3.7: Propiedades de las funciones

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Al igual que con las relaciones, hay ciertas propiedades simples que algunas (no todas) funciones tienen, y es útil razonar sobre ellas. Una función puede ser:

Inyectivo. Una función de inyección no es sólo una función, sino también una especie de “función a la inversa”: es decir, no sólo no se\(x\) mapea a dos diferentes\(y\) (que es el caso de todas las funciones), sino que no dos\(x\) mapean a la misma\(y\). En términos gráficos, sí pasa una “prueba de línea horizontal” además de la vertical. Tenga en cuenta que esto no puede suceder si el dominio es más grande que el codominio (como ocurre con los asistentes y refrescos), ya que no hay suficientes\(y\) valores para acomodar todos los\(x\) valores de manera única. Por lo que no hay ninguna función de inyección entre los asistentes y los refrescos que se pueda encontrar, por mucho que lo intentemos.

La función PhoneExtension —con empleados como dominio y números de cuatro dígitos como codominio— es un ejemplo de una función de inyección. Un mapeo de esta función sería “PhoneExtension (Sally) = 1317", indicando que Sally puede ser alcanzada en x1317. Algunas de las extensiones disponibles pueden estar actualmente sin usar, pero cada empleado tiene una (y solo una) lo que la convierte en una función. Pero como no hay dos empleados que tengan la misma extensión, también es una función de inyección.

Las funciones inyectoras a veces se denominan funciones uno-a-uno. (Uno a uno e inyectivo son sinónimos exactos.)
Suryectiva. Una función suryectiva es aquella que alcanza todos los elementos de su codominio: algunos\(x\) de hecho llegan a todos\(y\). Otra forma de decir esto es: para una función suryectiva, el rango equivale a todo el codominio. Se puede ver que esto es imposible si el dominio es más pequeño que el codominio, ya que no habría suficientes\(x\) valores para alcanzar todos los\(y\) valores. Si agregáramos Pepsi y Barq's Root Beer a nuestro\(Y\) set, eliminaríamos así la posibilidad de cualquier función surjectiva de\(X\) a\(Y\) (a menos que también agregáramos asistentes, por supuesto).

La función workIn —con empleados como dominio y departamentos como codominio— es un ejemplo de una función suryectiva. Un mapeo de esta función sería “workSin (Sid) = Marketing”, indicando que Sid trabaja en el departamento de Marketing. Cada empleado trabaja para un departamento, lo que lo convierte en una función. Pero al menos un empleado trabaja en cada departamento (es decir, no hay departamentos vacíos sin gente en ellos) lo que lo hace suryectiva.

Las funciones suryectivas a veces se llaman funciones “onto”. (Onto y suryective son sinónimos exactos.)
Biyectiva. Por último, una función biyectiva es simplemente aquella que es a la vez inyectiva y suryectiva. Con una función inyectiva, cada uno\(y\) se mapea por como máximo uno\(x\); con una función suryectiva, cada uno\(y\) se mapea por al menos uno\(x\); así con una función biyectiva, cada\(y\) está mapeado por exactamente uno\(x\). No hace falta decir que el dominio y el codominio deben tener la misma cardinalidad para que esto sea posible.

La función EmployeeNumber —con empleados como dominio y números de empleados como codominio— es una función biyectiva. Cada empleado tiene un número de empleado, y cada número de empleado va con exactamente un empleado. Como corolario de esto, hay el mismo número de empleados que los números de empleados.

Finalmente, algunos ejemplos extensamente definidos. Con\(X\) = {Harry, Ron, Hermione} y\(Y\) = {Dr. Pepper, Mt. Rocío}, considera la función\(f_1\):

\(f_1\)(Harry) = Mt. Rocío
\(f_1\) (Ron) = Mt. Rocío
\(f_1\) (Hermione) = Mt. Rocío

¿Es\(f_1\) inyectivo? No, ya que más de un mago (todos ellos, de hecho) mapean al monte. Rocío. ¿Es suryectiva? No, ya que ningún mago mapea al Dr. Pepper. ¿Es biyectiva? No, duh, ya que para ser biyectiva debe ser tanto inyectiva como suryectiva.

Ahora para\(f_2\), cambiar Ron para mapear a Dr. Pepper en su lugar:

\(f_2\)(Harry) = Mt. Rocío
\(f_2\) (Ron) = Dr. Pepper
\(f_2\) (Hermione) = Mt. Rocío

¿Es\(f_2\) inyectivo? Aún no, ya que más de un mago mapea al monte. Rocío. (Y por supuesto ninguna función entre estos dos conjuntos puede ser inyectora, ya que no hay suficientes refrescos para que cada mago tenga el suyo propio). Pero, ¿es suryectiva? Sí, ahora es suryectiva, ya que cada refresco tiene al menos un mago mapeado a él. (Todavía no biyectiva por razones obvias.)

Ahora agreguemos Pepsi y Barqs Root Beer a nuestro set de refrescos\(Y\), para que ahora tenga cuatro elementos: {Dr. Pepper, Mt. Rocío, Pepsi, Barqs Cerveza de Raíz}. Considere la función\(f_3\):

\(f_3\)(Harry) = Pepsi
\(f_3\) (Ron) = Pepsi
\(f_3\) (Hermione) = Mt. Rocío

¿Es\(f_3\) inyectivo? No, ya que más de un mago mapea a Pepsi. ¿Es suryectiva? No, ya que ningún mago mapea al Dr. Pepper o Barqs. (Y claro que ninguna función entre estos dos conjuntos puede ser suryectiva, ya que no hay suficientes asistentes para que cada trago tenga uno). Y claro que no biyectiva.

Ahora para\(f_4\), cambiar Ron para mapear a Dr. Pepper en su lugar:

\(f_4\)(Harry) = Pepsi
\(f_4\) (Ron) = Dr. Pepper
\(f_4\) (Hermione) = Mt. Rocío

Todavía no suryectiva, claro, pero ahora es inyectora, ya que ninguna bebida tiene más de un mago. (Todavía por supuesto que no biyectiva.)

Por último, agreguemos un mago más (Neville) a la mezcla para dos ejemplos más. Dejar\(f_5\) ser:

\(f_5\)(Harry) = Barqs Cerveza de Raíz
\(f_5\) (Ron) = Dr. Pepper
\(f_5\) (Hermione) = Mt. Rocío
\(f_5\) (Neville) = Dr. Pepper

¿Es\(f_5\) inyectivo? No, ya que el Dr. Pepper tiene dos magos. ¿Es suryectiva? No, ya que Pepsi no tiene ninguno. Golpeado en todos los aspectos. Sin embargo, un pequeño cambio y todo encaja en su lugar:

\(f_6\)(Harry) = Barqs Cerveza de Raíz
\(f_6\) (Ron) = Pepsi
\(f_6\) (Hermione) = Mt. Rocío
\(f_6\) (Neville) = Dr. Pepper

¿Esta última función es inyectiva, suryectiva, biyectiva? ¡Sí a los tres! Cada mago recibe su propio refresco, cada refresco obtiene su propio mago, y no quedan refrescos (o asistentes) fuera. Qué emocionante. Esta es una función perfectamente biyectiva, también llamada biyección. Nuevamente, la única manera de obtener una biyección es que el dominio y el codominio sean del mismo tamaño (aunque eso por sí solo no garantiza una biyección; testigo\(f_5\), arriba). También observe que si son del mismo tamaño, entonces la inyectividad y la surjectividad van de la mano. Violar uno, y estás obligado a violar al otro. Sostén al uno, y tú estás obligado a sostener al otro. Hay una elegancia agradable, agradable y simétrica en toda la idea.