1.5: Notación de suma y generalizaciones

Sumas

La mayoría de las operaciones como la suma de números se introducen como operaciones binarias. Es decir, se nos enseña que se pueden sumar dos números para darnos un solo número. En poco tiempo, nos encontramos con situaciones en las que se van a sumar más de dos números. Por ejemplo, si\(a_4\) se van a sumar cuatro números,\(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(a_3\text{,}\) y se van a sumar, su suma se puede anotar de varias maneras, como\(\)\(((a_1+a_2)+a_3)+a_4\) o\(\left(a_1+a_2\right)+\left(a_3+a_4\right)\text{.}\) En la primera expresión, se suman los dos primeros números, el resultado se agrega al tercer número, y ese resultado es sumado al cuarto número. En la segunda expresión se suman los dos primeros números y los dos últimos números y se suman los resultados de estas adiciones. Por supuesto, sabemos que los resultados finales serán los mismos. Esto se debe a que la suma de números es una operación asociativa. Para tales operaciones, no es necesario describir cómo se operarán más de dos objetos. Una suma de números como\(a_1+a_2+a_3+a_4\) se llama serie y a menudo se escribe\(\sum_{k=1}^4 a_k\) en lo que se llama notación de suma.

Primero recordamos algunos datos básicos sobre series que probablemente hayas visto antes. En el Capítulo 8 se aborda un tratamiento más formal de secuencias y series. El propósito aquí es dar al lector un conocimiento práctico de la notación de suma y llevar esta notación a través de la intersección y unión de conjuntos y otras operaciones matemáticas.

Una serie finita es una expresión como\(a_1+a_2+a_3 +\dots +a_n=\sum_{k=1}^{n} a_k\)

En la expresión\(\sum_{k=1}^{n} a_k\text{:}\)

• La variable\(k\) es referida como el índice, o el índice de suma.
• La expresión\(a_k\) es el término general de la serie. Define los números que se están sumando en la serie.
• El valor de\(k\) por debajo del símbolo de suma es el índice inicial y el valor por encima del símbolo de suma es el índice terminal.
• Se entiende que la serie es una suma de los términos generales donde el índice inicia con el índice inicial y aumenta en uno hasta e incluyendo el índice terminal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Finite Series

1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^4 a_i= a_1+ a_2+a_3+a_4\)
2. \(\displaystyle \sum_{k=0}^5 b_k=b_0+b_1+b_2+b_3+b_4+b_5\)
3. \(\displaystyle \sum_{i=-2}^2 c_i=c_{-2}+c_{-1}+c_0+c_1+c_2\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): More Finite Series

Si los términos generales de una serie son más específicos, la suma a menudo puede simplificarse. Por ejemplo,

1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^4 i^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30\)
2. \( \begin{aligned} \sum_{i=1}^5 (2i-1)&=(2\cdot 1-1)+(2\cdot 2-1)+(2\cdot 3-1)+(2\cdot 4-1)+(2\cdot 5-1)\\ & =1+3+5+7+9\\ & =25\\ \end{aligned}\text{.} \)

Generalizaciones

La notación de suma puede generalizarse a muchas operaciones matemáticas, por ejemplo,\(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=\underset{i=1}{\overset{4}{\cap }}A_i\)

Definición\(\PageIndex{1}\): Generalized Set Operations

\(A_1, A_2, \ldots , A_n\)Dejen ser conjuntos. Entonces:

1. \(\displaystyle A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}A_i\)
2. \(\displaystyle A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}A_i\)
3. \(\displaystyle A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\times }}A_i\)
4. \(\displaystyle A_1\oplus A_2\oplus \cdots \oplus A_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\oplus }}A_i\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Some Generalized Options

Si\(A_1 = \{0, 2, 3\}\text{,}\)\(A_2 = \{1, 2, 3, 6\}\text{,}\) y\(A_3 = \{-1, 0, 3, 9\}\text{,}\) entonces

\ begin {ecuación*}\ underset {i=1} {\ overset {3} {\ cap}} a_i=a_1\ cap A_2\ cap A_3=\ {3\}\ end {ecuación*}

y

\ begin {ecuación*}\ underset {i=1} {\ overset {3} {\ cup}} a_i=a_1\ copa A_2\ copa A_3=\ {-1,0,1,2,3,6,9\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Con esta notación es bastante fácil escribir expresiones largas en una forma bastante compacta. Por ejemplo, la declaración

\ begin {ecuation*} A\ cap\ left (B_1\ cup B_2\ cup\ cdots\ cup B_n\ right) =\ left (A\ cap B_1\ right)\ cup\ left (A\ cap B_2\ right)\ cup\ cdots\ cup\ left (A\ cap B_n\ right)\ end {equation*}

se convierte

\ begin {ecuación*} A\ cap\ left (\ underset {i=1} {\ overset {n} {\ cup}} B_i\ right) =\ underset {i=1} {\ overset {n} {\ cup}}\ left (A\ cap b_i\ right)\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Calcule las siguientes series:

1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^3 (2 + 3i)\)
2. \(\displaystyle \sum_{i=-2}^1 i^2\)
3. \(\sum_{j=0}^n 2^j\text{ }\)para\(n= 1, 2, 3, 4\)
4. \(\sum_{k=1}^n (2k-1)\)para\(n = 1, 2, 3, 4\)

Contestar

1. \(\displaystyle 24\)
2. \(\displaystyle 6\)
3. \(\displaystyle 3,7,15,31\)
4. \(\displaystyle 1,4,9,16\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Calcule las siguientes series:

1. \(\sum_{k=1}^3 k^n\)para\(n = 1, 2, 3, 4\)
2. \(\displaystyle \sum_{i=1}^5 20\)
3. \(\sum_{j=0}^3 \left(n^j+1\right)\)para\(n = 1, 2, 3,4\)
4. \(\sum_{k=-n}^n k\)para\(n = 1, 2, 3, 4\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

1. Exprese la fórmula\(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}= \frac{n}{n+1}\) sin usar notación de suma.
2. Verifica esta fórmula para\(n=3\text{.}\)
3. Repita las partes (a) y (b) para\(\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

Contestar

1. \(\displaystyle \frac{1}{1 (1+1)}+\frac{1}{2 (2+1)}+\frac{1}{3 (3+1)}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)
2. \(\displaystyle \frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\frac{1}{3(4)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}\)
3. \(1+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left(\frac{1}{4}\right)n^2(n+1)^2\)\(\quad 1+8+27=36 = \left(\frac{1}{4}\right)(3)^2(3+1)^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Verifique las siguientes propiedades para\(n = 3\text{.}\)

1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(a_i+ b_i\right) =\sum_{i=1}^n a_i +\sum_{i=1}^n b_i\)
2. \(\displaystyle c\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) = \sum_{i=1}^n c a_i\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Reescribe lo siguiente sin signo de suma para\(n = 3\text{.}\) No es necesario que entiendas o amplíes la notación\(\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)\) en este punto. \((x + y)^n= \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)x^{n-k}y^k\text{.}\)

Contestar

\((x+y)^3=\left(\text{}_0^3\right)x^3+\left(\text{}_1^3\right)x^{2}y+\left.(_2^3\right)x y^2+\left(\text{}_3^3\right)y^n\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Dibuja el diagrama de Venn para\(\underset{i=1}{\overset{3}{\cap }}A_i\text{.}\)
2. Express en “formato expandido”:\(A\cup (\underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}B_i)= \underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}(A \cup B_n)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para cualquier entero positivo\(k\text{,}\) let\(A_k = \{x \in \mathbb{Q}:k-1 < x \leq k\}\) y\(B_k = \{x \in \mathbb{Q}: -k < x < k\}\text{.}\) ¿Cuáles son los siguientes conjuntos?

1. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\cup }}A_i\)
2. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\cup }}B_i\)
3. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\cap }}A_i\)
4. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\cap }}B_i\)

Contestar

1. \(\displaystyle \{x\in \mathbb{Q}\mid 0 < x \leq 5\}\)
2. \(\displaystyle \{x\in \mathbb{Q}\mid -5 < x < 5\}=B_5\)
3. \(\displaystyle \emptyset\)
4. \(\displaystyle \{x\in \mathbb{Q}\mid -1 < x < 1\}=B_1\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para cualquier entero positivo\(k\text{,}\) let\(A_k = \{x \in \mathbb{Q}:\text0 < x < 1/k\}\) y\(B _k = \{x \in \mathbb{Q}:\,0 < x < k\}\text{.}\) ¿Cuáles son los siguientes conjuntos?

1. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cup }}A_i\)
2. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cup }}B_i\)
3. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cap }}A_i\)
4. \(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cap }}B_i\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

El símbolo\(\Pi\) se utiliza para el producto de los números de la misma manera que\(\Sigma\) se usa para las sumas. Por ejemplo,\(\prod _{i=1}^5 x_i=x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\text{.}\) Evalúe lo siguiente:

1. \(\displaystyle \prod _{i=1}^3 i^2\)
2. \(\displaystyle \prod _{i=1}^3 (2i+1)\)

Contestar

1. \(\displaystyle 36\)
2. \(\displaystyle 105\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Evaluar

1. \(\displaystyle \prod _{k=0}^3 2^k\)
2. \(\displaystyle \prod _{k=1}^{100} \frac{k}{k+1}\)