Si una curva suave se parametriza por\(\vecs{r} (s)\) donde\(s\) es la longitud del arco, entonces su vector tangente satisface

   \[ |\vecs{r} '(s)| = 1 \nonumber \]

7. Si\(S\) es la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) y\(\vecs{F} \) es un campo vectorial constante, entonces\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0\text{.}\)
8. Existe un campo vectorial\(\vecs{F} \) cuyos componentes tienen derivadas parciales continuas de segundo orden tales que\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = (x, y, z)\text{.}\)

7 ✳

El campo vectorial\(\vecs{F} = P (x, y)\,\hat{\pmb{\imath}} + Q(x, y)\,\hat{\pmb{\jmath}}\) se traza a continuación.

En las siguientes preguntas, dé la respuesta que mejor se apoye en la trama.

1. La derivada\(P_y\) en el punto etiquetado\(A\) es (a) positiva, (b) negativa, (c) cero, (d) no hay suficiente información para contar.
2. La derivada\(Q_x\) en el punto etiquetado\(A\) es (a) positiva, (b) negativa, (c) cero, (d) no hay suficiente información para contar.
3. El rizo de\(\vecs{F} \) en el punto etiquetado\(A\) es (a) en la dirección de\(+\hat{\mathbf{k}}\) (b) en la dirección de\(-\hat{\mathbf{k}}\) (c) cero (d) no hay suficiente información para contar.
4. El trabajo realizado por el campo vectorial sobre una partícula que viaja de punto\(B\) a punto a\(C\) lo largo de la curva\(\mathcal{C}_1\) es (a) positivo (b) negativo (c) cero (d) no hay suficiente información para contar.
5. El trabajo realizado por el campo vectorial sobre una partícula que viaja de punto\(B\) a punto a\(C\) lo largo de la curva\(\mathcal{C}_2\) es (a) positivo (b) negativo (c) cero (d) no hay suficiente información para contar.
6. El campo vectorial\(\vecs{F} \) es (a) el gradiente de alguna función\(f\) (b) el rizo de algún campo vectorial\(\textbf{G}\) (c) no conservador (d) libre de divergencia.

8 ✳

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (T) y cuáles son falsas (F)?

1. La curva definida por

   \[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2 )\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2 )\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

   es la misma que la curva definida por

   \[ \vecs{r} _2 (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

2. La curva definida por

   \[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2 )\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0 \le t \le 1 \nonumber \]

   es la misma que la curva definida por

   \[ \vecs{r} _2(t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0 \le t \le 1 \nonumber \]

3. Si una curva suave se parametriza por\(\vecs{r} (s)\) donde\(s\) es la longitud del arco, entonces su vector tangente satisface

   \[ |\vecs{r} '(s)| = 1 \nonumber \]

4. Si\(\vecs{r} (t)\) define una curva suave\(C\) en el espacio que tiene una curvatura constante\(\kappa \gt 0\text{,}\), entonces\(C\) es parte de un círculo con radio\(1/\kappa\text{.}\)
5. Si la velocidad de un objeto en movimiento es constante, entonces su aceleración es ortogonal a su velocidad.
6. El campo vectorial

   \[ \vecs{F} (x, y, z) = \frac{-y}{x^2+y^2} \hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2} \hat{\pmb{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   es conservadora.
7. Supongamos que el campo vectorial\(\vecs{F} (x, y, z)\) está definido en un dominio abierto y sus componentes tienen derivadas parciales continuas. Si\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) es conservador.
8. La región\(D =\left \{ (x, y) \big|B x^2 + y^2 \gt 1 \right \}\) está simplemente conectada.
9. La región\(D = \left \{ (x, y) \big|B y - x^2 \gt 0 \right \}\) está simplemente conectada.
10. Si\(\vecs{F} \) es un campo vectorial cuyos componentes tienen dos derivadas parciales continuas, entonces

    \[ \iint_S \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0 \nonumber \]

    cuando\(S\) es el límite de una región sólida\(E\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

9 ✳

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (T) y cuáles son falsas (F)?

1. Si una curva suave\(C\) se parametriza por\(\vecs{r} (s)\) donde\(s\) es la longitud del arco, entonces el vector tangente\(\vecs{r} '(s)\) satisface\(|\vecs{r} '(s)| = 1\text{.}\)
2. Si\(\vecs{r} (t)\) define una curva suave\(C\) en el espacio que tiene una curvatura constante\(\kappa \gt 0\text{,}\), entonces\(C\) es parte de un círculo con radio\(1/\kappa\text{.}\)
3. Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial continuo con dominio abierto\(D\text{.}\) If

   \[ \int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 0 \nonumber \]

   para cada curva cerrada lisa por tramos\(C\) en\(D\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) es conservadora.
4. Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial con dominio abierto\(D\text{,}\) y los componentes de\(\vecs{F} \) tienen derivadas parciales continuas. Si en\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} = 0\) todas partes\(D\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) es conservador.
5. La curva definida por

   \[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2)\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

   es la misma que la curva definida por

   \[ \vecs{r} _2 (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

6. La curva definida por

   \[ \vecs{r} _1(t) = \cos(t^2)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t^2)\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t \le 1 \nonumber \]

   es la misma que la curva definida por

   \[ \vecs{r} _2 (t) = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]

7. Supongamos que\(\vecs{F} (x, y, z)\) es un campo vectorial cuyos componentes tienen derivadas parciales continuas de segundo orden. Entonces\(\vecs{ \nabla} \cdot (\vecs{ \nabla} \times F) = 0\text{.}\)
8. Supongamos que la función de valor real\(f(x, y, z)\) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. Entonces\(\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} f) = 0\text{.}\)
9. La región\(D = \left \{ (x, y) \big| x^2 + y^2 \gt 1 \right \}\) está simplemente conectada.
10. La región\(D = \left \{ (x, y) \big| y - x^2 \gt 0 \right \}\) está simplemente conectada.

10 ✳

Dejar\(\vecs{F} \text{,}\)\(\textbf{G}\) ser campos vectoriales, y\(f\text{,}\)\(g\) ser campos escalares. Supongamos que\(\vecs{F} \text{,}\)\(\textbf{G}\text{,}\)\(f\text{,}\)\(g\) se definen en todos\(\mathbb{R}^3\) y tienen derivadas parciales continuas de todas las órdenes en todas partes. Marque cada uno de los siguientes como Verdadero (T) o Falso (F).

1. Si\(C\) es una curva cerrada y\(\vecs{ \nabla} f=\vecs{0}\text{,}\) luego\(\int_C f\,\text{d}s=0\text{.}\)
2. Si\(\vecs{r} (t)\) es una parametrización de una curva suave\(C\) y el binormal\(\textbf{B}(t)\) es constante entonces\(C\) es una línea recta.
3. Si\(\vecs{r} (t)\) es la posición de una partícula que viaja a velocidad constante, entonces\(\vecs{r} '(t)\cdot\vecs{r} ''(t)=0\text{.}\)
4. Si\(C\) es un camino de puntos\(A\) a\(B\text{,}\) entonces la integral de línea\(\int_C\big(\vecs{F} \times\textbf{G}\big)\cdot\text{d}\vecs{r} \) es independiente de la ruta\(C\text{.}\)
5. La integral de línea\(\int_C f\,\text{d}s\) no depende de la orientación de la curva\(C\text{.}\)
6. Si\(S\) es una superficie paramétrica\(\vecs{r} (u,v)\), entonces una normal a\(S\) viene dada por

   \[\begin{gather*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u} \end{gather*}\]

7. El área superficial de la superficie paramétrica\(S\) dada por\(\vecs{r} (u,v) = x(u,v)\,\hat{\pmb{\imath}} + y(u,v)\,\hat{\pmb{\jmath}} + z(u,v)\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\((u,v)\in D\text{,}\) viene dada por

   \[\begin{gather*} \iint_D \left(1+\big(\tfrac{\partial z}{\partial u}\big)^2 +\big(\tfrac{\partial z}{\partial v}\big)^2\right)^{1/2} \text{d}u\text{d}v \end{gather*}\]

8. Si\(\vecs{F} \) es el campo de velocidad de un fluido incompresible entonces\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} =0\text{.}\)
9. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{F} \times\textbf{G}\big) = (\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )\textbf{G} + (\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G})\vecs{F} \)

11 ✳

Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas (T) o falsas (F). Puede suponer que todas las funciones y campos vectoriales están definidos en todas partes y tienen derivados de todos los órdenes en todas partes.

1. La divergencia de\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) es cero, para cada\(\vecs{F} \text{.}\)
2. En una región simplemente conectada,\(\int_C \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \) depende solo de los puntos finales de\(C\text{.}\)
3. Si\(\vecs{ \nabla} f = 0\text{,}\) entonces\(f\) es una función constante.
4. Si\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \vecs{0}\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) es un campo vectorial constante.
5. Si\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\text{,}\) entonces\(\iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = 0\) por cada superficie cerrada\(S\text{.}\)
6. Si\(\int_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} = 0\) por cada curva cerrada\(C\text{,}\) entonces\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0\text{.}\)
7. Si\(\vecs{r} (t)\) es una trayectoria en tres espacios con velocidad constante\(|\vecs{v} (t)|\text{,}\) entonces la aceleración es perpendicular al vector tangente, i.e.\(\textbf{a}\cdot\hat{\textbf{T}} = 0\text{.}\)
8. Si\(\vecs{r} (t)\) es un camino en tres espacios con curvatura constante\(\kappa\text{,}\) entonces\(\vecs{r} (t)\) parametriza parte de un círculo de radio\(1/\kappa\text{.}\)
9. Dejar\(\vecs{F} \) ser un campo vectorial y supongamos que\(S_1\) y\(S_2\) son superficies orientadas con la misma curva límite\(C\text{,}\) y\(C\) se le da la dirección que es compatible con las orientaciones de\(S_1\) y\(S_2\). Entonces\(\iint_{S 1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = \iint_{S 2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\text{.}\)
10. Que\(A(t)\) sea el área barrida por la trayectoria de un planeta de vez\(t=0\) en cuando\(t\text{.}\) El\(\dfrac{dA}{dt}\) es constante.

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Encuentra la identidad correcta, si\(f\) es una función y\(\textbf{G}\) y\(\vecs{F} \) son campos vectoriales. Seleccione la declaración verdadera.

1. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f \vecs{F} ) = f \vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} ) + (\vecs{ \nabla} f ) \times\vecs{F} \)
2. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f \vecs{F} ) = f \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} ) + \vecs{F} \cdot \vecs{ \nabla} f\)
3. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \times(f \vecs{F} ) = f \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} ) + \vecs{F} \cdot \vecs{ \nabla} f\)
4. Nada de lo anterior es cierto.

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Verdadero o Falso. Considere los campos vectoriales\(\vecs{F} \) y las funciones escalares\(f\) y\(g\) que se definen y suavizan en todo el espacio tridimensional. Dejar\(\vecs{r} =(x,y,z)\) representar un punto variable en el espacio, y dejar\(\boldsymbol{\omega} = (\omega_1,\omega_2,\omega_3)\) ser un vector constante. Dejar\(\Omega\) ser un dominio delimitado sin problemas con normal exterior\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) ¿Cuáles de los siguientes son identites, siempre válidos bajo estos supuestos?

1. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} f = 0\)
2. \(\displaystyle \vecs{F} \times\vecs{ \nabla} f = f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \)
3. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} ^2 f = \vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot f)\)
4. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} f = \vecs{0}\)
5. \(\displaystyle (\vecs{ \nabla} \times f)+(\vecs{ \nabla} \times g) = \vecs{ \nabla} f\times\vecs{ \nabla} g\)
6. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = 0\)
7. \(\vecs{ \nabla} \cdot\frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^2} = 0\)para\(\vecs{r} \ne\vecs{0}\)
8. \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \times(\boldsymbol{\omega}\times\vecs{r} ) = \vecs{0}\)
9. \(\displaystyle \iiint_\Omega f\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \,\text{d}V =-\iiint_\Omega \vecs{ \nabla} f\cdot\vecs{F} \,\text{d}V +\iint_{\partial\Omega} f\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)
10. \(\displaystyle \iint_{\partial\Omega} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =- \iiint_\Omega \vecs{ \nabla} f\,\text{d}V\)

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Determinar si las declaraciones dadas son True o Falso. Proporcione una razón o un contraejemplo.

1. Un campo de vector constante es conservador en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)
2. Si\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 0\) para todos los puntos en el dominio de\(\vecs{F} \) entonces\(\vecs{F} \) es un campo vector constante.
3. Dejar\(\vecs{r} (t)\) ser una parametrización de una curva\(C\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Si\(\vecs{r} (t)\) y\(\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\) son ortogonales en todos los puntos de la curva\(C\text{,}\) entonces\(C\) se encuentra en la superficie de una esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) para algunos\(a \gt 0\text{.}\)
4. La curvatura\(\kappa\) en un punto de una curva depende de la orientación de la curva.
5. El dominio de un campo vectorial conservador debe estar simplemente conectado.

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Proporcione una respuesta breve a cada pregunta.

1. Compute\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(x^2 y\,\hat{\pmb{\imath}} + e^y \sin x\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{zx}\,\hat{\mathbf{k}}\big)\)
2. Compute\(\vecs{ \nabla} \times(\cos x^2\,\hat{\pmb{\imath}} - y^3 z\,\hat{\pmb{\jmath}} + xz\,\hat{\mathbf{k}}\big)\)
3. Let

   \[ \vecs{F} = \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} +\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}} +z^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   y que\(D\) sea el dominio de\(\vecs{F} \text{.}\) Considerar los siguientes cuatro estados.

   1. \(D\)está conectado
   2. \(D\)está desconectado
   3. \(D\)simplemente está conectado
   4. \(D\)no está simplemente conectado

   Elija una de las siguientes opciones:

   1. (II) y (III) son verdaderas
   2. (I) y (III) son verdaderas
   3. (I) y (IV) son verdaderas
   4. (II) y (IV) son verdaderas
   5. No hay suficiente información para determinar
4. ¿Verdadero o Falso? Si la velocidad de una partícula es constante entonces la aceleración de la partícula es cero. Si tu respuesta es Verdadera, proporciona una razón. Si tu respuesta es False, da un ejemplo de contador.

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¿Cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas? Recordemos que\(f \in C^k\) significa que todos los derivados de\(f\) hasta el orden\(k\) existen y son continuos.

1. \(\vecs{ \nabla} \times(f \vecs{ \nabla} f ) = \vecs{0}\)para todas las funciones\(C^2\) escalares\(f\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)
2. \(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} ) = \vecs{ \nabla} f \cdot\vecs{F} + f\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} \)para todas las funciones\(C^1\) escalares\(f\) y campos\(C^1\) vectoriales\(\vecs{F} \) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)
3. Una curva de espacio suave\(C\) con curvatura constante\(\kappa = 0\) debe ser parte de una línea recta.
4. Una curva de espacio suave\(C\) con curvatura constante\(\kappa \ne 0\) debe ser parte de un círculo de radio\(1/\kappa\text{.}\)
5. Si\(f\) hay alguna función suave definida en\(\mathbb{R}^3\) y si\(C\) hay algún círculo, entonces\(\int_C\vecs{ \nabla} f\cdot\text{d}\vecs{r} =0\text{.}\)
6. Supongamos que\(\vecs{F} \) es un campo vectorial suave en\(\mathbb{R}^3\) y en\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} =0\) todas partes. Entonces, para cada esfera, el flujo que sale de un hemisferio es igual al flujo hacia el hemisferio opuesto.
7. Let\(\vecs{F} (x, y,z)\) Ser un campo vectorial continuamente diferenciable que se define para cada\((x, y, z)\text{.}\) Entonces,\(\iint_S\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0\) para cualquier superficie cerrada\(S\text{.}\) (Una superficie cerrada es una superficie que es el límite de una región sólida.)

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Verdadero o falso (se deben dar razones):

1. Si un campo vectorial suave\(\mathbb{R}^3\) está libre de rizo y libre de divergencia, entonces su potencial es armónico. Por definición,\(\phi(x,y,z)\) es armónico si\(\big(\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\big) \phi(x,y,z)=0\text{.}\)
2. Si\(\vecs{F} \) es un campo vectorial conservador suave\(\mathbb{R}^3\text{,}\) entonces su flujo a través de cualquier superficie lisa cerrada es cero.

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Las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas. Decidir cuál. Si es cierto, dar una prueba. Si es falso, proporcione un contraejemplo.

1. Si\(f\) hay alguna función suave definida en\(\mathbb{R}^3\) y si\(C\) hay algún círculo, entonces\(\int_{C}\vecs{ \nabla} f \cdot \text{d}\vecs{r} =0\text{.}\)
2. Hay un campo vectorial\(\vecs{F} \) que obedece\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

19 ✳

Respuestas cortas:

1. Dejar\(S\) ser la superficie nivelada\(f(x,y,z)=0\text{.}\) ¿Por qué es\(\int_C \vecs{ \nabla} f\cdot \text{d}\vecs{r} =0\) para cualquier curva\(C\) en\(S\text{?}\)
2. Un punto que se mueve en el espacio con posición\(\vecs{r} (t)\) en el tiempo\(t\) satisface la condición\(\textbf{a}(t)=f(t)\vecs{r} (t)\) para todos\(t\) para alguna función valorada real\(f\text{.}\) ¿Por qué es\(\vecs{v} \times\vecs{r} \) un vector constante?
3. ¿Por qué la trayectoria del punto en (b) está contenida en un plano?
4. Es el vector binormal,\(\hat{\textbf{B}}\text{,}\) de una partícula que se mueve en el espacio, siempre ortogonal a la unidad tangente vector\(\hat{\textbf{T}}\) y unidad normal\(\hat{\textbf{N}}\text{?}\)
5. Si la curvatura de la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio es constante, ¿la aceleración es cero cuando se produce la velocidad máxima?

20 ✳

Una región\(R\) está delimitada por una simple curva cerrada\(\mathcal{C}\text{.}\) La curva\(\mathcal{C}\) está orientada de tal manera que\(R\) se encuentra a la izquierda de\(\mathcal{C}\) al caminar\(\mathcal{C}\) en la dirección de\(\mathcal{C}\text{.}\) Determinar si cada una de las siguientes expresiones es igual o no al área de\(R\text{.}\) Debes justificar tus conclusiones.

1. \(\displaystyle \frac{1}{2} \int_\mathcal{C} -y \,d x +x \,d y\)
2. \(\displaystyle \frac{1}{2} \int_\mathcal{C} -x \,d x + y \,d y\)
3. \(\displaystyle \int_\mathcal{C} y \,d x\)
4. \(\displaystyle \int_\mathcal{C} 3y\,d x + 4x \,d y\)

21 ✳

Di si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y explica por qué.

1. Una partícula en movimiento tiene vectores de velocidad y aceleración que satisfacen\(|\vecs{v} | = 1\) y\(|\textbf{a}|=1\) en todo momento. Entonces la curvatura de la trayectoria de esta partícula es una constante.
2. Si\(\vecs{F} \) hay algún campo vectorial suave definido en\(\mathbb{R}^3\) y si\(S\) es alguna esfera, entonces

   \[ \iint_{S}\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=0 \nonumber \]

   Aquí\(\hat{\textbf{n}}\) está el exterior normal a\(S\text{.}\)
3. Si\(\vecs{F} \) y\(\textbf{G}\) son campos vectoriales suaves en\(\mathbb{R}^3\) y si\(\displaystyle \oint_C \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_C \textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} \) para cada círculo\(C\text{,}\) entonces\(\vecs{F} =\textbf{G}\text{.}\)

22 ✳

Tres Quickies:

1. Una partícula móvil con posición\(\vecs{r} (t) = (x(t),y(t),z(t))\) satisface

   \[ \textbf{a} = f(\vecs{r} ,\vecs{v} )\vecs{r} \nonumber \]

   para alguna función de valor escalar\(f\text{.}\) Demostrar que\(\vecs{r} \times\vecs{v} \) es constante.
2. Calcular\(\iint_\mathcal{S}(x\,\hat{\pmb{\imath}} - y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z^2\,\hat{\mathbf{k}})\cdot \hat{\textbf{n}}\text{d}S\text{,}\) dónde\(\mathcal{S}\) está el límite de cualquier cilindro circular recto sólido de radio\(b\) con una base en el plano\(z=1\) y la otra base en el plano\(z=3\text{.}\)
3. Dejar\(\vecs{F} \) y\(\textbf{G}\) ser campos vectoriales suaves definidos en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Supongamos que, por cada círculo que\(C\text{,}\) tenemos\(\oint_{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S \textbf{G}\cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) donde\(S\) está el disco orientado con límite\(C\text{.}\) Demostrar que\(\textbf{G}=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\)