4.4: Probabilidad condicional

Mencioné que los bayesianos están especialmente preocupados por la idea de revisar estimaciones sobre la probabilidad a partir de nueva información que pueda salir a la luz. Esta noción puede cristalizarse en la idea de probabilidad condicional. Cuando hablamos de la probabilidad condicional de un evento\(A\), nos referimos a “¿cuál es la probabilidad que\(A\) ocurre, dado que sé que algún otro evento también\(K\) ha ocurrido?” Piense en ello\(K\) como “conocimiento de fondo”: es información adicional que, cuando se conoce, puede influir en la probabilidad que pensamos que\(A\) ha ocurrido. Se puede calcular matemáticamente de la siguiente manera:

\[\text{Pr}(A|K) = \dfrac{\text{Pr}(A \cap K)}{\text{Pr}(K)}\]

Pronunciamos Pr (\(A|K\)) como “la probabilidad de\(A\) dar”\(K\). Es la probabilidad condicional de\(A\), o “la probabilidad de\(A\) condicionarse”\(K\). A veces llamaremos a Pr (\(A\)) a simple edad la probabilidad a priori, o la probabilidad previa si no queremos sonar latino. El previo es simplemente la probabilidad original no ajustada, si no estamos al tanto de la información de fondo\(K\).

Volvamos a American Idol. Sabemos que la probabilidad de que un menor de edad sea ganador es de sólo .4, porque\(U\) = {Kelly, Fantasia}, y estimamos que cada uno de ellos tiene una probabilidad .2 de ganar. Por lo que parece más probable que nuestro ganador sea mayor de 21 años. Pero espera: supongamos que teníamos alguna información adicional. Justo antes de que se anuncie el resultado, se filtra la noticia a través de una fuente de noticias de Rupert Murdoch de que ¡la ganadora es una mujer! Si le creemos a este reportero, ¿eso cambia nuestra expectativa sobre la edad que probablemente tenga el ganador?

Efectivamente lo hace. Saber que el ganador es femenino elimina a Dave de la consideración. Mirando hacia atrás en la Figura 4.2.1, podemos ver que una vez que sabemos que Dave está fuera de la carrera, el grupo restante consiste en solo\(F\), que incluye a Kelly, Fantasia y Carrie. La pregunta es, ¿cómo actualizamos nuestra probabilidad de .4 para reflejar el hecho de que solo estas tres damas son

En este caso\(F\) es el conocimiento previo: sabemos que el suceso\(F\) ha ocurrido. Y queremos saber qué tan probable\(U\) es que también se hayan producido. Esto se encuentra fácilmente:

\[\begin{aligned} \text{Pr}(U|F) &= \dfrac{\text{Pr}(U \cap F)}{\text{Pr}(F)} \\ &= \dfrac{\text{Pr}(\{\text{Kelly,Fantasia}\})}{\text{Pr}(\{\text{Kelly,Fantasia,Carrie}\})} \\ &= \dfrac{.4}{.5} = .8.\end{aligned}\]

Nuestra probabilidad estimada de una ganadora menor de edad se duplicó una vez que descubrimos que era mujer (aunque aún no sabemos cuál de ellas).

Si miras la ecuación y el diagrama, verás la justificación de esta fórmula. Kelly y Fantasia originalmente solo tenían .4 de toda la probabilidad entre ellos. Pero una vez que David fue despedido, la pregunta fue: “¿qué porcentaje de la probabilidad restante tienen Kelly y Fantasia?” La respuesta ya no fue .4 de 1, sino .4 de .5, ya que sólo .5 del conjunto quedó post-David. Por eso nos dividimos por Pr (\(F\)): eso es lo que sabemos que queda dado nuestro hecho de antecedentes.

Ahora bien, en este caso, la probabilidad condicional era mayor que la probabilidad original. ¿Podría ser alguna vez más bajo? Fácilmente. Considera la probabilidad de un ganador de una estrella de rock, Pr (\(R\)). A priori, es .7. Pero nuevamente, digamos que nos filtraron información de que la ganadora, quienquiera que sea, es femenina. Ahora podemos actualizar nuestra estimación:

\[\begin{aligned} \text{Pr}(R|F) &= \dfrac{\text{Pr}(R \cap F)}{\text{Pr}(F)} \\ &= \dfrac{\text{Pr}(\{\text{Kelly}\})}{\text{Pr}(\{\text{Kelly,Fantasia,Carrie}\})} \\ &= \dfrac{.2}{.5} = .4.\end{aligned}\]

Verás, una vez que nos enteramos de que David ya no es una posibilidad, nuestra única esperanza que nos queda para una estrella de rock es Kelly. Y sólo tiene el 40% de la probabilidad que le sobran. Tenga en cuenta que esta es una mayor probabilidad para ella personalmente —tiene que emocionarse con la fuga de prensa— pero es menor para las estrellas de rock, de las cuales ella es solo una (y evidentemente, no la más fuerte predicha).

El conocimiento de fondo puede incluso relacionar nuestra estimación de probabilidad a un extremo: todo el camino a 0, o a 1. ¿Cuál es Pr (\(U|C\)), la probabilidad de que un menor de edad sea ganador, dado que es cantante de country? La intersección de\(U\) y\(C\) es cero, por lo que esto hace que Pr (\(U|C\)) = 0. En palabras: un país ganador elimina cualquier posibilidad de un ganador menor de edad. Y ¿cuál es Pr (\(F|U\)), la probabilidad de que gane una mujer, dado que sabemos que la ganadora es menor de edad? Bueno,\(F \cap U\) y\(U\) son lo mismo (verifíqueme), entonces\(\frac{\text{Pr}(F \cap U)}{\text{Pr}(U)} = \frac{.4}{.4} = 1\). Por lo tanto, un ganador menor de edad garantiza una ganadora femenina.

La forma en que pienso sobre la probabilidad condicional es esta: mira el diagrama, considera los eventos que se sabe que ocurrieron, y luego bloquear mentalmente todo excepto eso. Una vez que conocemos el (los) hecho (es) de fondo, estamos tratando esencialmente con un mundo restringido. Tomemos el ejemplo de la conocida ganadora femenina. Una vez que sabemos que ese evento\(F\) de hecho ocurrió, podemos filtrar visualmente a David, y mirar la\(F\) mancha como si ese fuera nuestro mundo entero. En esta visión restringida solo femenina, los elementos menores de edad comprenden un mayor porcentaje del total que antes. Y la mitad de los elementos estrella de rock ahora se han oscurecido, dejando solo a Kelly como uno de los tres restantes.

Muchos psicólogos, por cierto, afirman que constantemente estamos haciendo este tipo de cosas en nuestra mente: recopilar hechos, luego revisar nuestras creencias sobre el mundo a la luz de esos hechos. Comenzamos por creer que Pr (\(X\)) es aproximadamente algún valor. Entonces nos enteramos que\(K_1\) ha ocurrido, y actualizamos esto a Pr (\(X|K_1\)). Entonces nos enteramos de que también\(K_2\) ha ocurrido, y así ahora tenemos a Pr (\(X|K_1 \cap K_2\)). (¿Ves por qué es la intersección?) Cuanto más aprendamos, más revisamos nuestra estimación hacia arriba o hacia abajo, presumiblemente volviéndonos más precisos a medida que avanzamos. Otra forma de verlo es que cada vez que aprendemos algo nuevo es cierto, también aprendemos que su opuesto no es cierto, y por lo tanto podemos eliminar algunas partes del universo teóricamente posible que ahora hemos descartado. El denominador se hace cada vez más pequeño a medida que eliminamos posibilidades.

Hay que tener en cuenta, por cierto, que a diferencia de unión e intersección, la probabilidad condicional no es conmutativa. Es decir, Pr (\(X|Y\))\(\neq\) Pr (\(Y|X\)) en general. Por tomar solo un ejemplo, mira de nuevo los\(U\) sets\(F\) y de All-time Idol. Pr (\(F|U\)), como ya calculamos, es igual a 1 ya que si\(U\) ha ocurrido, automáticamente sabemos que también\(F\) ha ocurrido (no hay concursantes menores de edad excepto mujeres). Pero lo contrario ciertamente no es cierto: el hecho de que tengamos una ganadora femenina no significa que tengamos una ganadora menor de edad, ya que la ganadora podría ser Carrie. Trabajándolo, Pr (\(U|F\)) =\(\frac{\text{Pr}(U \cap F)}{\text{Pr}(F)} = \frac{.4}{.5} = .8\). Mayor que Pr (\(U\)), pero no 1.