2.8: Algunos conjuntos especiales

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Además del conjunto vacío, hay símbolos para algunos otros conjuntos comunes, incluyendo:

\(\mathbb{Z}\)— los enteros (positivo, negativo y cero)
\(\mathbb{N}\)— los números naturales (enteros positivos y cero)
\(\mathbb{Q}\)— los números racionales (todos los números que se pueden expresar como un entero dividido por otro entero)
\(\mathbb{R}\)— los números reales (todos los números que no son imaginarios, incluso los números decimales que no son racionales)

La cardinalidad de todos estos conjuntos es infinito, aunque como aludí anteriormente,\(|\mathbb{R}|\) es en cierto sentido “mayor que”\(|\mathbb{N}|\). Para los curiosos, decimos que\(\mathbb{N}\) es un conjunto contablemente infinito, mientras que\(|\mathbb{R}|\) es incontablemente infinito. Hablando muy vagamente, esto se puede pensar de esta manera: si empezamos a contar todos los números naturales 0, 1, 2, 3, 4,..., nunca llegaremos al final de ellos. Pero al menos podemos empezar a contar. Con los números reales, ni siquiera podemos despegar. ¿Por dónde comienzas? Empezar con 0 está bien, pero entonces ¿cuál es el “siguiente” número real? Elegir cualquier cosa para tu segundo número inevitablemente se salta mucho en el medio. Una vez que hayas digerido esto, te daré otra verdad impactante: en realidad\(|\mathbb{Q}|\) es igual a\(|\mathbb{N}|\), no mayor de lo que\(|\mathbb{R}|\) es como es. A Cantor se le ocurrió un ingenioso esquema de numeración mediante el cual todos los números racionales\(-9\), incluidos 3\(\frac{4}{17}\),,, y\(-\frac{1517}{29}\) - se pueden enumerar regularmente, en orden, al igual que los enteros pueden. Y así\(|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|\neq|\mathbb{R}|\). Este tipo de cosas pueden dejarte boquiabierto.