3.8: Ejercicios

Q	A
Deja\(A\) ser el set {Chuck, Julie, Sam} y\(S\) ser el set {baloncesto, voleibol}. ¿Es {(Julie, basquetbol), (Sam, basquetbol), (Julie, voleibol)} una relación entre\(A\) y\(S\)?	Sí lo es, ya que es un subconjunto de\(A \times S\).
¿La relación anterior es una endorelación?	No, porque una endorelación involucra un conjunto consigo mismo, no dos conjuntos diferentes (como\(A\) y\(S\) son.)
¿Es {(Chuck, basquetbol), (basquetbol, voleibol)} una relación entre\(A\) y\(S\)?	No, ya que el primer elemento de uno de los pares ordenados no es del conjunto\(A\).
¿Es\(\varnothing\) una relación entre\(A\) y\(S\)?	Sí lo es, ya que es un subconjunto de\(A \times S\).
¿Qué tan grande podría\(S\) ser una relación entre\(A\) y?	La cardinalidad máxima es de 6, si los tres atletas jugaron los tres deportes. (Estoy asumiendo que el significado de la relación es “plays" en lugar de “isafanof" o “knowsTherulesFor" o algo más. En todo caso, la cardinalidad máxima es 6.)
\(T\)Sea el set {Spock, Kirk, McCoy, Scotty, Uhura}. Dejar\(O\) ser una endorelación on\(T\), definida de la siguiente manera: {(Kirk, Scotty), (Spock, Scotty), (Kirk, Spock), (Scotty, Spock)}. ¿Es\(T\) reflexivo?	No, ya que no tiene ninguno de los elementos de\(T\) aparecer consigo mismos.
¿Es\(T\) simétrico?	No, ya que contiene (Kirk, Scotty) pero no (Scotty, Kirk).
¿Es\(T\) antisimétrico?	No, ya que contiene (Spock, Scotty) y también (Scotty, Spock).
¿Es\(T\) transitivo?	Sí, ya que para todos\((x,y)\) y\((y,z)\) presentes, también\((x,z)\) está presente el correspondiente. (El único ejemplo que se ajusta a esto es\(x\) =Kirk,\(y\) =Spock,\(z\) =Scotty, y el par ordenado requerido está efectivamente presente).
Dejar\(H\) ser una endorelación on\(T\), definida de la siguiente manera: {(Kirk, Kirk), (Spock, Spock), (Uhura, Scotty), (Scotty, Uhura), (Spock, McCoy), (McCoy, Spock), (Scotty, Scotty), (Uhura, Uhura)}. ¿Es\(H\) reflexivo?	No, ya que falta (McCoy, McCoy).
¿Es\(H\) simétrico?	Sí, ya que por cada\((x,y)\) que contiene, también\((y,x)\) está presente el correspondiente.
¿Es\(H\) antisimétrico?	No, ya que contiene (Uhura, Scotty) y también (Scotty, Uhura).
¿Es\(H\) transitivo?	Sí, ya que no hay ningún ejemplo de\((x,y)\) y\((y,z)\) pares ambos estando presentes.
Que los superados sean una endorelación en el set de todos los miembros de la tripulación del Enterprise, donde\((x,y) \in\) supere si el personaje\(x\) tiene un rango de Flota Estelar más alto que\(y\). ¿Los superados son reflexivos?	No, ya que ningún oficial se supera a sí mismo.
¿Los superpuestos son simétricos?	No, ya que un oficial no puede superar a un oficial que a su vez lo supera.
¿Los superados son antisimétricos?	Sí, ya que si un oficial supera a un segundo, el segundo tampoco puede superar al primero.
¿Los superados son transitivos?	Sí, ya que si un oficial supera a un segundo, y ese oficial supera a un tercero, el primero obviamente también supera al tercero.
¿Los superados son una orden parcial?	No, pero cerca. Satisface la antisimetría y la transitividad, que son cruciales. Lo único que no satisface es la reflexividad, ya que ninguno de los miembros aparece consigo mismo. Si cambiáramos esta relación a ranksatLeastasHighas, entonces podríamos incluir estos pares “dobles” y tener un orden parcial.
Deja que SameshirtColor sea una endorelación en el set de todos los miembros de la tripulación del Enterprise, donde\((x,y) \in\) SameshirtColor si el personaje\(x\) normalmente usa el mismo color de camisa que el personaje\(y\). ¿SomeHirtColor es reflexivo?	Sí, ya que no puedes dejar de ayudar a usar el mismo color de camisa que llevas puesto.
¿SameshirtColor es simétrico?	Sí, ya que si un miembro de la tripulación usa el mismo color de camisa que otro, entonces ese segundo miembro de la tripulación también lleva el mismo color de camisa que la primera. Si Scotty y Uhura visten de rojo, entonces Uhura y Scotty ambos visten de rojo, duh.
¿SameshirtColor es antisimétrico?	No, probablemente por razones obvias.
¿SmeshirtColor es transitivo?	Sí. Si Kirk y Sulu llevan el mismo color (amarillo), y Sulu y Chekov visten el mismo color (amarillo), entonces Kirk y Chekov seguramente usarán el mismo color (amarillo).
Arriba, definimos\(A\) como el set {Chuck, Julie, Sam} y\(S\) como el set {baloncesto, voleibol}. Después definimos la relación {(Julie, basquetbol), (Sam, basquetbol), (Julie, voleibol)}. ¿Esta relación es una función?	No, porque le falta a Chuck por completo.
Supongamos que le agregamos el par ordenado (Chuck, basquetbol). ¿Ahora es una función?	No, porque Julie aparece dos veces, mapeando a dos valores diferentes.
Bien. Supongamos que luego eliminamos (Julie, voleibol). Ahora tenemos {(Julie, basquetbol), (Sam, basquetbol), (Chuck, basquetbol)}. ¿Esto es una función?	Sí. Enhorabuena.
Llamemos a esta función “FaveSport”, lo que sugiere que su significado es indicar qué deporte es el favorito de cada atleta. ¿Cuál es el dominio de FaveSport?	{Julie, Chuck, Sam}.
¿Cuál es el codominio de FaveSport?	{básquetbol, voleibol}.
¿Cuál es la gama de FavoSport?	{básquetbol}.
¿FaveSport es inyectivo?	No, porque Julie y Sam (y Chuck) todos mapean al mismo valor (básquetbol). Para que una función sea inyectiva, no debe haber dos elementos de dominio que se mapeen al mismo elemento de codominio.
¿Hay alguna manera de hacerlo inyectivo?	No sin alterar los conjuntos subyacentes. Hay tres atletas y dos deportes, así que no podemos evitar mapear a múltiples atletas para un mismo deporte.
Bien. ¿FaveSport es suryectiva?	No, porque nadie mapea al voleibol.
¿Hay alguna manera de hacerla suryectiva?	Claro, por ejemplo cambiar a Sam de basquetbol a voleibol. Ahora ambos elementos de codominio son “alcanzables” por algún elemento de dominio, por lo que es suryectiva.
¿FaveSport ahora también es biyectiva?	No, porque todavía no es inyectivo.
¿Cómo podemos alterar las cosas para que sea biyectiva?	Una forma es agregar un tercer deporte —digamos, kickboxing— y mover a Julie o Chuck al kickboxing. Si tenemos Julie mapa al kickboxing, Sam mapa al voleibol, y Chuck mapa al basquetbol, tenemos una bijección.
¿Cómo escribimos normalmente el hecho de que “Julie mapea al kickboxing”?	FaveSport (Julie) = kickboxing.
¿Cuál es otro nombre para “inyectivo”?	uno a uno.
¿Cuál es otro nombre para “suryectiva”?	sobre.
¿Cuál es otro nombre para “range”?	imagen.