1.0: Introducción

Antes de emprender nuestro “paseo fresco y rápido”, vamos a orientarnos. ¿Qué son las matemáticas discretas, de todos modos? ¿Por qué se llama así? ¿Qué engloba? ¿Y para qué sirve?

Tomemos las dos palabras del sujeto, en orden inverso. Primero, matemáticas. Cuando la mayoría de la gente escucha “matemáticas”, piensa “números”. Después de todo, ¿las matemáticas no son el estudio de la cantidad? ¿Y no es esa la clase donde primero aprendimos a contar, sumar y multiplicar?

Las matemáticas ciertamente tienen su raíz en el estudio de los números —específicamente, los “números naturales” (los enteros de 1 en adelante) que fascinaban a los antiguos griegos. Sin embargo, las matemáticas son más amplias que esto, casi hasta el punto en que los números pueden considerarse un caso especial de algo más profundo. En este libro, cuando hablamos de árboles, conjuntos o lógica formal, puede que no haya un número a la vista.

La matemática trata sobre objetos abstractos, conceptuales que tienen propiedades y las implicaciones de esas propiedades. Un “objeto” puede ser cualquier tipo de “material de pensamiento” que podamos definir y razonar con precisión. Gran parte de las matemáticas trata de preguntas como, “supongamos que definimos cierto tipo de cosas que tenían ciertos atributos. ¿Cuáles serían las implicaciones de esto, si lo razonáramos hasta el final?” La “cosa” puede o no ser numérica, sea lo que resulte ser. Al igual que un número, sin embargo, se definirá de manera nítida, tendrá ciertos aspectos conocidos, y será capaz de combinarse con otras cosas de alguna manera.

Fundamental para las matemáticas es que trata de lo abstracto. Abstracto, que es lo contrario de lo concreto, significa esencialmente algo que no se puede percibir con los sentidos. Un chip de computadora es concreto: puedes tocarlo, puedes verlo. Un número no lo es; tampoco es una función, un árbol binario, o una implicación lógica. La única manera de percibir estas cosas es con el poder de la mente. Escribiremos expresiones y dibujaremos imágenes de muchas de nuestras estructuras matemáticas para ayudar a visualizarlas, y casi todo lo que estudiemos tendrá aplicaciones prácticas mediante las cuales la abstracción se fundamenta en la concreción para algún propósito útil. Pero la entidad matemática subyacente sigue siendo abstracta y etérea, solo accesible al ojo de la mente. Podemos usar un lápiz para formar la figura “5" en una hoja de papel, pero eso es sólo una manifestación concreta del concepto subyacente de “cinco-ness”. No confundas la imagen o el símbolo con la cosa misma, que siempre trasciende cualquier mera representación física.

La otra palabra en nombre de nuestro sujeto es “discreto” (que no debe confundirse con “discreto”, que significa algo completamente distinto). La mejor manera de apreciar lo que significa discreto es contrastarlo con su opuesto, continuo. Considere la siguiente lista:

Discreta	Continuo
números enteros (\(\mathbb{Z}\))	números reales (\(\mathbb{R}\))
int	doble
digital	analógico
quantum	continuum
contando	medir
teoría de números	análisis
\(\Sigma\)	\(\int\)
—	\(\frac{d}{dx}\)

¿Qué tienen en común las entradas de la izquierda? Describen cosas que se miden en intervalos nítidos y distintos, en lugar de variar suavemente en un rango. Las cosas discretas saltan repentinamente de una posición a otra, con una precisión rígida. Si mide 5 pies de altura, es posible que algún día crezca hasta 5.3 pies; pero aunque pueda haber 5 personas en su familia, nunca habrá 5.3 (aunque podría haber 6 algún día).

El último par de entradas de esta lista merecen un breve comentario. Son símbolos matemáticos, algunos de los cuales quizás estés familiarizado. En el lado derecho —en el reino continuo— están\(\int\) y\(\frac{d}{dx}\), que recordarás si has tomado cálculo. Ellos representan las dos operaciones fundamentales de integración y diferenciación. La integración, que se puede considerar como encontrar “el área bajo una curva”, es básicamente una forma de sumar un montón infinito de números en algún rango. Cuando “integras la función\(x^2\) de 3 a 5", realmente estás sumando todas las pequeñas y diminutas astillas verticales que comprenden el área de\(x=3\) la izquierda a\(x=5\) la derecha. Su entrada correspondiente en la columna izquierda de la tabla es\(\Sigma\), que es solo una manecilla corta para “resumir un montón de cosas”. La integración y la suma son operaciones equivalentes, es solo que cuando integras, estás sumando todas las astillas (infinitamente muchas) a lo largo del continuo de línea real. Cuando sumas, estás sumando una secuencia fija de entradas, una a la vez, como en un bucle. \(\Sigma\)es solo la discreta “versión” de\(\int\).

El mismo tipo de relación se mantiene entre la resta ordinaria (“—”) y la diferenciación (\(\frac{d}{dx}\)). Si has trazado un montón de puntos discretos en\(x\) -\(y\) ejes, y quieres encontrar la pendiente entre dos de ellos, simplemente restas sus\(y\) valores y divides por la (\(x\)) distancia entre ellos. Si tienes una función continua suave, por otro lado, usas la diferenciación para encontrar la pendiente en un punto: esto es esencialmente restar la minúscula diferencia entre dos puntos supremamente cercanos y luego dividir por la distancia entre ellos. Por lo tanto, la resta es solo la discreta “versión” de\(\frac{d}{dx}\).

No te preocupes, no necesitas haber entendido completamente ninguna de las cosas de integración o diferenciación de las que acabo de hablar, o incluso haber tomado cálculo todavía. Solo estoy tratando de darle una idea de lo que significa “discreto”, y cómo la dicotomía entre discreto y continuo realmente recorre todas las matemáticas y la informática. En este libro, nos centraremos principalmente en valores y estructuras discretas, que resultan ser de mayor utilidad en la informática. Eso se debe en parte a que, como probablemente sepa, las computadoras en sí mismas son discretas y solo pueden almacenar y calcular valores discretos. Puede haber muchos de ellos —megabytes, gigabytes, terabytes— pero cada valor almacenado está fundamentalmente compuesto por bits, cada uno de los cuales tiene un valor de 0 o 1. Esto es diferente al cerebro humano, por cierto, cuyas sinapsis neuronales se comunican en base a las cantidades continuas de sustancias químicas presentes en sus axones. Entonces supongo que “computadora” y “cerebro” son otro par de entradas que podríamos agregar a nuestra lista discreta vs. continua.

Sin embargo, hay otra razón por la que las matemáticas discretas son de más utilidad para los informáticos que las matemáticas continuas, más allá de lo de los bits y bytes. En pocas palabras, las computadoras funcionan algorítmicamente. Realizan programas paso a paso, de manera iterativa. Primero haz esto, luego haz eso, luego pasa a otra cosa. Esta ejecución mecánica, como el tictac de un reloj, impregna todo lo que la computadora puede hacer, y todo lo que le podemos decir que haga. En un momento dado, la computadora ha completado el paso 7, pero no el paso 8; ha acumulado 38 valores, pero aún no 39; su base de datos tiene exactamente 15 entradas en ella, ni más ni menos; sabe que después de aceptar esta solicitud de amistad, habrá exactamente 553 personas en su conjunto de amigos. Todo el paradigma detrás del razonamiento sobre las computadoras y sus programas es discreto, y es por eso que los informáticos encontramos diferentes problemas en los que vale la pena pensar que la mayoría del mundo hizo hace cien años.

Pero sigue siendo matemática. Es solo matemática discreta. Hay mucho por venir, así que hazme saber cuando estés listo para salir a la carretera.