9.2: Tipos de comprobantes

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Hay una serie de “estilos” aceptados de hacer pruebas. Aquí hay algunos importantes:

Prueba directa

Los ejemplos que hemos usado hasta ahora han sido pruebas directas s. Aquí es donde se parte de lo que se sabe y se procede directamente por pasos positivos hacia su conclusión.

Las pruebas directas me recuerdan a un juego llamado “word ladders”, inventado por Lewis Carroll, al que podrías haber jugado de niño:

CÁLIDO ||||????
|||| FRÍO

Empiezas con una palabra (como WARM) y tienes que llegar a una secuencia de palabras, cada una de las cuales difiere de la anterior por una sola letra, de tal manera que eventualmente llegas a la palabra final (como FRÍO). Es como sentirse en la oscuridad:

GUERRA CALIENTE WAT WLT WL ||||...

Este intento parecía prometedor al principio, pero ahora parece que no va a ninguna parte. (“¿WOLD?” “¿CILD?” Hmm...) Después de empezar de nuevo y jugar con él por un tiempo, es posible que te encuentres con:

CALIENTE WRM WOR ORD COD

Esto resultó ser un camino bastante directo: para cada paso, la letra que cambiamos era exactamente lo que necesitábamos que fuera para la palabra objetivo COLD. A veces, sin embargo, hay que alejarse un poco del objetivo para encontrar una solución, como pasar de NEGRO a BLANCO:

NEGRO FALTA CACK RACK TRCK TRIC TRIE RIE WIE

Aquí, tuvimos que cambiar temporalmente nuestra primera letra tres veces diferentes —dos de las cuales aparentemente no nos acercaron más al BLANCO — para forjar con éxito un camino a través del bosque enredado.

Saber en qué dirección emprender es cuestión de intuición más prueba y error. Dados los axiomas de cualquier sistema (ya sea álgebra, lógica de predicado, conjuntos, etc.) hay un número insondable de diferentes formas de proceder. La gran mayoría de ellos están destinados a llevar a callejones sin salida. Es por ello que una prueba válida, cuando está terminada, suele ser algo elegante y hermoso. Es una fina trenza de joyas relucientes en medio de todo un montón de barro.

Prueba indirecta

Conocida también como prueba por contradicción o reductio ad absurdum, la prueba indirecta comienza de una manera completamente opuesta. Dice: “bien, estoy tratando de probar X. Bueno, supongamos por el bien del argumento asumo que lo contrario —no X— es cierto. ¿A dónde me llevaría eso?” Si sigues todas las reglas y eso te lleva a una contradicción, esto te dice que la suposición original de\(\neg\) X debió haber sido falsa. Y esto a su vez prueba que X debe ser cierto.

Hacemos esto todo el tiempo en nuestro pensamiento. Di que conduces por la autopista. ¿Cómo sabes que el alternador en el motor de tu auto está funcionando? Una prueba directa requeriría que abra el capó y examine la pieza, probando para asegurarse de que funcione correctamente. Una prueba indirecta simplemente dice: “bueno, supongamos que no estaba funcionando correctamente. Entonces, el motor de mi auto no funcionaría. Pero aquí estoy, conduciendo por la carretera, y el motor obviamente sí funciona, así que eso me dice que el alternador debe estar funcionando correctamente”.

Una de las pruebas indirectas más famosas data de Euclides Elements en el 300 a.C. Prueba que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, una gran sorpresa para los matemáticos de la época (la mayoría de los cuales dudaban de la existencia misma de números irracionales). Recuerde que un número irracional es aquel que no se puede expresar como la relación de dos enteros, sin importar cuáles sean los enteros.

Demostrar esto directamente parece bastante duro, ya que ¿cómo se demuestra que no hay dos enteros cuyo ratio sea\(\sqrt{2}\), por muy duro que se vea? Quiero decir, 534.927 y 378.250 están bastante cerca:\[\Bigg(\frac{534,927}{378,250}\Bigg)^2 = 2.000005.\] ¿Cómo podríamos probar que por mucho que miremos, nunca podremos encontrar un par que nos lo dé exactamente?

Una manera es asumir que\(\sqrt{2}\) es un número racional, y luego demostrar que en ese camino se encuentra la locura. Va así. Supongamos que\(\sqrt{2}\) es racional, después de todo. Eso quiere decir que debe haber dos enteros, llamarlos\(a\) y\(b\), cuya relación es exactamente igual a\(\sqrt{2}\):\[\frac{a}{b} = \sqrt{2}.\] Este, entonces, es el punto de partida para nuestra prueba indirecta. Vamos a proceder bajo este supuesto y ver a dónde nos lleva.

Por cierto, está claro que siempre podríamos reducir esta fracción a los términos más bajos en caso de que no lo sea ya. Por ejemplo, si\(a=6\) y\(b=4\), entonces nuestra fracción sería\(\frac{6}{4}\), que es lo mismo que\(\frac{3}{2}\), así podríamos decir\(a=3\)\(b=2\) y empezar de nuevo. En pocas palabras: si\(\sqrt{2}\) es racional, entonces podemos encontrar dos enteros\(a\) y\(b\) que no tienen factor común (si tienen un factor común, simplemente lo dividiremos de ambos e iremos con los nuevos números) cuya relación es\(\sqrt{2}\).

Bien entonces. Pero ahora mira lo que pasa. Supongamos que cuadramos ambos lados de la ecuación (una cosa perfectamente legal que hacer):\[\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \sqrt{2} \\ \Bigg(\frac{a}{b}\Bigg)^2 &= (\sqrt{2})^2 \\ \frac{a^2}{b^2} &= 2 \\ a^2 &= 2{b^2}. \\\end{aligned}\] Ahora si\(a^2\) es igual a 2 veces algo, entonces\(a^2\) es un número par. Pero no\(a^2\) puede ser ni siquiera a menos que\(a\) sí mismo sea parejo. (Piénsalo mucho sobre esa.) Esto demuestra, entonces, que\(a\) es parejo. Muy bien. Debe ser igual al doble de algún otro entero. Llamemos a eso\(c\). Eso lo sabemos\(a=2c\), donde\(c\) está otro entero. Sustituye eso en la última ecuación y obtenemos:\[\begin{aligned} (2c)^2 &= 2{b^2} \\ 4c^2 &= 2{b^2} \\ 2c^2 &= b^2. \\\end{aligned}\] Entonces parece que también\(b^2\) debe ser un número par (ya que es igual a 2 veces algo), y por lo tanto también\(b\) es par. Pero espera un minuto. Empezamos diciendo eso\(a\) y no\(b\) teníamos ningún factor común. ¡Y ahora hemos determinado que ambos son números pares! Esto significa que ambos tienen un factor de 2, lo que contradice con lo que empezamos. Lo único que introdujimos que era cuestionable fue la noción de que hay dos enteros\(a\) y\(b\) cuya proporción era igual\(\sqrt{2}\) a para empezar. Esa debe ser la parte que está defectuosa entonces. Por lo tanto, no\(\sqrt{2}\) es un número irracional. Q.E.D.