5.6: Teorema Fundamental de la Aritmética

Los primos son enteros positivos que no tienen ningún divisor apropiado excepto 1. Los primos pueden considerarse como los bloques de construcción de todos los enteros con respecto a la multiplicación.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Fundamental Theorem of Arithmetic

Dado cualquier entero\(n\geq 2\), existen primos\(p_1 \leq p_2 \leq \cdots \leq p_s\) tales que\(n = p_1 p_2 \ldots p_s\). Además, esta factorización es única, en el sentido de que si\(n = q_1 q_2 \ldots q_t\) para algunos primos\(q_1 \leq q_2 \leq \cdots \leq q_t\), entonces\(s=t\) y\(p_i = q_i\) para cada uno\(i\),\(1\leq i\leq s\).

Prueba

Primero probamos la existencia de la factorización. Dejar\(S\) ser el conjunto de enteros\(n\geq2\) que no son expresables como producto de primos. Dado que un producto puede contener tan solo un primo,\(S\) no contiene ningún primo. Supongamos\(S\neq\emptyset\), entonces el principio de ordenamiento bien implica que\(S\) tiene un elemento más pequeño\(d\). Dado que\(S\) no contiene ningún primo,\(d\) es compuesto, por lo que\(d=xy\) para algunos enteros\(x\) y\(y\), donde\(2\leq x,y<d\). La minimalidad de\(d\) implica eso\(x,y\not\in S\). Entonces ambos\(x\) y se\(y\) pueden expresar como productos de primos, entonces también\(d=xy\) es un producto de primos, que es una contradicción, porque\(d\) pertenece a\(S\). Por lo tanto\(S=\emptyset\),, lo que significa que cada entero\(n\geq2\) puede expresarse como un producto de primos.

A continuación, demostramos que la factorización es única. Supongamos que hay dos formas de factorizar\(n\), digamos\(n = p_1 p_2 \ldots p_s = q_1 q_2 \ldots q_t\). Sin pérdida de generalidad, podemos asumir\(s\leq t\). Supongamos que existe un menor\(i\), donde\(1\leq i\leq s\), tal que\(p_i \neq q_i\). Entonces\[p_1 = q_1, \quad p_2 = q_2, \quad \cdots \quad p_{i-1} = q_{i-1}, \quad\mbox{but}\quad p_i \neq q_i. \nonumber\] se deduce aquello\[p_i p_{i+1} \cdots p_s = q_i q_{i+1} \cdots q_t, \nonumber\] en el que ambas partes tienen al menos dos factores (¿por qué?). Sin pérdida de generalidad, podemos asumir\(p_i < q_i\). Ya que\(p_i \mid q_i q_{i+1} \cdots q_t\), y\(p_i\) es primo, el lema de Euclides implica que\(p_i \mid q_j\) para algunos\(j\), donde\(i < j \leq t\). Ya que\(q_j\) es primo, debemos tener\(p_i = q_j \geq q_i\), lo que contradice la suposición de que\(p_i < q_i\). Por lo tanto, no existe ninguna\(i\) para la cual\(p_i\neq q_i\). Esto significa\(p_i=q_i\) para cada uno\(i\), y como consecuencia, debemos tener\(s=t\).

Curiosamente, podemos utilizar la fuerte forma de inducción para probar la existencia parte del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Prueba

(Existencia) Incitar en\(n\). El reclamo obviamente se sostiene para\(n=2\). Supongamos que se mantiene\(n=2,3,\ldots,k\) para algún entero\(k\geq2\). Queremos demostrar que también se sostiene para\(k+1\). Si\(k+1\) es un prime, ya terminamos. De lo contrario,\(k+1=\alpha\beta\) para algunos enteros\(\alpha\) y\(\beta\), ambos menores que\(k+1\). Ya que\(2\leq \alpha,\beta \leq k\), tanto\(\alpha\) y se\(\beta\) puede expresar como un producto de primos. Al juntar estos primos, y volver a etiquetarlos y reordenarlos si es necesario, vemos que también\(k+1\) es expresable como producto de primos en la forma que deseamos. Esto completa la inducción.

El siguiente resultado es uno de los teoremas más antiguos en matemáticas, numerosas pruebas se pueden encontrar en la literatura.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Hay infinitamente muchos primos.

Prueba

Supongamos que solo hay un número finito de primos\(p_1, p_2, \ldots, p_n\). Considera el entero\[x = 1 + p_1 p_2 \cdots p_n. \nonumber\] Es obvio que\(x\neq p_i\) para cualquier\(i\). Dado que\(p_1, p_2, \ldots, p_n\) se supone que son los únicos primos, el entero\(x\) debe ser compuesto, de ahí que se pueda factorizar en un producto de primos. Dejar\(p_k\) ser uno de estos factores primos, así que\(x=p_kq\) para algún entero\(q\). Entonces\[\begin{array}{r c l} 1 &=& x-p_1 p_2 \cdots p_n \\ &=& p_kq-p_1 p_2 \cdots p_n \\ &=& p_k(q-p_1p_2\cdots p_{k-1} p_{k+1} \cdots p_n), \end{array} \nonumber\] lo cual es imposible. Esta contradicción prueba que hay infinitamente muchos primos.

Algunos de los primos enumerados en el Teorema Fundamental de la Aritmética pueden ser idénticos. Si agrupamos los primos idénticos, obtenemos la factorización canónica o la factorización de potencia primaria de un entero.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Todos los números enteros se\(n\geq 2\) pueden expresar de manera única en\(n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_t^{e_t}\) la forma de algunos primos distintos\(p_i\) y números enteros positivos\(e_i\).

Una vez que encontramos la factorización de potencia prima de dos enteros, su mayor divisor común se puede obtener fácilmente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:FTA-01}\)

De las factorizaciones\(246 = 2\cdot 3\cdot 41\) y\(426 = 2\cdot 3\cdot 79\), es claro que\(\gcd(246,426) = 2\cdot3 = 6\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:FTA-01}\)

Encuentra las factorizaciones de 153 y 732, y utilízalas para calcular\(\gcd(153,732)\).

Si bien el conjunto de primos que dividen dos enteros positivos diferentes\(a\) y\(b\) pueden ser diferentes, podríamos escribir ambos\(a\) y\(b\) como producto de poderes de todos los primos involucrados. Por ejemplo, al combinar los factores primos de\[12300 = 2^2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 41, \quad\mbox{and}\quad 34128 = 2^4\cdot 3^3\cdot 79, \nonumber\] podríamos escribirlos como De\[12300 = 2^2\cdot 3^1\cdot 5^2\cdot 41^1\cdot 79^0, \quad\mbox{and}\quad 34128 = 2^4\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 41^0\cdot 79^1. \nonumber\] ello se deduce que\[\gcd(12300,34128) = 2^2\cdot 3^1\cdot 5^0\cdot 41^0\cdot 79^0 = 12. \nonumber\] La generalización es inmediata.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si\(a = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_t^{e_t}\) y\(b = p_1^{f_1} p_2^{f_2} \cdots p_t^{f_t}\) para algunos primos distintos\(p_i\), donde\(e_i, f_i\geq0\) para cada uno\(i\), entonces\(\gcd(a,b) = p_1^{\min(e_1,f_1)} p_2^{\min(e_2,f_2)} \cdots p_t^{\min(e_t,f_t)}\).

En este teorema, permitimos que los exponentes sean cero. En la habitual factorización de prime-power, los exponentes tienen que ser positivos.

ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:FTA-02}\)

\(\gcd(2^3\cdot5\cdot7\cdot11^2, 2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^2)\)Cómpiate.

Definición: mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de los enteros\(a\) y\(b\), denotado\(\mathrm{ lcm }(a,b)\), es el múltiplo común positivo más pequeño de ambos\(a\) y\(b\).

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Si\(a = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_t^{e_t}\) y\(b = p_1^{f_1} p_2^{f_2} \cdots p_t^{f_t}\) para algunos primos distintos\(p_i\), donde\(e_i, f_i\geq0\) para cada uno\(i\), entonces\(\mathrm{ lcm }(a,b) = p_1^{\max(e_1,f_1)} p_2^{\max(e_2,f_2)} \cdots p_t^{\max(e_t,f_t)}\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:FTA-03}\)

\(\mathrm{ lcm }(2^3\cdot5\cdot7\cdot11^2, 2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^2)\)Cómpiate.

Corolario\(\PageIndex{6}\)

Para cualquier número entero positivo\(a\) y\(b\), tenemos\(ab = \gcd(a,b)\cdot \mathrm{ lcm }(a,b)\).

Prueba

Para cada uno\(i\), uno de los dos números\(e_i\) y\(f_i\) es el mínimo, y el otro es el máximo. De ahí,\[e_i + f_i = \min(e_i,f_i) + \max(e_i,f_i), \nonumber\] de la que obtenemos\[p_i^{e_i} p_i^{f_i} = p_i^{e_i+f_i} = p_i^{\min(e_i,f_i)+\max(f_i,f_i)} = p_i^{\min(e_i,f_i)} p_i^{\max(e_i,f_i)}. \nonumber\] Por lo tanto,\(ab\) iguala el producto de\(\gcd(a,b)\) y\(\mathrm{ lcm }(a,b)\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:FTA-02}\)

Desde\(12300 = 2^2\cdot 3^1\cdot 5^2\cdot 41^1\cdot 79^0\), y\(34128 = 2^4\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 41^0\cdot 79^1\), se deduce que\[\mathrm{ lcm }(12300,34128) = 2^4\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 41^1\cdot 79^1 = 34981200. \nonumber\] Nosotros hemos visto eso\(\gcd(12300,34128)=12\), y sí tenemos\(12\cdot 34981200 = 12300\cdot 34128\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:FTA-04}\)

Sabiendo eso\(\gcd(246,426)=6\), ¿cómo computarías el valor de\(\mathrm{ lcm }(246,426)\)?

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:FTA-03}\)

Cuando sumamos dos fracciones, primero tomamos el denominador común, como en Suficientemente\[\frac{7}{8} + \frac{5}{12} = \frac{7}{8}\cdot\frac{3}{3} + \frac{5}{12}\cdot\frac{2}{2} = \frac{21+10}{24} = \frac{31}{24}. \nonumber\] claro, el mínimo denominador común es precisamente el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:FTA-04}\)

El panel de control de una máquina cuenta con dos luces de señal, una roja y otra azul. La luz roja parpadea una vez cada 10 segundos, y la luz azul parpadea una vez cada 14 segundos. Cuando la máquina está encendida, ambas luces parpadean simultáneamente. ¿Después de cuántos segundos volverán a parpadear al mismo tiempo?

Solución

Este problema ilustra una aplicación típica de múltiplo mínimo común. El semáforo rojo parpadea a los 10, 20, 30,... segundos, mientras que la luz azul parpadea a los 14, 28, 42,... segundos. En general, la luz roja parpadea en\(t\) segundos si\(t\) es un múltiplo de 10, y la luz azul parpadea cuando\(t\) es un múltiplo de 14. Por lo tanto, ambas luces parpadean juntas cuando\(t\) es un múltiplo tanto de 10 como de 14. La próxima vez que suceda será\(\mathrm{ lcm }(10,14)=70\) segundos después.

ejercicio práctico\(\PageIndex{5}\label{he:FTA-05}\)

Dos cometas viajan en órbitas fijas alrededor de la tierra. Uno de ellos regresa a la Tierra cada 35 años, el otro cada 42 años. Si ambos aparecen en 2012, ¿cuándo es la próxima vez que regresen a la Tierra en el mismo año?

ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:FTA-06}\)

Dados números enteros positivos relativamente primos\(m\) y\(n\), ¿cuáles son los valores posibles de\(\mathrm{ lcm }(4m-6n,6m+4n)\)?

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:FTA-05}\)

¿Qué\(2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z}\) equivale a?

Solución

Asumir\(x\in 2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z}\), entonces\(x\in2\mathbb{Z}\) y\(x\in3\mathbb{Z}\). Esto significa que\(x\) es un múltiplo tanto de 2 como de 3. En consecuencia,\(x\) es un múltiplo de\(\mathrm{ lcm }(2,3)=6\), lo que significa\(x\in6\mathbb{Z}\). Por lo tanto,\(2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z} \subseteq 6\mathbb{Z}\).

A continuación, supongamos\(x\in 6\mathbb{Z}\), entonces\(x\) es un múltiplo de 6. En consecuencia,\(x\) es un múltiplo de 2, así como un múltiplo de 3. Esto significa\(x\in2\mathbb{Z}\), y\(x\in3\mathbb{Z}\). Como resultado,\(x\in 2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z}\). Por lo tanto,\(6\mathbb{Z} \subseteq 2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z}\). Junto con\(2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z} \subseteq 6\mathbb{Z}\), concluimos que\(2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{7}\label{he:FTA-07}\)

¿Qué\(4\mathbb{Z}\cap6\mathbb{Z}\) equivale a?

Resumen y revisión

• Hay infinitamente muchos primos.
• Cualquier número entero positivo\(n>1\) puede ser factorizado de manera única en un producto de poderes primos.
• Los primos pueden considerarse como los bloques de construcción (a través de la multiplicación) de todos los enteros positivos superiores a uno.
• Dados dos enteros positivos\(a\) y\(b\), su mínimo múltiplo común se denota como\(\mathrm{ lcm }(a,b)\).
• Para cualquier número entero positivo\(a\) y\(b\), tenemos\(ab = \gcd(a,b)\cdot\mathrm{ lcm }(a,b)\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:FTA-01}\)

Encuentra la factorización de potencia primaria de estos enteros.

1. 4725
2. 9702
3. 180625
4. 1662405

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:FTA-02}\)

Encuentra el múltiplo menos común de cada uno de los siguientes pares de números enteros.

1. 27, 81
2. 24, 84
3. 120, 615
4. 412, 936
5. 1380, 3020
6. 1122, 3672

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:FTA-03}\)

Richard sigue una rutina muy rígida. Encarga una pizza para el almuerzo cada 10 días, y cena con sus padres cada 25 días. Si pide una pizza para el almuerzo y cena hoy con sus padres, ¿cuándo volverá a hacer ambas cosas el mismo día?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:FTA-04}\)

Computar\(\gcd(15\cdot50,25\cdot21)\), y\(\mathrm{ lcm }(15\cdot50,25\cdot21)\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:FTA-05}\)

¿Qué\(10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z}\) equivale a? Demuestre su reclamo.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:FTA-06}\)

Dejar\(m\) y\(n\) ser enteros positivos. ¿Qué\(m\mathbb{Z}\cap n\mathbb{Z}\) equivale a? Demuestre su reclamo.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:FTA-07}\)

Dejar\(p\) ser un primo impar. Demostrar que

• \(p\)es de la forma\(4k+1\) o de la forma\(4k+3\) para algún entero no negativo\(k\).
• \(p\)es de la forma\(6k+1\) o de la forma\(6k+5\) para algún entero no negativo\(k\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:FTA-08}\)

Dar tres ejemplos de un primo impar\(p\) de cada una de las siguientes formas

1. \(4k+1\)
2. \(4k+3\)
3. \(6k+1\)
4. \(6k+5\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:FTA-09}\)

Demostrar que cualquier prima de la forma también\(3n+1\) es de la forma\(6k+1\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:FTA-10}\)

Demostrar que si un entero positivo\(n\) es de la forma\(3k+2\), entonces tiene un factor primo de la misma forma.

Pista

Considera su contrapositivo.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\label{ex:FTA-11}\)

Demostrar que 5 es el único primo de la forma\(n^2-4\).

Pista

Considerar la factorización de\(n^2-4\).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:FTA-12}\)

Usa el resultado “Cualquier primo impar\(p\) es de la forma\(6k+1\) o de la forma\(6k+5\) para algún entero no negativo\(k\)” para probar los siguientes resultados.

• Si\(p\geq5\) es un primo, entonces\(p^2+2\) es compuesto.
• Si\(p\geq q\geq5\) son primos, entonces\(24\mid(p^2-q^2)\).