3.1: La idea de una relación

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Una relación entre un conjunto\(X\) y\(Y\) es un subconjunto del producto cartesiano. Esa frase empaca en un montón de muchísimo, así que pasa un momento pensándolo profundamente. Recordemos que\(X \times Y\) produce un conjunto de pares ordenados, uno por cada combinación de un elemento de\(X\) y un elemento de\(Y\). Si\(X\) tiene 5 elementos y\(Y\) tiene 4, entonces\(X \times Y\) es un conjunto de 20 pares ordenados. Para hacerlo concreto, si\(X\) es el conjunto {Harry, Ron, Hermione}, y\(Y\) es el conjunto {Dr. Pepper, Mt. Rocío}, entonces\(X \times Y\) es {(Harry, Dr. Pepper), (Harry, Mt. Rocío), (Ron, Dr. Pepper), (Ron, Mt. Rocío), (Hermione, Dr. Pepper), (Hermione, Mt. Rocío)}. Convénzase de que cada combinación posible está ahí dentro. Los enumeré metódicamente para asegurarme de que no me perdí ninguno (todos los Harry's primero, con cada trago en orden, luego todos los Ron's, etc.) pero claro que no hay orden para los miembros de un set, así que podría haberlos enumerado en cualquier orden.

Ahora bien, si defino una relación entre\(X\) y\(Y\), simplemente estoy especificando que algunos de estos pares ordenados están en la relación, y ciertos no lo están. Por ejemplo, podría definir una relación\(R\) que contenga solo {(Harry, Mt. Rocío), (Ron, Mt. Rocío)}. Podría definir otra relación\(S\) que contenga {(Hermione, Mt. Rocío), (Hermione, Dr. Pepper), (Harry, Dr. Pepper)}. Podría definir otra relación\(T\) que no tenga ninguno de los pares ordenados; es decir,\(T = \varnothing\).

Una pregunta que se le debería ocurrir es: ¿cuántas relaciones diferentes hay entre dos conjuntos\(X\) y\(Y\)? Piénsalo: cada uno de los pares ordenados en\(X \times Y\) cualquiera está, o no está, en una relación particular entre\(X\) y\(Y\). Muy bien. Dado que hay un total de pares\(|X|\cdot|Y|\) ordenados, y cada uno de ellos puede estar presente o ausente de cada relación, debe haber un total de

\[2^{|X|\cdot|Y|}\]

diferentes relaciones entre ellos. Dicho de otra manera, el conjunto de todas las relaciones entre\(X\) y\(Y\) es el conjunto de poder de\(X \times Y\). Te dije que eso iba a subir mucho.

En el ejemplo anterior, entonces, hay una friolera\(2^6\), o 64 relaciones diferentes entre esos dos pequeños conjuntos pequeñitos. Una de esas relaciones es el conjunto vacío. Otro tiene los seis pares ordenados en él. El resto cae en algún lugar en el medio. (Algo para pensar: ¿cuántas de estas relaciones tienen exactamente un par ordenado? ¿Cuántos tienen exactamente cinco?)

Notación

Me parece algo incómoda la notación para expresar relaciones. Pero aquí está. Cuando definimos la relación\(S\), arriba, teníamos la pareja ordenada (Harry, Dr. Pepper) en ella. Para afirmar explícitamente este hecho, podríamos decir simplemente\[\text{(Harry, Dr.~Pepper)} \in S\] y de hecho podemos hacerlo. Más a menudo, sin embargo, los matemáticos escriben:

Harry\(S\) Dr. Pepper.

que se pronuncia “Harry está\(S\) relacionado con el Dr. Pepper”. Te dije que era incómodo.

Si queremos llamar la atención sobre el hecho de que (Harry, Mt. Rocío) no está en la relación\(S\), podríamos atravesarlo para escribir

Harry —\(S\) — Mt. Rocío