3.4: Relaciones finitas e infinitas

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Los sets pueden ser infinitos, y las relaciones también pueden serlo. Una relación infinita es simplemente una relación con infinitamente muchos pares ordenados en ella. Esto puede parecer extraño al principio, ya que ¿cómo podríamos esperar especificar todos los pares ordenados? Pero en realidad no es diferente a con los sets: o tenemos que hacerlo intencionalmente, o bien tener una regla para computar sistemáticamente la extensión.

Como ejemplo de la primera, considere la relación “IsGreaterthan” entre\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Z}\). (Recordemos que “\(\mathbb{Z}\)" es solo una forma de escribir “el conjunto de enteros”). Esta relación contiene pares ordenados como (5, 2) y (17, —13), ya que 5 esmayor que 2 y 17 esmayor que —13, pero no (7, 9) o (11, 11). Claramente es una relación infinita. No pudimos enumerar todos los pares, pero no necesitamos hacerlo, ya que el nombre implica el significado subyacente de la relación.

Como ejemplo del segundo, considere la relación “IsLuckierThan” entre\(\mathbb{N}\) y\(\mathbb{N}\). (El “\(\mathbb{N}\)" significa “los números naturales”.) Lo especificamos extensamente de la siguiente manera:

{(1, 13), (2, 13), (3, 13),... (12, 13), (14, 13), (15, 13), (16, 13),...}

Aquí solo estamos diciendo “cada número tiene más suerte que 13 (excepto el 13 mismo, por supuesto)”.