2.9: Conjuntos de combinación

Bien, entonces tenemos sets. Ahora, ¿qué podemos hacer con ellos? Cuando aprendes por primera vez sobre los números antes del jardín de infantes, lo siguiente que aprendes es cómo combinar números usando varias operaciones para producir otros números. Estos incluyen\(+, -, \times, \div,\) exponentes, raíces, etc. Los conjuntos, también, tienen operaciones que son útiles para combinar para hacer otros conjuntos. Estos incluyen:

• Unión (\(\cup\)). La unión de dos conjuntos es un conjunto que incluye los elementos que cualquiera (o ambos) de ellos tienen como miembros. Por ejemplo, si\(A\) = {Papá, Lizzy}, y\(B\) = {Lizzy, T.J., Johnny}, entonces\(A \cup B\) = {Papá, Lizzy, T.J., Johnny}. Tenga en cuenta que un elemento está en la unión si está en\(A\) o\(B\). Por esta razón, existe una fuerte relación entre el operador sindical de conjuntos y el operador “or” (\(\vee\)) de lógica booleana que veremos más adelante.

• Intersección (\(\cap\)). La intersección de dos conjuntos es un conjunto que incluye los elementos que ambos tienen como miembros. En el ejemplo anterior,\(A \cap B\) = {Lizzy}. Existe una fuerte conexión entre la intersección y el operador lógico booleano “and” (\(\wedge\)).

• Complemento (parcial) (\(-\)). Parece resta, pero significativamente diferente. \(A - B\)contiene los elementos de A que no están también en B. Entonces empiezas con\(A\), y luego “restas” el contenido de\(B\), si ocurren. En el ejemplo anterior,\(A-B\) = {Papá}. (Tenga en cuenta que T.J. y Johnny realmente no entraron en el cálculo.) A diferencia\(\cup\) y\(\cap\), no\(-\) es conmutativo. Esto quiere decir que no es simétrico:\(A-B\) no da (normalmente) la misma respuesta que\(B-A\). En este ejemplo,\(B-A\) se encuentra {T.J., Johnny}, mientras que si alguna vez inviertes los operandos con unión o intersección, siempre obtendrás el mismo resultado que antes.

• [complemento] (Total) complemento (\(\overline{X}\)). Igual que el complemento parcial, anterior, salvo que lo es el primer operando implícito\(\Omega\). En otras palabras,\(A-B\) es “todas las cosas en las\(A\) que no están”\(B\), mientras que\(\overline{B}\) es “todas las cosas periodo en las que no están”\(B\). Por supuesto, “todas las cosas periodo” significa “todas las cosas de las que estamos hablando actualmente”. El dominio del discurso\(\Omega\) es muy importante aquí. Si estamos hablando de la familia Davies, diríamos que\(\overline{M}\) = {Mamá, Lizzy}, porque esos son todos los Davieses que no son varones. Si, por otro lado,\(\Omega\) es “el gran conjunto de absolutamente todo”, entonces no sólo mamá es miembro de\(\overline{M}\), sino que también lo es el número 12, la Revolución Francesa, y mi pesadilla el pasado martes sobre un ornitorrinco rabioso.

• Producto cartesiano (\(\times\)). Parece multiplicación, pero muy diferente. Cuando tomas el producto cartesiano de dos series\(A\) y\(B\), ni siquiera obtienes los elementos de los conjuntos en el resultado. En cambio, obtienes pares ordenados de elementos. Estos pares ordenados representan cada combinación de un elemento de A y un elemento de B. Por ejemplo, supongamos\(A\) = {Bob, Dave} y\(B\) = {Jenny, Gabrielle y Tiffany}. Entonces:

  \(A \times B\)= {(Bob, Jenny), (Bob, Gabrielle), (Bob, Tiffany),
  (Dave, Jenny), (Dave, Gabrielle), (Dave, Tiffany)}.

  Estudia esa lista. Lo primero que hay que darse cuenta es que no consiste ni en chicos ni chicas, sino en parejas ordenadas. (Claramente, por ejemplo, Jenny\(\notin A\times B\).) Cada chico aparece exactamente una vez con cada chica, y el chico es siempre el primer elemento de la pareja ordenada. Ya que tenemos dos chicos y tres chicas, hay seis elementos en el resultado, lo cual es una manera fácil de recordar el\(\times\) signo que representa el producto cartesiano. (No cometa, sin embargo, el error común de pensar que\(A \times B\) es 6. \(A \times B\)es un conjunto, no un número. La cardinalidad del conjunto, por supuesto, es 6, por lo que es apropiado escribir\(|A \times B| = 6\).)

Leyes de combinar conjuntos

Hay un montón de hechos útiles que surgen al combinar conjuntos usando los operadores anteriores. Lo importante es que todos estos se vean fácilmente con solo pensar en ellos por un momento. Dicho de otra manera, estos no son hechos para memorizar; son hechos para mirar y ver por ti mismo. Son solo algunas consecuencias naturales de la forma en que hemos definido conjuntos y operaciones, y hay muchas otras.

• La unión y la intersección son conmutativas. Como se señaló anteriormente, es fácil ver que siempre\(A \cup B\) dará el mismo resultado que\(B \cup A\). Lo mismo va para\(\cap\). (Sin embargo\(-\), no es cierto para.)

• La unión y la intersección son asociativas. “Asociativo” significa que si tienes un operador repetido varias veces, de izquierda a derecha, no importa en qué orden los evalúes. \((A \cup B) \cup C\)dará el mismo resultado que\(A \cup (B \cup C)\). Esto significa que podemos escribir libremente expresiones como “\(X \cup Y \cup Z\)" y nadie puede acusarnos de ser ambiguos. Esto también es cierto si tienes tres (o más) intersecciones seguidas. Sin embargo, ten cuidado: la asociatividad no se sostiene si tienes uniones e intersecciones mezcladas. Si escribo\(A \cup B \cap C\) importa mucho si hago la unión primero o la intersección primero. Así es como funciona con los números:\(4 + 3 \times 2\) da ya sea 10 o 14 dependiendo del orden de las operaciones. En álgebra, aprendimos que\(\times\) tiene precedencia sobre +, y siempre lo harás primero en ausencia de paréntesis. Podríamos establecer un orden similar para las operaciones de conjunto, pero no lo haremos: siempre lo haremos explícito con parens.

• La unión y la intersección son distributivas. [distributivelaw] Recordarás de álgebra básica que\(a \cdot (b+c) = ab + ac\). De manera similar con los sets,\[X \cap (Y \cup Z) = (X \cap Y) \cup (X \cap Z).\] Es importante resolver esto por ti mismo en lugar de simplemente memorizarlo como regla. ¿Por qué funciona? Bueno, tomemos un ejemplo concreto. Supongamos que\(X\) es el conjunto de todas las alumnas,\(Y\) es el conjunto de todas las carreras de informática, y\(Z\) es el conjunto de todas las carreras de matemáticas. (Algunos alumnos, por supuesto, doble especialización en ambos.) El lado izquierdo del signo de iguales dice “primero toma todas las carreras de matemáticas e informática y ponlas en grupo. Entonces, se cruzan ese grupo con las mujeres para extraer sólo a las alumnas”. El resultado es “mujeres que son mayores de ciencias de la computación o de matemáticas (o ambas)”. Ahora mira el lado derecho. El primer par de paréntesis encierra solo carreras de informática femeninas. El par adecuado encierra las carreras de matemáticas femeninas. Luego tomamos la unión de los dos, para obtener un grupo que contiene solo mujeres, y específicamente solo las mujeres que son especializaciones en ciencias de la computación o matemáticas (o ambas). Claramente, los dos lados del signo igual tienen la misma extensión.

  La propiedad distributiva en álgebra básica no funciona si voltea los tiempos y los signos más (normalmente\(a+b\cdot c \neq (a+b)\cdot (a+c)\)), pero notablemente lo hace aquí:\[X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z).\] Usando las mismas definiciones de\(X\)\(Y\),, y\(Z\), resuelve el significado de éste y convencerse de que siempre es cierto.

• Leyes de identidad. Lo más simple que has aprendido todo el día:\(X \cup \varnothing = X\) y\(X \cap \Omega = X\). No cambias\(X\) al agregarle nada, o quitarle nada.

• Leyes de dominación. La otra cara de lo anterior es que\(X \cup \Omega = \Omega\) y\(X \cap \varnothing = \varnothing\). Si tomas\(X\), y luego le agregas todo y el fregadero de la cocina, obtienes todo y el fregadero de la cocina. Y si restringen\(X\) a no tener nada, claro que no tiene nada.

• Complementar leyes. \(X \cup \overline{X} = \Omega\). Esta es otra forma de decir “todo (en el dominio del discurso) está o bien en, o no en, un conjunto”. Entonces si tomo\(X\), y luego tomo todo lo que no entra\(X\), y smoosh a los dos juntos, lo consigo todo. En una línea similar,\(X \cap \overline{X} = \varnothing\), porque no puede haber ningún elemento que esté tanto dentro\(X\) como no en\(X\): eso sería una contradicción. Curiosamente, la primera de estas dos leyes se ha vuelto polémica en la filosofía moderna. Se llama “la ley del medio excluido”, y se repudia explícitamente en muchos sistemas lógicos modernos.

• Las leyes de De Morgan. [demorganslaws] Ahora bien, vale la pena memorizarlos, aunque solo sea porque (1) son increíblemente importantes, y (2) pueden no deslizarse de la lengua como lo hacen las propiedades anteriores. El primero se puede afirmar de esta manera:

  \[\overline{X \cup Y} = \overline{X} \cap \overline{Y}.\]

  Nuevamente, se entiende mejor con un ejemplo específico. Digamos que estás alquilando una casa, y quieres asegurarte de no tener ningún personaje hosco bajo el techo. \(X\)Déjese ser el conjunto de todos los ladrones conocidos. \(Y\)Sea el conjunto de todos los asesinos conocidos. Ahora como arrendador, no quieres que ningún ladrón o asesino renten tu propiedad. Entonces, ¿a quién estás dispuesto a rentar? Respuesta: si\(\Omega\) es el conjunto de todas las personas, estás dispuesto a rentar a\(\overline{X \cup Y}\).

  ¿Por qué eso? Porque si tomas\(X \cup Y\), eso te da todos los indeseables: personas que son o asesinos o ladrones (o ambos). No quieres rentar a ninguno de ellos. De hecho, se quiere rentar al complemento de ese conjunto; es decir, “cualquiera más”. Ponerle un overbar a esa expresión te da a todos los no ladrones y no asesinos.

  Muy bien. Pero ahora mira el lado derecho de la ecuación. \(\overline{X}\)te da a los no ladrones. \(\overline{Y}\)te da a los no asesinos. Ahora para conseguir gente aceptable, solo quieres rentar a alguien que esté en ambos grupos. Dicho de otra manera, tienen que ser tanto un no ladrón como un no asesino para que les alquiles. Por lo tanto, deben estar en la intersección del grupo no ladrón y el grupo no asesino. Por lo tanto, los dos lados de esta ecuación son los mismos.

  La otra forma de la ley de De Morgan se afirma volteando las intersecciones y los sindicatos:

  \[\overline{X \cap Y} = \overline{X} \cup \overline{Y}.\]

  Calcula este por ti mismo usando un ejemplo similar, y convénzate de que siempre es cierto.

  Augustus De Morgan, por cierto, fue un brillante matemático\(^\text{th}\) del siglo XIX con una amplia gama de intereses. Su nombre volverá a aparecer cuando estudiemos la lógica y la inducción matemática.