11.6: Ejercicios
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Calcula cada uno de los términos\(s_2,s_3,s_4,s_5,s_6\) para la secuencia definida recursivamente por
\ begin {ecuación*} s_n =\ sqrt {s_ {n-2} ^2 + s_ {n-1} ^2},\ quad n\ ge 2,\ end {ecuación*}
con términos iniciales\(s_0 = 3\) y\(s_1 = 4\text{.}\)
Resolviendo por iteración.
En cada uno de los Ejercicios 2—8, use iteración para determinar una expresión para el\(n^{th}\) término de la secuencia como una fórmula en\(n\) (y el término o términos iniciales de la secuencia, si es necesario).
En algunas de estas, puede resultarle útiles las siguientes fórmulas.
\ begin {reunir*} 1 + 2 + 3 +\ dotsb + m =\ frac {m (m+1)} {2}\\ 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ dotsb + m^2 =\ frac {m (m+1) (2m+1)} {6}\\ r^0 + r^0 + r^1 + r^2 +\ puntosb + r^ {m-1} =\ frac {r^m - 1} {r - 1},\ quad r\ ne 0,1\ final {reunir*}
\(a_n = 2na_{n-1}\text{,}\)\(a_0 = 1 \text{.}\)
\(a_n = (2n-1)a_{n-1}\text{,}\)\(a_0 = 1 \text{.}\)
\(a_n = a_{n-1} + 3^{n-1}\text{,}\)\(a_0 = 1 \text{.}\)
\(a_n = a_{n-1} + n - 1\text{,}\)\(a_0 = 1 \text{.}\)
\(a_n = a_{n-1} + n + n^2\text{,}\)\(a_0 = 1 \text{.}\)
\(a_n = f(a_{n-1})\text{,}\)donde\(f(x)\) está la función lineal\(f(x) = mx + b \) para algunas constantes fijas\(m,b\text{,}\) y con término inicial arbitrario\(a_0\text{.}\)
\(a_n = 4a_{n-2}\text{,}\)\(n \ge 2 \text{,}\)\(a_0 = 1 \text{,}\)\(a_1 = 2\text{.}\)
- Insinuación.
-
Tratar los casos\(n\) pares e\(n\) impares por separado.
Los números de Fibonacci son aquellos que aparecen en la secuencia definida recursivamente por
\ begin {align*} a_n & = a_ {n-1} + a_ {n-2}, & n &\ ge 2\ text {,}\ end {align*}
para alguna elección de términos iniciales\(a_0, a_1\text{.}\)
- Ver.
Usando términos iniciales,\(a_0 = a_1 = 1\text{,}\) usa la inducción matemática para demostrar que cada número de Fibonacci\(a_n\) satisface\(a_n \lt 2^n\) (excepto, por supuesto, para\(a_0\text{.}\)
Está intentando predecir la dinámica poblacional anualmente.
Supongamos que una población aumenta por un factor de\(i\) cada año. Es decir, si nos fijamos\(p=100i\text{,}\) entonces la población aumenta por\(p\) ciento. (Cuidado: Esta es una descripción del incremento de la población, no de la población total. Por ejemplo,\(i = 1\) significa que la población se duplica.)
- Anotar una relación de recurrencia que exprese la población\(P_n\) en el\(n^{th}\) año relativo al año anterior.
- Usar iteración para determinar una expresión para la población en el\(n^{th}\) año como una fórmula en\(n\text{,}\)\(i\text{,}\) y la población inicial\(P_0\text{.}\)
- Supongamos que además del incremento natural de la población por\(i\) ciento anual, la inmigración incrementa la población en cantidad fija\(A\) personas anualmente. Diseñar una nueva relación de recurrencia\(P_n\text{,}\) y usar iteración para determinar una expresión para la población en el\(n^{th}\) año como fórmula en\(n\text{,}\)\(i\text{,}\)\(A\text{,}\) y la población inicial\(P_0\text{.}\)
Describir explícitamente cómo construir la siguiente declaración lógica en un número finito de pasos usando la definición inductiva para\(\mathscr{L}\text{,}\) el conjunto de todas las declaraciones lógicas posibles, dada en el Ejemplo 11.4.1.
\ begin {ecuación*} (p_1\ tierra p_2)\ fila derecha ((\ neg p_3\ lor p_1)\ Leftrightarrow (p_3\ tierra\ neg p_2))\ final {ecuación*}
El conjunto\(\mathscr{C}\) de números constructibles se puede definir inductivamente de la siguiente manera.
Cláusula base.
Asumir\(1 \in \mathscr{C}\text{.}\)
Cláusulas inductivas.
Siempre que\(a,b \in \mathscr{C}\text{,}\) entonces lo son
\ begin {ecuación*} a+b,\ quad ab,\ quad a/b,\ quad\ sqrt {a}\ texto {.} \ end {ecuación*}
Siempre que\(a,b \in \mathscr{C}\) con\(a>b\text{,}\) entonces también\(a-b\) está en\(\mathscr{C}\text{.}\)
Cláusula limitante.
El conjunto no\(\mathscr{C}\) contiene otros elementos que los que se pueden obtener a través de un número finito de aplicaciones de las cláusulas base y/o inductivas.
Verificar explícitamente, enumerando cada aplicación de las cláusulas pertinentes, que las raíces del polinomio\(2x^2 - 3x + \frac{7}{8}\) sean ambas números constructibles.
Considere el siguiente conjunto definido inductivamente\(A \subseteq \mathbb{N}\text{.}\)
Cláusula base.
Asumir\(32879 \in A\text{.}\)
Cláusulas inductivas.
Cuando\(a\) es un elemento de\(A\text{,}\) entonces cada uno de los factores primos de\(a\) es también un elemento de\(A\text{.}\)
Siempre que prime\(p\) es un elemento de\(A\text{,}\) entonces también\(p+1\) es un elemento de\(A\text{.}\)
Cláusula limitante.
El conjunto no\(A\) contiene otros elementos que los que se pueden obtener a través de un número finito de aplicaciones de las cláusulas base y/o inductivas.
Determinar todos los elementos de\(A\text{.}\)
- Insinuación.
-
Para ayudar con esta pregunta, es posible que desee buscar “lista de primos pequeños” en Internet.
Diseñar un algoritmo que produzca una respuesta a la siguiente pregunta en un número finito de aplicaciones de la cláusula inductiva que usamos para definir los números naturales en el Ejemplo 11.4.2.
Dado\(m,n \in \mathbb{N}\) con\(m \ne n\text{,}\) es\(m \gt n\) o es\(n \gt m\)?