5.3: Divisibilidad

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En esta sección, estudiaremos el concepto de divisibilidad. Dejar$a$ y$b$ ser dos enteros tales que$a \neq 0$. Las siguientes declaraciones son equivalentes:

$a$divide$b$,
$a$es un divisor de$b$,
$a$es un factor de$b$,
$b$es un múltiplo de$a$, y
$b$es divisible por$a$.

Todos ellos significan

Existe un entero$q$ tal que$b=aq$

En términos de división, decimos que$a$ divide$b$ si y sólo si el resto es cero cuando$b$ se divide por$a$. Adoptamos la notación\[a \mid b \qquad \mbox{[pronounced as "$a$ divides $b$'']}\] No use una barra diagonal hacia adelante$/$ o una barra hacia atrás$\backslash$ en la notación. Para decir que$a$ no divide$b$, agregamos una barra a través de la barra vertical, como en

\[a \nmid b \qquad \mbox{[pronounced as "$a$ does not divide $b$'']}\]No confundas la notación$a\mid b$ con$\frac{a}{b}$. La notación$\frac{a}{b}$ representa una fracción. También se escribe como$a/b$ con una barra (hacia adelante). Utiliza división en punto flotante (es decir, real o decimal). Por ejemplo,$\frac{11}{4}=2.75$.

La definición de divisibilidad es muy importante. Muchos estudiantes no logran terminar pruebas muy simples porque no pueden recordar la definición. Así que aquí vamos de nuevo:

$a\mid b\;\Leftrightarrow\;b=aq$para algún número entero$q$.

Ambos enteros$a$ y$b$ pueden ser positivos o negativos, e incluso$b$ podrían ser 0. La única restricción es$a\neq0$. Además,$q$ debe ser un entero. Por ejemplo$3 = 2\cdot\frac{3}{2}$,, pero ciertamente es absurdo decir que 2 divide 3.

Ejemplo$\PageIndex{1}\label{eg:divides-01}$

Ya que$14=(-2)\cdot(-7)$, es claro que$-2\mid 14$.

ejercicio práctico$\PageIndex{1}\label{he:divides-01}$

Verificar que\[5 \mid 35, \quad 8\nmid 35, \quad 25\nmid 35, \quad 7 \mid 14, \quad 2 \mid -14, \quad\mbox{and}\quad 14\mid 14,\] encontrando el cociente$q$ y el resto$r$ tal que$b=aq+r$, y$r=0$ si$a\mid b$.

Ejemplo$\PageIndex{2}\label{eg:divides-02}$

Un entero es par si y solo si es divisible por 2, y es impar si y solo si no es divisible por 2.

ejercicio práctico$\PageIndex{2}\label{he:divides-02}$

¿Cuál es el resto cuando un entero impar se divide por 2? Completa las siguientes frases:

Si$n$ es par, entonces$n=\bline{0.5in}$ para algún entero.
Si$n$ es impar, entonces$n=\bline{0.5in}$ para.

Memorízalos bien, ya que los usarás frecuentemente en este curso.

ejercicio práctico$\PageIndex{3}\label{he:divides-03}$

Completa la siguiente frase:

Si no$n$ es divisible por 3, entonces$n=\bline{0.5in}\,$, o$n=\bline{0.5in}\,$, para algún entero.

Compare esto con las$\bmod$ operaciones$\bdiv$ y. ¿Cuáles son los valores posibles de$n\bmod3$?

Ejemplo$\PageIndex{3}\label{eg:divides-03}$

Dado cualquier entero$a\neq 0$, siempre tenemos$a\mid 0$ porque$0 = a\cdot 0$. En particular, 0 es divisible por 2, de ahí que se considere un entero par.

Ejemplo$\PageIndex{4}\label{eg:divides-04}$

Del mismo modo,$\pm1$ y$\pm b$ dividir$b$ para cualquier entero distinto de cero$b$. Se les llama los divisores triviales de$a$. Un divisor de$b$ que no es un divisor trivial se llama un divisor no trivial de$b$.

Por ejemplo, el entero 15 tiene ocho divisores:$\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$. Sus divisores triviales son$\pm1$ y$\pm15$, y los divisores no triviales son$\pm3$ y$\pm5$.

Definición

Un entero positivo$a$ es un divisor apropiado de$b$ if$a\mid b$ y$a<|b|$. Si$a$ es un divisor adecuado de$b$, decimos que $a$divide$b$ adecuadamente.

Comentario

Algunos teóricos de números incluyen números negativos como divisores adecuados. En esta convención,$a$ es un propio divisor de$b$ si$a\mid b$, y$|a|<|b|$. Para agregar a la confusión, algunos teóricos de números excluyen$\pm1$ como divisores adecuados. Tenga cuidado cuando encuentre estos términos.

Ejemplo$\PageIndex{5}\label{eg:divides-05}$

Es claro que 12 divide 132 adecuadamente, y 2 divide$-14$ adecuadamente también. El entero 11 no tiene divisor adecuado.

ejercicio práctico$\PageIndex{4}\label{he:divides-04}$

¿Cuáles son los divisores propios de 132?

Definición

Un entero$p>1$ es un primo si sus divisores positivos son 1 y$p$ él mismo. Cualquier entero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.

Comentario

Un entero positivo$n$ es compuesto si tiene un divisor$d$ que satisface$1<d<n$. Además, según la definición, el entero 1 no es ni primo ni compuesto.

Ejemplo$\PageIndex{6}\label{eg:divides-06}$

Los enteros$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \ldots\,$ son primos.

ejercicio práctico$\PageIndex{5}\label{he:divides-07}$

¿Cuáles son los siguientes cinco primos después de los 23?

Teorema$\PageIndex{1}$

Hay infinitamente muchos primos.

Prueba: Posponemos su prueba a una sección posterior, luego de demostrar un resultado fundamental en la teoría de números.

Teorema$\PageIndex{2}$

Para todos los enteros$a$$b$,, y$c$ donde$a \neq 0$, tenemos

Si$a\mid b$, entonces$a\mid xb$ para cualquier entero$x$.
Si$a\mid b$ y$b\mid c$, entonces$a\mid c$. (Esto se llama la propiedad transitiva de la divisibilidad.)
Si$a\mid b$ y$a\mid c$, entonces$a\mid (sb+tc)$ para cualquier número entero$x$ y$y$. (La expresión$sb+tc$ se llama una combinación lineal de$b$ y$c$.)
Si$b\neq 0$ y$a\mid b$ y$b\mid a$, entonces$a = \pm b$.
Si$a\mid b$ y$a,b > 0$, entonces$a \leq b$.

Prueba: Solo probaremos (1), (4) y (5), y dejaremos las pruebas de (2) y (3) como ejercicios.
Comprobante de (1): Supongamos$a\mid b$, entonces existe un entero$q$ tal que$b=aq$. Para cualquier entero$x$, tenemos\[xb = x\cdot aq = a \cdot xq,\] donde$xq$ es un entero. De ahí,$a\mid xb$.

Comprobante de (4): Asumir$a\mid b$, y$b\mid a$. Entonces existen enteros$q$ y$q'$ tal que$b=aq$, y$a=bq'$. De ello se deduce que\[a = bq' = aq\cdot q'.\] Esto implica que$qq'=1$. Ambos$q$ y$q'$ son enteros. Así, cada uno de ellos debe ser o bien 1 o$-1$, lo que hace$b=\pm a$.

Comprobante de (5): Asumir$a\mid b$ y$a,b>0$. Entonces$b=aq$ para algún entero$q$. Ya que$a,b>0$, también tenemos$q>0$. Al ser un entero, debemos tener$q\geq1$. Entonces$b = aq \geq a\cdot 1 = a$.

Ejemplo$\PageIndex{7}\label{eg:divides-07}$

Utilice la definición de divisibilidad para mostrar que dado cualquier número entero$a$,$b$, y$c$, donde$a\neq0$, si$a\mid b$ y$a\mid c$, entonces$a\mid(sb^2+tc^2)$ para cualquier número entero$s$ y$t$.

Solución

Tratamos de demostrarlo desde los primeros principios, es decir, utilizando únicamente la definición de divisibilidad. Aquí está la prueba completa.

Asumir$a\mid b$ y$a\mid c$. Existen enteros$x$ y$y$
tal que$b=ax$ y$c=ay$. Entonces
\[ sb^2+tc^2 = s(ax)^2+t(ay)^2 = a(sax^2+tay^2), \]
donde$sax^2+tay^2$ es un entero. De ahí$a\mid(sb^2+tc^2)$.

El paso clave es sustituir$b=ax$ y$c=ay$ entrar en la expresión$sb^2+tc^2$. Puede preguntarse, ¿cómo podemos saber que esto es lo correcto?

Aquí está la razón. Eso queremos demostrarlo$a\mid(sb^2+tc^2)$. Esto significa que necesitamos encontrar un número entero que, cuando se multiplica por$a$, rinde$sb^2+tc^2$. Esto requiere escribir$sb^2+tc^2$ como producto de$a$ y otro entero que aún no se ha determinado. Desde$s$ y no$t$ tener relación con$a$, nuestra única esperanza radica en$b$ y$c$. Eso sí lo sabemos$b=ax$ y$c=ay$, por lo tanto, debemos sustituirlos por$sb^2+tc^2$.

ejercicio práctico$\PageIndex{6}\label{he:divides-06}$

Dejar$a$,$b$, y$c$ ser enteros tales que$a\neq 0$. Demostrar que si$a\mid b$ o$a\mid c$, entonces$a\mid bc$.

Resumen y revisión

Un entero$b$ es divisible por un entero distinto de cero$a$ si y solo si existe un entero$q$ tal que$b=aq$.
Se dice que un entero$n>1$ es primo si sus únicos divisores son$\pm1$ y$\pm n$; de lo contrario, decimos que$n$ es compuesto.
Si un entero positivo$n$ es compuesto, tiene un divisor adecuado$d$ que satisface la desigualdad$1<d<n$.

Ejercicio$\PageIndex{1}\label{ex:divides-01}$

Dejar$a$,$b$, y$c$ ser enteros tales que$a\neq0$. Usa la definición de divisibilidad para probar que si$a\mid b$ y$c\mid (-a)$, entonces$(-c)\mid b$. Utilizar únicamente la definición de divisibilidad para probar estas implicaciones.

Ejercicio$\PageIndex{2}\label{ex:divides-02}$

Dejar$a$,$b$,$c$, y$d$ ser enteros con$a,c\neq0$. Demostrar que

Si$a\mid b$ y$c\mid d$, entonces$ac\mid bd$.
Si$ac \mid bc$, entonces$a\mid b$.

Ejercicio$\PageIndex{3}\label{ex:divides-03}$

Dejar$a$,$b$, y$c$ ser enteros tales que$a,b\neq0$. Demostrar que si$a\mid b$ y$b\mid c$, entonces$a\mid c$.

Ejercicio$\PageIndex{4}\label{ex:divides-04}$

Dejar$a$,$b$, y$c$ ser enteros tales que$a\neq0$. Demostrar que si$a\mid b$ y$a\mid c$, entonces$a\mid (sb+tc)$ para cualquier número entero$s$ y$t$.

Ejercicio$\PageIndex{5}\label{ex:divides-05}$

Demostrar que si$n$ es un entero impar, entonces$n^2-1$ es divisible por 4.

Ejercicio$\PageIndex{6}\label{ex:divides-06}$

Usa el resultado de Problema [ex:divides-05] para mostrar que ninguno de los números 11, 111, 1111 y 11111 es un cuadrado perfecto. Generaliza, y prueba tu conjetura.

Pista: $x$Déjese ser uno de estos números. Supongamos que$x$ es un cuadrado perfecto, entonces$x=n^2$ para algún entero$n$. ¿Cómo se puede aplicar el resultado de Problema [ex:divides-05]?

Ejercicio$\PageIndex{7}\label{ex:divides-07}$

Demostrar que el cuadrado de cualquier entero es de la forma$3k$ o$3k+1$.

Ejercicio$\PageIndex{8}\label{ex:divides-08}$

Usa Problem [ex:divides-07] para demostrar que no$3m^2-1$ es un cuadrado perfecto para ningún entero$m$.

Ejercicio$\PageIndex{9}\label{ex:divides-09}$

Usa la inducción para demostrarlo$3\mid (2^{2n}-1)$ para todos los enteros$n\geq1$.

Ejercicio$\PageIndex{10}\label{ex:divides-10}$

Usa la inducción para demostrarlo$8\mid (5^{2n}+7)$ para todos los enteros$n\geq1$.

Ejercicio$\PageIndex{11}\label{ex:divides-11}$

Usa la inducción para demostrarlo$5\mid (n^5-n)$ para todos los enteros$n\geq1$.

Ejercicio$\PageIndex{11}\label{ex:divides-12}$

Usa la inducción para demostrarlo$5\mid (3^{3n+1}+2^{n+1})$ para todos los enteros$n\geq1$.