2.3: Anillos A y Grupos

El material de este apéndice es de lectura opcional. Sin embargo, en aras de la integridad señalamos aquí la definición de un anillo y la definición de grupo. Si te interesa aprender más podrías tomar el curso Álgebra Abstracta Primaria. Haber tenido este curso debería facilitar un poco la comprensión de las ideas en álgebra abstracta y viceversa.

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Definición\(\PageIndex{1}\)

Un anillo es un triple ordenado\((R, + ,\cdot)\) donde\(R\) es un conjunto y\(+\) y\(\cdot\) son operaciones binarias en\(R\) satisfacer las siguientes propiedades:

A1\(a + (b+c) = (a+b)+c\) para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

A2\(a+b=b+a\) para todos\(a\),\(b\) en\(R\).

A3 Hay un elemento\(0 \in R\) satisfactorio\(a+0=a\) para todos\(a\) en\(R\).

A4 Por cada\(a \in R\) hay un elemento\(b \in R\) tal que\(a+b=0\).

M1\(a \cdot (b \cdot c) = ( a \cdot b ) \cdot c\) para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

D1\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\) para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

D2\((b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\) para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

Así, para describir un anillo hay que especificar tres cosas:

1. un conjunto,
2. una operación binaria en el conjunto llamada multiplicación,
3. una operación binaria en el conjunto llamada suma.

Entonces, se debe verificar que las propiedades anteriores están satisfechas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Aquí hay algunos ejemplos de anillos. Las dos operaciones binarias\(+\) y\(\cdot\) son en cada caso las que estás familiarizado.

1. \((\mathbb{R},+, \cdot)\)—el anillo de números reales.
2. \((\mathbb{Q},+, \cdot)\)—el anillo de los números racionales.
3. \((\mathbb{Z},+, \cdot)\)—el anillo de números enteros.
4. \((\mathbb{Z}_n,+, \cdot)\)—el anillo de enteros módulo\(n\).
5. \((M_n(\mathbb{R}),+, \cdot)\)—el anillo de todas\(n \times n\) las matrices\(\mathbb{R}\).

Definición \(\PageIndex{2}\): Group

Un grupo es un par ordenado\((G,*)\) donde\(G\) es un conjunto y\(*\) es una operación binaria para\(G\) satisfacer las siguientes propiedades

1. \(x*(y*z) = (x*y)*z\)para todos\(x\),\(y\),\(z\) en\(G\).
2. Hay un elemento\(e \in G\) satisfactorio\(e*x=x\) y\(x*e=x\) para todos\(x\) en\(G\).
3. Para cada elemento\(x\) en\(G\) hay un elemento\(y\) en\(G\) satisfacer\(x*y = e\) y\(y*x=e\).

Definición\(\PageIndex{3}\)

Se dice que un grupo\((G,*)\) es abeliano si es\(x*y=y*x\) por todos\(x,y \in G\).

Así, para describir un grupo hay que especificar dos cosas:

1. un conjunto, y
2. una operación binaria en el conjunto.

Entonces, se debe verificar que la operación binaria es asociativa, que hay una identidad en el conjunto, y que cada elemento del conjunto tiene una inversa.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Aquí hay algunos ejemplos de grupos. Las operaciones binarias son en cada caso las que estás familiarizado.

1. \((\mathbb{Z},+)\)es un grupo con identidad 0. La inversa de\(x \in \mathbb{Z}\) es\(-x\).
2. \((\mathbb{Q},+)\)es un grupo con identidad 0. La inversa de\(x \in \mathbb{Q}\) es\(-x\).
3. \((\mathbb{R},+)\)es un grupo con identidad 0. La inversa de\(x \in \mathbb{R}\) es\(-x\).
4. \((\mathbb{Q}-\{0\},\cdot)\)es un grupo con identidad 1. La inversa de\(x \in \mathbb{Q}-\{0\}\) es\(x^{-1}\).
5. \((\mathbb{R}-\{0\},\cdot)\)es un grupo con identidad 1. La inversa de\(x \in \mathbb{R}-\{0\}\) es\(x^{-1}\).
6. \((\mathbb{Z}_n,+)\)es un grupo con identidad 0. El inverso de\(x \in \mathbb{Z}_n\) es\(n-x\) si\(x \ne 0\), el inverso de 0 es 0.
7. \((U_n,\cdot )\)es un grupo con identidad\([1]\). \([a] \in U_n\)Se demostró que la inversa de existe en la Sección 1.22.
8. \((\mathbb{R}^n,+)\)donde\(+\) es la adición de vectores. La identidad es el vector cero\((0,0,\dots,0)\) y la inversa del vector\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) es el vector\(\mathbf{-x}=(-x_1,-x_2,\dots,-x_n)\).
9. \((M_n(\mathbb{R}),+)\). Este es el grupo de todas las\(n \times n\) matrices\(\mathbb{R}\) y\(+\) es la adición de matriz.