3.1: Proposiciones y Operadores Lógicos

Proposiciones

Definición\(\PageIndex{1}\): Proposition

Una proposición es una oración a la que uno y sólo uno de los términos verdadero o falso se puede aplicar de manera significativa.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Propositions

“Cuatro es par”, “\(4 \in \{1,3, 5\}\)” y “\(43 > 21\)” son proposiciones.

En la lógica tradicional, una declaración declarativa con un valor de verdad definido se considera una proposición. Aunque nuestro objetivo final es discutir la lógica matemática, no nos separaremos completamente del entorno tradicional. Esto es natural porque los supuestos básicos, o postulados, de la lógica matemática se modelan a partir de la lógica que usamos en la vida cotidiana. Dado que las oraciones compuestas se usan con frecuencia en el habla cotidiana, esperamos que las proposiciones lógicas contengan conectivos como la palabra “y”. El enunciado “Europa apoya la vida o Marte apoya la vida” es una proposición y, por lo tanto, debe tener un valor de verdad definido. Sea cual sea ese valor de verdad, debería ser lo mismo que el valor de verdad de “Marte apoya la vida o Europa apoya la vida”.

Operaciones lógicas

Hay varias formas en las que comúnmente combinamos declaraciones simples en compuestas. Las palabras/frases y, o, no, si... entonces... , y... si y sólo si... se puede agregar a una o más proposiciones para crear una nueva propuesta. Para evitar cualquier confusión, definiremos con precisión el significado de cada uno e introduciremos su símbolo estándar. Con excepción de la negación (no), todas las operaciones actúan sobre pares de proposiciones. Dado que cada proposición tiene dos posibles valores de verdad, hay cuatro formas en que la verdad puede asignarse a dos proposiciones. Al definir el efecto que una operación lógica tiene sobre dos proposiciones, se debe especificar el resultado para los cuatro casos. La forma más conveniente de hacerlo es con una tabla de verdad, que ilustraremos definiendo la palabra y.

Definición \(\PageIndex{2}\): Logical Conjunction

Si\(p\) y\(q\) son proposiciones, su conjunción,\(p \textrm{ and } q\) (denotada\(p \land q\)), está definida por la tabla de la verdad

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccc} p & q & p\ land q\\\ hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Nota\(\PageIndex{1}\)

1. Para leer esta tabla de verdad, debes darte cuenta de que cualquier línea representa un caso: un posible conjunto de valores para\(p\) y\(q\text{.}\)
2. Los números 0 y 1 se utilizan para denotar falso y verdadero, respectivamente. Esto es consistente con la forma en que muchos lenguajes de programación tratan las variables lógicas, o booleanas, ya que un solo bit, 0 o 1, puede representar un valor de verdad.
3. Para cada caso, el símbolo bajo\(p\) representa el valor de verdad de\(p\text{.}\) Lo mismo es cierto para\(q\text{.}\) El símbolo bajo\(p \land q\) representa su valor de verdad para ese caso. Por ejemplo, la segunda fila de la tabla de verdad representa el caso en el que\(p\) es falso,\(q\) es verdadero, y el valor de verdad resultante para\(p \land q\) es falso. Como en el discurso cotidiano, sólo\(p \land q\) es cierto cuando ambas proposiciones son verdaderas.
4. Así como las letras\(x\text{,}\)\(y\) y\(z\) se utilizan con frecuencia en álgebra para representar variables numéricas,\(p\text{,}\)\(q\) y\(r\) parecen ser los símbolos más utilizados para las variables lógicas. Cuando decimos que\(p\) es una variable lógica, queremos decir que cualquier propuesta puede tomar el lugar de\(p\text{.}\)
5. Un comentario final: El orden en que enumeramos los casos en una tabla de verdad está estandarizado en este libro. Si la tabla de verdad involucra dos proposiciones simples, los números bajo las proposiciones simples pueden interpretarse como los enteros binarios de dos dígitos en orden creciente, 00, 01, 10 y 11, para 0, 1, 2 y 3, respectivamente.

Definición \(\PageIndex{3}\): Logical Disjunction

Si\(p\) y\(q\) son proposiciones, su disyunción,\(p \textrm{ or } q\) (denotada\(p \lor q\)), está definida por la tabla de la verdad

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccc} p & q & p\ lor q\\\ hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Definición \(\PageIndex{4}\): Logical Negation

Si\(p\) es una proposición, su negación,\(\textrm{not } p\text{,}\) denotada\(\neg p\text{,}\) y es definida por la tabla de verdad

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {cc} p &\ neg p\\\ hline 0 & 1\\ 1 & 0\\\ end {array}\ end {equation*}

Nota\(\PageIndex{2}\)

La negación es el único operador estándar que actúa sobre una sola proposición; por lo tanto, solo se necesitan dos casos.

Considera las siguientes proposiciones del discurso cotidiano:

1. Voy a renunciar si no me dan un aumento.
2. Si apruebo la final, entonces me graduaré.
3. Voy a ir al cine siempre que arranque mi auto.

Las tres proposiciones son condicionales, todas pueden ser reafirmadas para que encajen en la forma “Si Condición, entonces Conclusión”. Por ejemplo, la primera declaración se puede reescribir como “Si no me dan un aumento, entonces voy a renunciar”.

Una declaración condicional está destinada a ser interpretada como una garantía; si la condición es verdadera, entonces se espera que la conclusión sea verdadera. Dice ni más ni menos.

Definición \(\PageIndex{5}\): Conditional Statement

La sentencia condicional “Si\(p\) entonces\(q\text{,}\)” denotada\(p \rightarrow q\text{,}\) está definida por la tabla de verdad

Tabla \(\PageIndex{1}\): Tabla de Verdad para\(p\rightarrow q\)

\(p\)	\(q\)	\(p\rightarrow q\)
\ (p\) ">\(0\)	\ (q\) ">\(0\)	\ (p\ fila derecha q\) ">\(1\)
\ (p\) ">\(0\)	\ (q\) ">\(1\)	\ (p\ fila derecha q\) ">\(1\)
\ (p\) ">\(1\)	\ (q\) ">\(0\)	\ (p\ fila derecha q\) ">\(0\)
\ (p\) ">\(1\)	\ (q\) ">\(1\)	\ (p\ fila derecha q\) ">\(1\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Analysis of a Conditional Proposition

Supongamos que su instructor le dijo “Si recibe una calificación de 95 o mejor en el examen final, entonces recibirá una A en este curso”. Tu instructor te ha hecho una promesa. Si cumples con su condición, esperas que la conclusión (obtener una A) sea próxima. Supongamos que su final calificado le ha sido devuelto. ¿Su instructor ha dicho la verdad o su instructor es culpable de falsedad?

Caso I: Tu puntaje final de examen fue inferior a 95 (la condición es falsa) y no recibiste una A (la conclusión es falsa). El instructor dijo la verdad.

Caso II: Su puntaje final en el examen fue inferior a 95, sin embargo, recibió una A por el curso. El instructor dijo la verdad. (Quizás su promedio general del curso fue excelente).

Caso III: Tu puntaje final en el examen fue mayor a 95, pero no recibiste una A. El instructor mintió.

Caso IV: Tu puntaje final en el examen fue superior a 95, y recibiste una A. El instructor dijo la verdad.

En resumen, el único caso en el que una proposición condicional es falsa es cuando la condición es verdadera y la conclusión es falsa.

El orden de la condición y conclusión en una proposición condicional es importante. Si se intercambian la condición y la conclusión, se produce una proposición diferente.

Definición\(\PageIndex{6}\): Converse

Lo contrario de la proposición\(p \rightarrow q\) es la proposición\(q \rightarrow p\text{.}\)

El contrario de “Si recibes una calificación de 95 o mejor en el examen final, entonces recibirás una A en este curso”, es “Si recibes una A en este curso, entonces recibiste una calificación de 95 o mejor en el examen final”. Debe quedar claro que estas dos afirmaciones dicen cosas distintas.

Hay una proposición relacionada con\(p \rightarrow q\) que sí tiene el mismo significado lógico. Este es el contrapositivo.

Definición\(\PageIndex{7}\): Contrapositive

El contrapositivo de la proposición\(p \rightarrow q\) es la proposición\(\neg q \rightarrow \neg p\text{.}\)

Como veremos cuando discutamos pruebas lógicas, podemos probar una proposición condicional demostrando su contrapositiva, que puede ser algo más fácil.

Definición \(\PageIndex{8}\): Biconditional Proposition

Si\(p\) y\(q\) son proposiciones, la declaración bicondicional “\(p\)si y solo si\(q\text{,}\)” denotada\(p \leftrightarrow q\text{,}\) se define por la tabla de verdad

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccc} p & q & p\ leftrightarrow q\\\ hline 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Tenga en cuenta que\(p \leftrightarrow q\) es cierto cuando\(p\) y\(q\) tienen los mismos valores de verdad. Es común abreviar “si y sólo si” a “iff”.

Aunque “si... entonces...” y “... si y sólo si...” se utilizan frecuentemente en el habla cotidiana, existen varias formas alternas que debes conocer. Se resumen en las siguientes listas.

Todos los siguientes son equivalentes a “Si\(p\) entonces\(q\)”:

• \(p\)implica\(q\text{.}\)
• \(q\)sigue de\(p\text{.}\)
• \(p\text{,}\)sólo si\(q\text{.}\)
• \(q\text{,}\)si\(p\text{.}\)
• \(p\)es suficiente para\(q\text{.}\)
• \(q\)es necesario para\(p\text{.}\)

Todos los siguientes equivalen a “\(p\)si y solo si\(q\)”:

• \(p\)es necesario y suficiente para\(q\text{.}\)
• \(p\)es equivalente a\(q\text{.}\)
• Si\(p\text{,}\) entonces\(q\text{,}\) y si\(q\text{,}\) entonces\(p\text{.}\)
• Si\(p\text{,}\) entonces\(q\) y a la inversa.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Let\(d\) = “Me gustan las estructuras discretas”,\(c\) = “Voy a aprobar este curso” y\(s\) = “Voy a hacer mis tareas”. Expresar cada una de las siguientes proposiciones en forma simbólica:

1. Me gustan las estructuras discretas y pasaré este curso.
2. Haré mis tareas o no aprobaré este curso.
3. No es cierto que a ambos me gusten las estructuras discretas, y haré mis encargos.
4. No voy a hacer mi tarea y no voy a aprobar este curso.

Contestar

1. \(\displaystyle d\land c\)
2. \(\displaystyle s\lor \neg c\)
3. \(\displaystyle \neg (d\land s)\)
4. \(\displaystyle \neg s\land \neg c\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique proposiciones simples, exprese la proposición compuesta en forma simbólica y determine si es verdadera o falsa:

1. El mundo es plano o cero es un entero par.
2. Si 432,802 es un múltiplo de 4, entonces 432,802 es par.
3. 5 es un número primo y 6 no es divisible por 4.
4. \(3 \in \mathbb{Z}\)y\(3 \in \mathbb{Q}\text{.}\)
5. \(2/3 \in \mathbb{Z}\)y\(2/3 \in \mathbb{Q}\text{.}\)
6. La suma de dos enteros pares es par y la suma de dos enteros impares es impar.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Sea\(p =\) “\(2 \leq 5\)”,\(q\) = “8 es un número entero par”, y\(r\) = “11 es un número primo”. Exprese lo siguiente como declaración en inglés y determine si la declaración es verdadera o falsa:

1. \(\displaystyle \neg p \land q\)
2. \(\displaystyle p\rightarrow q\)
3. \(\displaystyle (p \land q)\to r\)
4. \(\displaystyle p \rightarrow (q \lor (\neg r))\)
5. \(\displaystyle p \rightarrow ((\neg q)\lor (\neg r))\)
6. \(\displaystyle (\neg q) \rightarrow (\neg p)\)

Contestar

1. \(2>5\)y 8 es un número entero par. Falso.
2. Si\(2\leqslant 5\) entonces 8 es un número entero par. Cierto.
3. Si\(2\leqslant 5\) y 8 es un número entero par entonces 11 es un número primo. Cierto.
4. Si\(2\leqslant 5\) entonces 8 es un número entero par o 11 no es un número primo. Cierto.
5. Si\(2\leqslant 5\) entonces 8 es un número entero impar o 11 no es un número primo. Falso.
6. Si 8 no es un entero par entonces\(2>5\text{.}\) True.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Reescribe cada una de las siguientes declaraciones usando las otras formas condicionales:

1. Si un entero es un múltiplo de 4, entonces es par.
2. El hecho de que un polígono sea un cuadrado es una condición suficiente para que sea un rectángulo.
3. Si\(x = 5\text{,}\) entonces\(x^2=25\text{.}\)
4. Si\(x^2 - 5x + 6 = 0\text{,}\) entonces\(x = 2\) o\(x = 3\text{.}\)
5. \(x^2=y^2\)es una condición necesaria para\(x = y\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Escribe lo contrario de las proposiciones en Ejercicio\(\PageIndex{4}\). Compara la verdad de cada proposición y su inversa.

Contestar

Sólo lo contrario de\(d\) es cierto.