7.1: ¿Qué es un “número”?

Antes de hacer algo con bases, hablemos del concepto de número, en general. La pregunta “¿qué es un número?” suena como la pregunta más tonta que podría hacerte. Sin embargo, predigo que a menos que hayas estudiado este material antes, tienes un montón de pensamientos enredados en tu cabeza con respecto a lo que son los “números”, y esos pensamientos enredados son de dos tipos. Algunos de ellos son sobre números per se. Otros son números de base 10. Si eres como la mayoría de la gente, piensas en estos dos conjuntos de conceptos como igualmente “primarios”, hasta el punto en que un número parece ser un número de base 10. Es difícil concebirlo de otra manera. Es este prejuicio lo que quiero exponer y enraizar al principio.

A la mayoría de la gente, si les pidiera que nombraran un número, se le ocurriría algo así como “diecisiete”. Esto es correcto. Pero si les preguntara cuál era su imagen mental del número “diecisiete”, inmediatamente formarían el siguiente cuadro inalterable:

17

Para ellos, el número “diecisiete” es intrínsecamente una entidad de dos caracteres de longitud: el dígito 1 seguido del dígito 7. Ese es el número. Si les dijera que hay otras formas igualmente válidas de representar el número diecisiete —usando más, menos, o el mismo número de dígitos— estarían muy confundidos. Sin embargo, este es de hecho el caso. Y la única razón por la que la imagen particular de dos dígitos “17" está tan cocida en nuestros cerebros es que estuvimos cableados desde una edad temprana para pensar en números decimales. Pasamos a través de nuestras tablas de tiempos e hicimos todo nuestro transporte y préstamo en base 10, y en el proceso construimos una increíble cantidad de inercia que es difícil de superar. Una gran parte de tu trabajo este capítulo será “desaprender” esta dependencia de los números decimales, para que puedas trabajar con números en otras bases, particularmente los utilizados en el diseño de computadoras.

Cuando piensas en un número, quiero que intentes borrar de tu mente la secuencia de dígitos. Piense en un número como lo que es: una cantidad. Así es como se ve realmente el número diecisiete:

Es sólo una cantidad. Hay más círculos en esa imagen que en algunas imágenes, y menos que en otras. Pero de ninguna manera son “dos dígitos”, ni los dígitos particulares “1" y “7" entran en juego más o menos que cualquier otro dígito.

Sigamos pensando en esto. Considera este número, que voy a etiquetar como “A”:

(A)

Ahora vamos a agregarle otro círculo, creando un número diferente al que llamaré “B”:

(B)

Y finalmente, lo haremos una vez más para obtener “C”:

(C)

(Mira cuidadosamente esas imágenes y convénzate de que agregué un círculo cada vez).

Al pasar de A a B, agregué un círculo. Al pasar de B a C, también agregué un círculo. Ahora te pregunto: ¿ir de B a C era algo más “significativo” que ir de A a B? ¿Sucedió algo cualitativamente diferente?

La respuesta es obviamente no. Agregar un círculo es agregar un círculo; no hay nada más que eso. Pero si hubieras estado escribiendo estos números como representaciones de base 10, como estás acostumbrado a hacer, podrías haber pensado de manera diferente. Habrías pasado de:

(A) 8

a

(B) 9

a

(C) 10

Al pasar de B a C, su “cuentakilómetros” se envolvió. Tenías que pasar de un número de un dígito a un número de dos dígitos, simplemente porque te quedaste sin espacio en un dígito. Esto puede llevar a la ilusión de que algo fundamentalmente diferente sucede cuando pasas de B a C. Esto es completamente una ilusión. Nada diferente le sucede al número solo porque cambia la forma en que lo escribimos.

Los seres humanos tienen la curiosa costumbre de pensar que los cambios en el odómetro son significativos. Cuando la temperatura rompe 100, de repente se siente “más caliente” que cuando simplemente subió de 98 a 99. Cuando el Promedio Industrial Dow Jones llegó por primera vez a 10,000, y cuando Pete Rose eclipsó 4 mil éxitos en su carrera, y cuando amaneció el año 2000, tendimos a pensar que algo verdaderamente importante había ocurrido. Pero como veremos, el punto en el que ocurren estos hitos es total e incluso riosamente aribitario: simplemente tiene que ver con qué número hemos elegido como nuestra base. Y honestamente podríamos haber elegido cualquier número en absoluto.