4.5: Probabilidad total

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Hay un dato muy útil que se conoce con el grandioso nombre “La Ley de Probabilidad Total”. Va así. Si hay algún evento cuya probabilidad nos gustaría saber, podemos dividirlo en pedazos y sumar sus probabilidades, siempre y cuando lo hagamos de la manera correcta.

El bit de “El camino correcto” es la clave, claro. Y tiene que ver con particiones. Recordemos de la sección 12 que una partición de un conjunto es un grupo de subconjuntos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Un ejemplo es que cada conjunto y su complemento juntos forman una partición de\(\Omega\). De la misma manera, para cualquier conjunto\(A\) y\(B\), estos dos conjuntos juntos forman una partición de\(A\):

\[\begin{aligned} A \cap B \\ A \cap \overline{B}\end{aligned}\]

Esto vale la pena tomarse un momento para entender completamente. Supongamos que\(A\) es el conjunto de todos los fanáticos de la lucha libre profesional de WWE, y\(B\) es el conjunto de todas las personas nacidas en los estados El primer set enumerado anteriormente,\(A \cap B\) contiene fanáticos de la lucha libre profesional nacidos en estados del sur, y el segundo set,\(A \cap \overline{B}\), los fanáticos de la lucha libre no nacidos en estados del sur. Claramente, cada fanático de la lucha libre está en uno de estos dos sets, y ningún fan está en ambos. Entonces es una partición de\(A\). Esto funciona para dos conjuntos cualesquiera\(A\) y\(B\):\(A \cap B\) y\(A \cap \overline{B}\) son una partición de\(A\). Simplemente estamos dividiendo las A en las A que también son B, y las A que no son B. Cada A está en uno (y solo uno) de esos grupos.

Esta idea se puede extender a más de dos conjuntos. \(C_1\)Sea el conjunto de todas las personas nacidas en estados del sur,\(C_2\) el conjunto de personas nacidas en estados occidentales, y\(C_3\) las que no nacieron en ninguna de las regiones. (El set\(C_3\) incluye muchas cosas: personas nacidas en Ohio, personas nacidas en Taiwán y sándwiches de jamón, entre otras). Los siguientes tres conjuntos, entonces, juntos forman otra partición de\(A\):\(A \cap C_1\),\(A \cap C_2\), y\(A \cap C_3\). Esto se debe a que todo fanático de la lucha libre profesional nace en el sur, o nace en el oeste, o ninguno de ellos.

Bien, ahora volvamos a la probabilidad. En el caso de dos conjuntos, no importa cuál sea el evento\(A\), podemos dividir su probabilidad de esta manera:

\[\begin{aligned} \text{Pr}(A) &= \text{Pr}(A \cap B) + \text{Pr}(A \cap \overline{B}) \\ &= \text{Pr}(A|B) \text{Pr}(B) + \text{Pr}(A|\overline{B}) \text{Pr}(\overline{B})\end{aligned}\]

donde\(B\) hay cualquier otro evento. El último paso hace uso de la definición de probabilidad condicional desde arriba. Estamos dividiendo A en las B y las no-B, en una estrategia para determinar la probabilidad de A. En el caso general, si\(N\) los conjuntos nombrados\(C_k\) (donde\(k\) es un número del 1 al\(N\)) forman una partición de\(\Omega\), entonces:

\[\begin{aligned} \text{Pr}(A) &= \text{Pr}(A \cap C_1) + \text{Pr}(A \cap C_2) + \cdots + \text{Pr}(A \cap C_N) \\ &= \text{Pr}(A|C_1) \text{Pr}(C_1) + \text{Pr}(A|C_2) \text{Pr}(C_2) + \cdots + \text{Pr}(A|C_N) \text{Pr}(C_N) \\ &= \sum_{k=1}^N{\text{Pr}(A|C_k) \text{Pr}(C_k)}\end{aligned}\]

es la fórmula. ¹

Tomemos un ejemplo de este enfoque. Supongamos que como parte de una promoción para la sala de cine Muvico Cinemas, planeamos darle un premio de puerta al\(1000^{\text{th}}\) cliente este sábado por la tarde. Queremos saber, sin embargo, la probabilidad de que esta persona sea menor de edad. Determinar cuántos mecenas en general serán menores de 18 años podría ser difícil. Pero supongamos que estamos mostrando estas tres películas el sábado: Los Vengadores, Cisne Negro y El Lorax del Dr. Seuss. Podemos estimar la fracción de espectadores de cada película que serán menores: .6, .01, y .95, respectivamente. También podemos predecir cuántos boletos se venderán por cada película: 2,000 para los Vengadores, 500 para Black Swan y 1,000 para Lorax.

Aplicando principios frecuentistas, podemos calcular la probabilidad de que un visitante en particular vea cada una de las películas:

Pr (Avengers) =\(\frac{2000}{2000+500+1000} = .571\)
Pr (Cisne Negro) =\(\frac{500}{2000+500+1000} = .143\)
Pr (Lorax) =\(\frac{1500}{2000+500+1000} = .286\)

Para ser claros: esto es decir que si seleccionamos a un visitante al azar el sábado, la probabilidad de que estén viendo a Los Vengadores es de .571.

Pero (y este es el truco) también podemos calcular la probabilidad condicional de que un asistente de cada una de estas películas sea menor:

\[\begin{aligned} \text{Pr(minor}|\text{Avengers)} &= .6 \\ \text{Pr(minor}|\text{BlackSwan)} &= .01 \\ \text{Pr(minor}|\text{Lorax)} &= .95\end{aligned}\]

En palabras: “Si sabemos que un visitante viene a ver Los Vengadores, hay una probabilidad de .6 de que sea menor”. Estamos usando el conocimiento previo para determinar la probabilidad condicional. Podría ser difícil averiguar la probabilidad de que los menores en general sean menores, pero más fácil averiguar la probabilidad de que menores vean una película específica.

Ahora, es solo cuestión de unir las partes:

\[\begin{aligned} \text{Pr(minor)} = &\ \text{Pr(minor}|\text{Avengers) Pr(Avengers)} + \\ &\ \text{Pr(minor}|\text{BlackSwan) Pr(BlackSwan)} + \\ &\ \text{Pr(minor}|\text{Lorax) Pr(Lorax)}\\ = &\ .6 \cdot .571 + .01 \cdot .143 + .95 \cdot .286 \\ = &\ .343 + .00143 + .272 \approx .616\end{aligned}\]

En palabras, hay tres formas diferentes para que un visitante sea menor de edad: podría ser un fan de los Vengadores y un menor (muy probablemente, ya que hay muchos fans de Avengers), o un fanático de Black Swan y un menor (no probable), o un fanático de Lorax y un menor (bastante probable, ya que aunque no hay un montón de fans de Lorax en general, la mayoría de ellos son menores de edad). Sumar estas probabilidades es legítimo sólo porque las tres películas forman una partición de los visitantes (es decir, cada visitante está ahí para ver una y sólo una película).

La Ley de Probabilidad Total es útil en escenarios donde hay más de una “vía” para que ocurra un evento. Te permite separar ese evento en las diferentes formas, luego aplicar tu conocimiento de la probabilidad de cada una de esas formas para calcular la gran probabilidad general del evento.

Si no estás familiarizado con la notación en esa última línea, date cuenta de que σ (una “sigma” griega mayúscula) solo representa una especie de bucle con un contador. El “k = 1” debajo del signo significa que el contador es k y comienza en 1; el “N” por encima del signo significa que el contador sube a N, que es su último valor. ¿Y qué hace el loop? Se suma una suma acumulativa. Lo que se agrega al total cada vez que pasa por el bucle es la expresión a la derecha del signo. La última línea con la σ es solo una forma más compacta de expresar la línea anterior.