7.2: Bases

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Como mencioné, una base es simplemente un número que es un ancla para nuestro sistema de valor posicional. Representa cuántos símbolos distintos usaremos para representar números. Esto establece implícitamente el valor de la mayor cantidad que podemos contener en un dígito, antes de que necesitemos “roll over” a dos dígitos.

En base 10 (decimal), usamos diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En consecuencia, el número nueve es el valor más alto que podemos tener en un solo dígito. Una vez que agregamos otro elemento a un conjunto de nueve, no tenemos más remedio que sumar otro dígito para expresarlo. Esto hace un “lugar de diez” porque representará el número de conjuntos de 10 (que no pudimos mantener en el lugar de los 1) que contiene el valor.

Ahora, ¿por qué al siguiente lugar se le llama el “lugar de los cien” en lugar de, digamos, el “lugar de los veinte”? Simplemente porque veinte —así como cualquier otro número menos de cien— cabe cómodamente en dos dígitos. Podemos tener hasta 9 en el lugar del uno, y también hasta 9 en el lugar de los diez, dándonos un total de noventa y nueve antes de que tengamos que ceder a usar tres dígitos. El número cien es exactamente el punto en el que debemos volcar a tres dígitos; por lo tanto, la secuencia de dígitos 1-0-0 representa cien.

Si la base elegida no es obvia desde el contexto (ya que a menudo no estará en este capítulo) entonces cuando escribamos una secuencia de dígitos agregaremos la base como un subíndice al final del número. Por lo que el número “cuatrocientos treinta y siete” se escribirá como\(437_{10}\).

La forma en que interpretamos un número decimal, entonces, es contando los dígitos más a la derecha como un número de individuos, el dígito a su izquierda como el número de grupos de diez individuos, el dígito a su izquierda como el número de grupos de cien individuos, y así sucesivamente. \(5472_{10}\)es sólo una forma de escribir\(5 \times 1000 + 4 \times 100 + 7 \times 10 + 2 \times 1\).

Si usamos notación exponencial (recuerda que cualquier cosa a la\(0^{\text{th}}\) potencia es 1), esto equivale a:\[5472_{10} = 5 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0.\]

Por cierto, a menudo usaremos el término dígito menos significativo para referirnos al dígito más a la derecha (2, en el ejemplo anterior), y el dígito más significativo para referirse al dígito más a la izquierda (5). “Significativo” simplemente se refiere a cuánto “vale” ese dígito en la magnitud general del número. Obviamente 239 es menor que 932, por lo que decimos que el lugar de los cientos es más significativo que los otros dígitos.

Todo esto probablemente te parezca bastante obvio. Bien entonces. Usemos una base que no sea diez y veamos cómo te va. Escribamos un número en la base 7. Tenemos siete símbolos a nuestra disposición: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Espera, preguntas — ¿por qué no 7? Porque no hay dígito para siete en un sistema base 7, al igual que no hay dígito para diez en un sistema base 10. Diez es el punto donde necesitamos dos dígitos en un sistema decimal, y análogamente, siete es el punto donde necesitaremos dos dígitos en nuestro sistema base 7. ¿Cómo escribiremos el valor siete? Así como esto: 10. Ahora mira esos dos dígitos y practica decir “siete” mientras los miras. Toda tu vida has sido entrenado para decir el número “diez” cuando veas los dígitos 1 y 0 impresos así. Pero esos dos dígitos solo representan el número diez si estás usando un sistema base 10. Si estás usando un sistema base 34, “10" es como escribes “treinta y cuatro”.

Muy bien, tenemos nuestros siete símbolos. Ahora, ¿cómo interpretamos un número como\(6153_7\)? Es esto:\[6153_{7} = 6 \times 7^3 + 1 \times 7^2 + 5 \times 7^1 + 3 \times 7^0.\] Eso no se ve tan extraño: es muy paralelo a la cadena decimal que expandimos, arriba. Parece más raro cuando realmente multiplicamos los valores posicionales:\[6153_{7} = 6 \times 343 + 1 \times 49 + 5 \times 7 + 3 \times 1.\] Entonces, en la base 7, tenemos un “lugar de uno”, un “lugar de siete”, un “lugar de cuarenta y nueve” y un “lugar de trescientos cuarenta y tres”. Esto parece increíblemente extraño: ¿cómo podría un sistema numérico mantenerse unido a tales valores posicionales? — pero apuesto a que no se vería nada gracioso si hubiéramos nacido con 7 dedos. Ten en cuenta que en la ecuación anterior, ¡escribimos los valores posicionales como números decimales! Si los hubiéramos escrito como números de base 7 (como ciertamente lo haríamos si la base 7 fuera nuestro sistema de numeración natural), habríamos escrito:\[6153_{7} = 6 \times 1000_7 + 1 \times 100_7 + 5 \times 10_7 + 3 \times 1_7.\] Esto es exactamente equivalente numéricamente. Porque después de todo,\(1000_7\) es\(343_{10}\). Una cantidad que parece un bicho raro en un sistema base parece el número más redondeado posible en otro.