3.5: Más sobre Inducción Matemática

Además de las identidades, también podemos usar la inducción matemática para probar una declaración sobre un entero positivo\(n\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:inductmultsix}\)

Demostrar que\(n(n+1)(2n+1)\) es un múltiplo de 6 para todos los enteros\(n\geq1\).

Obrar

Ya hemos visto cómo probar esta afirmación usando una prueba por casos, que en realidad es una forma más fácil de probar que\(n(n+1)(2n+1)\) es divisible por 6. No obstante, a continuación demostraremos cómo utilizar la inducción para probar la afirmación.

Discusión

En la hipótesis inductiva, es claro que estamos asumiendo que\(k(k+1)(2k+1)\) es un múltiplo de 6. En el paso inductivo, queremos demostrar que también\[(k+1)(k+2)[2(k+1)+1] = (k+1)(k+2)(2k+3)\] es un múltiplo de 6. Se puede escribir un múltiplo de 6 como\(6q\) para algún entero\(q\). Ya que tenemos dos múltiplos de 6, necesitamos escribirlos\[k(k+1)(2k+1) = 6q\] y\[(k+1)(k+2)(2k+3) = 6Q\] distinguirlos. Al usar las minúsculas y mayúsculas de la misma letra, indicamos que son valores diferentes. Sin embargo, debido a que provienen de la misma letra, ambos comparten algún atributo común, en este caso, siendo los cocientes cuando los valores respectivos se dividen por 6.

Ahora, en el paso inductivo, necesitamos hacer uso de la ecuación a\(k(k+1)(2k+1)=6q\) partir de la hipótesis inductiva. Esto requiere conectar el producto\((k+1)(k+2)(2k+3)\) a la expresión\(k(k+1)(2k+1)\). Ya que comparten el factor común\(k+1\), lo que queda por hacer es escribir\((k+2)(2k+3)\) en términos de\(k(2k+1)\).

Se nos pide probar que\(n(n+1)(2n+1)\) es un múltiplo de 6. Esto no es una identidad. Por lo tanto, no diga “suponga o demuestre que la identidad se sostiene cuando...”. En cambio, di “suponga o demuestre que la afirmación es cierta cuando...”.

Solución

Proceder por inducción encendido\(n\). Cuando\(n=1\), tenemos\(n(n+1)(2n+1)= 1\cdot2\cdot3=6\), que es claramente un múltiplo de 6. De ahí que el reclamo sea cierto cuando\(n=1\). Supongamos que la afirmación es verdadera cuando\(n=k\) para algún entero\(k\geq1\); es decir, supongamos que podemos escribir\[k(k+1)(2k+1) = 6q\] para algún entero\(q\). Queremos demostrar que el reclamo sigue siendo cierto cuando\(n=k+1\); es decir, queremos mostrar eso\[(k+1)(k+2)[2(k+1)+1] = (k+1)(k+2)(2k+3) = 6Q\] para algún entero\(Q\). Usando la hipótesis inductiva, encontramos\[\begin{aligned} (k+1)(k+2)(2k+3) &=& (k+1)(2k^2+7k+6) \\ &=& (k+1)[(2k^2+k)+(6k+6)] \\ &=& (k+1)[k(2k+1)+6(k+1)] \\ &=& k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 \\ &=& 6q + 6(k+1)^2 \\ &=& 6\,[q+(k+1)^2], \end{aligned}\] dónde\(q+(k+1)^2\) es claramente un número entero. Esto completa la inducción.

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:induct2-01}\)

Demostrar que\(n^2+3n+2\) es par para todos los enteros\(n\geq1\).

La inducción también se puede utilizar para demostrar desigualdades, que a menudo requieren más trabajo para terminar.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:induct2-02}\)

Demostrarlo\[1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n^2} \leq 2-\frac{1}{n}\] para todos los enteros positivos\(n\).

Borrador. En la hipótesis inductiva, asumimos que la desigualdad se mantiene cuando\(n=k\) para algún entero\(k\geq1\). Esto significa que asumimos\[\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k}.\] En el paso inductivo, queremos demostrar que también se sostiene cuando\(n=k+1\). En otras palabras, queremos demostrar que\[\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k+1}.\]

Para utilizar la hipótesis inductiva, tenemos que encontrar una conexión entre estas dos desigualdades. Obviamente, tenemos\[\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} = \left(\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2}\right) + \frac{1}{(k+1)^2}.\] De ahí, se deduce de la hipótesis inductiva que\[\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} = \left(\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2}\right) + \frac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}.\] La prueba estaría completa si pudiéramos demostrar que No\[2-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\frac{1}{k+1}.\] hay garantía de que esta idea funcione, pero esto debería ser lo primero que intentemos.

Después del reordenamiento, la desigualdad se convierte en\[\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k},\] lo que equivale a\(\frac{k+2}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k}\). Rendimientos de multiplicación cruzada\[k(k+2) \leq (k+1)^2.\]\[k(k+2)=k^2+2k, \qquad\mbox{and}\qquad (k+1)^2=k^2+2k+1,\] Ya que está claro que lo que queremos probar es efectivamente cierto.

¡Pulielo Arriba! A continuación, reorganizamos el argumento para que se lea más suavemente. Esencialmente todo lo que necesitamos es ejecutar el argumento hacia atrás. Para mejorar el flujo del argumento, podemos probar un resultado separado en el lado antes de volver al argumento principal.

Prueba 1

Proceder por inducción encendido\(n\). Cuando\(n=1\), el lado izquierdo se convierte en 1, y también lo hace el lado derecho; así, la desigualdad se mantiene. Supongamos que mantiene cuando\(n=k\) para algún entero\(k\geq1\):\[\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k}.\] Queremos mostrar que también se mantiene cuando\(n=k+1\):\[\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k+1}.\]

Para terminar la prueba, necesitamos derivar una desigualdad. Observe que\[k(k+2) = k^2+2k < k^2+2k+1 = (k+1)^2.\] Por lo tanto, después de dividir ambos lados por\(k(k+1)^2\), obtenemos\[\frac{k+2}{(k+1)^2} < \frac{1}{k}.\] Esto lleva a\[\frac{1}{k+1} + \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{(k+1)+1}{(k+1)^2} = \frac{k+2}{(k+1)^2} < \frac{1}{k},\] lo que equivale a\[-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < -\frac{1}{k+1}. \label{eq:induct2-ineq}\]

Ahora volvemos a nuestro problema original. Se deduce de la hipótesis inductiva y ([eq:induct2-ineq]) que\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} &=& \left(\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2}\right) +\frac{1}{(k+1)^2} \\ &\leq& 2-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \\ & < & 2-\frac{1}{k+1}. \end{aligned}\] Por lo tanto, la desigualdad aún se mantiene cuando\(n=k+1\), lo que completa la inducción.

Obrar

El paso clave en la prueba es establecer ([eq:induct2-ineq]), lo cual se puede hacer por medio de contradicción.

Prueba 2

Proceder por inducción encendido\(n\). Cuando\(n=1\), el lado izquierdo se convierte en 1, y también lo hace el lado derecho; así, la desigualdad se mantiene. Supongamos que mantiene cuando\(n=k\) para algún entero\(k\geq1\):\[\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k}.\] Queremos mostrar que también se mantiene cuando\(n=k+1\):\[\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k+1}.\]

Para terminar la prueba, necesitamos la siguiente desigualdad. Afirmamos que\[-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < -\frac{1}{k+1}. \label{eq:induct2-ineqalt}\] Supongamos, por el contrario, que\[-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \geq -\frac{1}{k+1}.\] Borrar los denominadores multiplicando\(k(k+1)^2\) a ambos lados de la desigualdad. Encontramos\[-(k+1)^2 + k \geq -k(k+1),\] o equivalentemente,\[-k^2-k-1 \geq -k^2-k,\] que es lo mismo que decir\(-1\geq0\). Esta contradicción prueba que ([eq:induct2-ineqalt]) debe ser cierto.

Ahora volvemos a nuestro problema original. Se deduce de la hipótesis inductiva y ([eq:induct2-ineqalt]) que\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} &=& \left(\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2}\right) +\frac{1}{(k+1)^2} \\ &\leq& 2-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \\ & < & 2-\frac{1}{k+1}. \end{aligned}\] Por lo tanto, la desigualdad aún se mantiene cuando\(n=k+1\), lo que completa la inducción.

ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:induct2-02}\)

Demuéstralo\(n < 2^n\) para todos los enteros\(n\geq1\).

No tenemos por qué empezar\(n=1\) en el paso base. Podemos comenzar con cualquier entero\(n_0\).

Generalización. Para demostrar que eso\(P(n)\) es cierto para todos los enteros\(n \geq n_0\), siga estos pasos:

1. Verifica que\(P(n_0)\) sea verdad.
2. Supongamos que eso\(P(k)\) es cierto para algún entero\(k\geq n_0\).
3. Demostrar que también\(P(k+1)\) es cierto.

La mayor diferencia está en el paso de base: necesitamos verificar que eso\(P(n_0)\) es cierto. Además, en la hipótesis inductiva, hay que recalcar eso\(k\geq n_0\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:induct2-03}\)

Usa la inducción matemática para mostrar eso\[\sum_{i=0}^n 4^i = \frac{1}{3} (4^{n+1}-1)\] para todos los enteros\(n\geq0\).

Solución

Proceder por inducción encendido\(n\). Cuando\(n=0\), el lado izquierdo se reduce a\(\sum_{i=0}^0 4^i = 4^0 = 1\), y el lado derecho se vuelve\(\frac{1}{3} (4^1-1) = \frac{1}{3}\cdot3 = 1\). De ahí que la fórmula se mantenga cuando\(n=0\). Supongamos que sostiene cuando\(n=k\) para algún entero\(k\geq0\); es decir, asumir\[\sum_{i=0}^k 4^i = \frac{1}{3} (4^{k+1}-1).\] Queremos mostrar que también sostiene cuándo\(n=k+1\); es decir,\[\sum_{i=0}^{k+1} 4^i = \frac{1}{3} (4^{k+2}-1).\] Usando la hipótesis inductiva, encontramos\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{k+1} 4^i &=& \left(\sum_{i=0}^k 4^i\right) + 4^{k+1} \\ &=& \textstyle\frac{1}{3}\,(4^{k+1}-1) + 4^{k+1} \\ [3pt] &=& \textstyle\frac{1}{3}\,(4^{k+1}-1+3\cdot4^{k+1}) \\ [3pt] &=& \textstyle\frac{1}{3}\,(4\cdot4^{k+1}-1) \\ [3pt] &=& \textstyle\frac{1}{3}\,(4^{k+2}-1), \end{aligned}\] cuál es lo que queremos probar, completando así la inducción.

ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:induct2-03}\)

Demostrar que, para cualquier entero\(n\geq0\),\[1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^n = 3\,\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right].\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:induct2-04}\)

Usa la inducción matemática para mostrar eso\[n^n \geq 2^n\] para todos los enteros\(n\geq2\).

Solución

Proceder por inducción encendido\(n\). Cuando\(n=2\), la desigualdad se convierte\(2^2\geq 2^2\), lo que obviamente es cierto. Supongamos que sostiene cuando\(n=k\) para algún entero\(k\geq2\):\[k^k \geq 2^k.\] Queremos demostrar que todavía se mantiene cuando\(n=k+1\):\[(k+1)^{k+1} \geq 2^{k+1}.\] Desde\(k\geq2\), se deduce de la hipótesis inductiva que\[(k+1)^{k+1} \geq k^{k+1} = k\cdot k^k \geq 2\cdot 2^k = 2^{k+1}.\] Por lo tanto, la desigualdad todavía se mantiene cuando\(n=k+1\). Esto completa la inducción.

Resumen y revisión

• Podemos usar la inducción para probar una declaración general que involucra un entero\(n\).
• La declaración puede ser una identidad, una desigualdad o un reclamo sobre la propiedad de una expresión involucrada\(n\).
• No es necesario comenzar con una prueba de inducción\(n=1\).
• Si queremos probar que una sentencia es verdadera para todos los enteros\(n\geq n_0\), tenemos que verificar la declaración para\(n=n_0\) en el paso base.
• Además, hay que asumir eso\(k\geq n_0\) en la hipótesis inductiva.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:induct2-01}\)

Usa la inducción para demostrar que\(n(n+1)(n+2)\) es un múltiplo de 3 para todos los enteros\(n\geq1\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:induct2-02}\)

Utilice la inducción para mostrar que\(n^3+5n\) es un múltiplo de 6 para cualquier entero no negativo\(n\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:induct2-03}\)

Usa la inducción para demostrarlo\[2+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} +\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) > 2\sqrt{n+1}\] para todos los enteros\(n\geq1\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:induct2-04}\)

Usa la inducción para demostrarlo\[2\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27} +\cdots+\frac{1}{n^3}\right) \leq 3-\frac{1}{n^2}\] para todos los enteros\(n\geq1\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:induct2-05}\)

Utilice la inducción para demostrar que\[a+ar+ar^2+\cdots+ar^n = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}\] para todos los enteros no negativos\(n\), donde\(a\) y\(r\) son números reales con\(r\neq1\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:induct2-06}\)

Usa la inducción para demostrar que, para cualquier entero\(n\geq2\),\[6 \sum_{i=2}^n i(i+2) = 2n^3+9n^2+7n-18.\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:induct2-07}\)

Usa la inducción para demostrar que, para cualquier entero\(n\geq0\),\[1-\frac{2}{5}+\frac{4}{25}+\cdots+\left(-\frac{2}{5}\right)^n = \frac{5}{7}\,\left[1-\left(-\frac{2}{5}\right)^{n+1}\right].\]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:induct2-08}\)

Usa la inducción para mostrar eso\(n!>2^n\) para todos los enteros\(n\geq4\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:induct2-09}\)

Usa la inducción para demostrarlo\(n^2>4n+1\) para todos los enteros\(n\geq5\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:induct2-10}\)

Demuéstralo\(2n+1 < 2^n\) para todos los enteros\(n\geq3\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:induct2-01}\)

Definir\[S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!}.\]

1. Evaluar\(S_n\) para\(n=1,2,3,4,5\).
2. Proponer una fórmula simple para\(S_n\).
3. Usa la inducción para probar tu conjetura para todos los enteros\(n\geq1\).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:induct2-12}\)

Definir\(T_n = \sum_{i=0}^n \frac{1}{(2i+1)(2i+3)}\).

1. Evaluar\(T_n\) para\(n=0,1,2,3,4\).
2. Proponer una fórmula simple para\(T_n\).
3. Usa la inducción para probar tu conjetura para todos los enteros\(n\geq0\).