4.7: Independencia
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Hemos visto que un problema en particular puede involucrar múltiples eventos diferentes. En el ejemplo de All-time Idol, consideramos la probabilidad de una ganadora femenina, una cantante de country ganadora, y una ganadora menor de edad, entre otras cosas.
Ahora una pregunta que a menudo surge se refiere a la independencia de los acontecimientos. Dos eventos\(A\) y\(B\) se llaman independientes si la probabilidad previa es la misma que la probabilidad condicional; es decir, si Pr (\(A|B\)) = Pr (\(A\)).
Si reflexionas sobre lo que esto significa, verás que con eventos independientes, saber que uno de ellos ocurrió no te dice nada (ni a favor ni en contra) sobre si el otro también ocurrió.
Por ejemplo,\(S\) sea el evento que Strike For Gold gane el Derby de Kentucky el próximo mes de mayo. \(R\)Sea el evento de que llueva ese día. Si digo eso\(S\) y\(R\) soy independiente, estoy alegando que la lluvia (o la ausencia de la misma) no afectaría de ninguna manera a las posibilidades del caballo. Si pudieras ver el futuro, y revelarme el clima en el Derby Day, está bien pero no me ayudaría en mis apuestas. Saber Pr (\(R\)) no me daría ninguna información útil, porque Pr (\(S|R\)) es lo mismo que simplemente viejo Pr (\(S\)) de todos modos.
Esa es una explicación conceptual. Al final, se reduce a números. Supongamos que tenemos la siguiente tabla de contingencia que muestra los resultados de una encuesta que realizamos en UMW sobre la mano dominante:
| Macho | Hembra | |
|---|---|---|
| Zurdo | 20 | 26 |
| Diestro | 160 | 208 |
Los datos son autoexplicativos. Obviamente hubo muchos más diestros que tomaron nuestra encuesta que a la izquierda, y un poco más mujeres que hombres. Ahora considere: si estos datos reflejan a la población en su conjunto, ¿qué es Pr (\(L\)), dónde\(L\) está el suceso de que una persona elegida al azar sea zurda? Se encuestaron 160+208=368 diestros y solo 20+26=46 zurdos, por lo que estimaremos que Pr (\(L\)) =\(\frac{46}{368+46} \approx\) .111. Si eliges a una persona al azar en el campus, nuestra mejor conjetura es que hay una probabilidad de.111 de que sea zurda.
Supongamos que te dije, sin embargo, antes de que supieras algo sobre la mano de la persona elegida al azar, que ella era una mujer. ¿Eso influiría en tu suposición? En este caso, tendrías información extra de que el\(F\) evento se ha producido (\(F\)siendo el evento de una selección femenina), por lo que deseas revisar tu estimación como Pr (\(L|F\)). Considerando solo a las mujeres, entonces, computas Pr (\(L|F\)) =\(\frac{26}{234} \approx .111\) a partir de los datos de la tabla.
Espera un minuto. Eso es exactamente lo que teníamos antes. Al enterarse de que habíamos elegido a una mujer no nos dijo nada útil sobre su mano. Eso es lo que queremos decir con decir que los\(F\) eventos\(L\) y son independientes unos de otros.
El lector astuto puede objetar que esta fue una coincidencia sorprendente: los números funcionaron exactamente a la perfección para producir este resultado. La proporción de hembras zurdas fue precisamente la misma que la de los machos zurdos, hasta el centavo. ¿Es realmente probable que esto ocurra en la práctica? Y si no, ¿no es la independencia tan teórica como para ser irrelevante?
Hay dos formas de responder a esa pregunta. El primero es admitir que en la vida real, por supuesto, estamos obligados a obtener algo de ruido en nuestros datos, solo porque la muestra es finita y hay fluctuaciones aleatorias en a quién le pasó a encuestar. Por la misma razón, si volteamos una moneda ordinaria mil veces, no es probable que obtengamos exactamente 500 cabezas. Pero eso no significa que debamos apresurarnos a concluir que la moneda está sesgada. Los estadísticos tienen formas sofisticadas de responder a esta pregunta calculando cuánto necesitan los datos experimentales para desviarse de lo que esperaríamos antes de levantar una bandera roja. Baste decir aquí que aunque la tabla de contingencia que recolectamos no sea perfecta de imagen, aún podemos concluir que dos eventos son independientes si están “lo suficientemente cerca” de la independencia.
La otra respuesta, sin embargo, es que sí, la carga de la prueba está en efecto en la independencia, más que en la no independencia. En otras palabras, no debemos comenzar asumiendo con cautela que todos los eventos que estamos considerando son de hecho independientes, y solo cambiando de opinión si vemos correlaciones inesperadas entre ellos. En cambio, siempre debemos sospechar que dos eventos se afectarán entre sí de alguna manera, y solo concluir que son independientes si los datos que recopilamos funcionan de manera más o menos “uniforme” como en el ejemplo anterior. Decir que Pr (\(A|B\)) es lo mismo que Pr (\(A\)) es una afirmación agresiva, fuera de lo normal, y no debemos asumirla sin pruebas sólidas.
Un punto más sobre el tema de la independencia: ¡por favor no cometas el error de que los eventos mutuamente excluyentes son independientes! Esto de ninguna manera es el caso, y de hecho, lo contrario es cierto. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, ¡son extremadamente pendientes el uno del otro! Considera el caso más trivial: elijo a una persona aleatoria en el campus, y defino\(M\) como el evento que son hombres, y\(F\) como el evento que son mujeres. Claramente estos eventos son mutuamente excluyentes. Pero, ¿son independientes? ¡Por supuesto que no! Piénsalo: si te dijera que una persona era varón, ¿eso te diría algo sobre si eran mujeres? Duh. En un caso exclusivo mutuo como este, evento\(M\) descarta completamente\(F\) (y viceversa), lo que significa que aunque Pr (\(M\)) podría ser .435, Pr (\(M|F\)) es un gran cero gordo. Pr (\(A|B\)) ciertamente no va a ser igual a Pr (\(A\)) si los dos eventos son mutuamente excluyentes, porque aprender sobre un evento te dice todo sobre el otro.