9.1: Conceptos de prueba

Una prueba es esencialmente una cadena de razonamiento, en la que cada paso puede deducirse lógicamente de los que le precedieron. Es una forma de exhibir su proceso de pensamiento para que pueda ser escrutado para asegurarse de que contenga agua. Cualquier paso de su razonamiento que fuera injustificado quedará expuesto, y tal vez revelará que la conclusión que pensó que era cierta no es necesariamente confiable después de todo.

He aquí un ejemplo de la vida cotidiana. Estoy conduciendo a casa del trabajo una tarde, y creo que mi esposa e hijos se irán cuando llegue. Voy a volver a casa a una casa vacía.

Ahora, ¿por qué me lo creo? Bueno, si desentraño mi razonamiento, va así. Primero, hoy es miércoles. Los miércoles por la noche, mi esposa e hijos normalmente van a la iglesia para la cena y el servicio. Segundo, a mi esposa le gusta llamarme antes de tiempo si este plan cambia. Mi celular está en mi bolsillo, y no ha sonado, por lo que concluyo que el plan no ha cambiado. Mito mi reloj, y dice 5:17pm, que es después de la hora que normalmente se van, así que sé que no voy a atraparlos saliendo por la puerta. Este es, en términos generales, mi proceso de pensamiento que justifica la conclusión de que la casa estará vacía cuando me meta en la cochera.

Observe, sin embargo, que esta predicción depende precariamente de varios hechos. ¿Y si espacié el día de la semana, y en realidad este es el jueves? Todas las apuestas están desactivadas. ¿Qué pasa si la batería de mi celular se ha quedado sin carga? Entonces tal vez ella sí trató de llamarme pero no pudo contactarme. ¿Y si configuro mal mi reloj y en realidad son las 4:17pm? Etc. Al igual que una cadena es tan fuerte como su eslabón más débil, toda una prueba se desmorona si ni siquiera un paso es confiable.

Las bases de conocimiento en los sistemas de inteligencia artificial están diseñadas para apoyar estas cadenas de razonamiento. Contienen declaraciones expresadas en lógica formal que pueden ser examinadas para deducir sólo los nuevos hechos que lógicamente siguen de lo viejo. Supongamos, por ejemplo, que teníamos una base de conocimiento que actualmente contenía los siguientes hechos:

1. A\(\Rightarrow\) C

2. \(\neg\)(C\(\wedge\) D)

3. (F\(\vee \neg\) E)\(\Rightarrow\) D

4. A\(\vee\) B

Estos hechos están enunciados en la lógica proposicional, y no tenemos idea de lo que realmente significa alguna de las proposiciones, pero entonces tampoco la computadora, así que oye. El hecho #1 nos dice que si la proposición A (lo que sea que eso signifique) es cierta, entonces sabemos que C también es verdad. Dato #2 nos dice que sabemos que C\(\wedge\) D es falso, lo que significa que al menos uno de los dos debe ser falso. Y así sucesivamente. Las grandes bases de conocimiento pueden contener miles o incluso millones de tales expresiones. Es un registro completo de todo lo que el sistema “sabe”.

Ahora supongamos que aprendemos un hecho adicional:\(\neg\) B. En otras palabras, el sistema interactúa con su entorno y llega a la conclusión de que la proposición B debe ser falsa. ¿Qué más, si acaso, ahora se puede concluir con seguridad a partir de esto?

Resulta que ahora podemos concluir que F también es falso. ¿Cómo sabemos esto? He aquí cómo:

1. El hecho #4 dice que ya sea A o B (o ambos) es cierto. Pero acabamos de descubrir que B era falso. Entonces, si no es B, debe ser A, y por lo tanto concluimos que A debe ser verdad. (Para los curiosos, esta regla del sentido común se llama “silogismo disyuntivo”).

2. Ahora bien, si A es cierto, sabemos que C también debe ser cierto, porque el hecho #1 dice que A implica C. Entonces concluimos que C es verdad. (Esta va por la frase latina “modus ponens”.)

3. Dato #2 dice que C\(\wedge\) D debe ser falso. Pero acabamos de enterarnos de que C era verdad, así que debe ser D que es falso para hacer falsa la conjunción. Entonces concluimos que D es falso. (Se trata de un silogismo disyuntivo disfrazado, combinado con la ley de De Morgan.)

4. Por último, el hecho #3 nos dice que si F fuera cierto o E fuera falso, entonces eso implicaría que D sería cierto. Pero acabamos de enterarnos de que D es falso. Por lo tanto, ni F ni\(\neg\) E pueden ser ciertas. (Este paso combina “modus tollens" con “eliminación de disyunción”). Por lo que concluimos que F debe ser falso. Q.E.D.

(Las letras “Q.E.D." al final de una prueba representan un significado de frase latina, “acabamos de probar lo que nos propusimos probar”. Es una especie de forma de flexionar tus músculos a medida que anuncias que terminaste).

No todas las pruebas se realizan en lógica formal como esta; algunas usan álgebra, teoría de conjuntos o simplemente inglés simple. Pero la idea es la misma: empieza con lo que sabes, procede a derivar nuevos conocimientos utilizando únicamente operaciones legales, y termina con tu conclusión.

Las cosas con las que se nos permite comenzar se llaman axiomas (o postulados). Un axioma es una presuposición o definición que se da para ser verdadera, y por lo tanto es fundamento jurídico desde el que partir. Una prueba ni siquiera puede despegar sin axiomas. Por ejemplo, en el paso 1 de la prueba anterior, señalamos que ya sea A o B deben ser ciertos, y así si B no es cierto, entonces A debe serlo. Pero no podríamos haber dado este paso sin saber que el silogismo disyuntivo es una forma válida de razonamiento. No es importante conocer todos los nombres técnicos de las reglas que incluí entre paréntesis. Pero es importante ver que hicimos uso de un axioma de razonamiento en cada paso, y que si alguno de esos axiomas fuera incorrecto, podría llevar a una conclusión errónea.

Cuando se crea una prueba válida, el resultado es un nuevo poco de conocimiento llamado teorema que se puede utilizar en futuras pruebas. Piense en un teorema como una subrutina en la programación: un bit separado de código que hace un trabajo y se puede invocar a voluntad en el curso de hacer otras cosas. Un teorema que aprendimos en capítulo fue la propiedad distributiva de conjuntos; es decir, que X\(\cap\) (Y\(\cup\) Z) = (X\(\cap\) Y)\(\cup\) (X\(\cap\) Z). Esto se puede probar mediante el uso de diagramas de Venn, pero una vez que lo has probado, se acepta que es cierto, y se puede usar como “dado” en futuras pruebas.