F: Una breve introducción a las características del caos
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En este apéndice describiremos algunos aspectos del fenómeno del caos tal como surge en las ODE. El caos es uno de esos temas notables que trasciende las fronteras disciplinarias en matemáticas, ciencias e ingeniería y captura la intriga y la curiosidad del público en general. Numerosas popularizaciones e historias del tema, desde diferentes puntos de vista, se han escrito; ver, por ejemplo, los libros de Lorenz, Diacu y Holmes, Stewart, y Gleick.
Nuestro objetivo aquí es introducir algunas de las características clave del caos a partir de nociones que ya hemos desarrollado para enmarcar posibles direcciones futuras de estudios que el estudiante pueda desear seguir. Nuestra discusión será en el marco de un flujo generado por un campo vectorial autónomo.
La frase “comportamiento caótico” recuerda una forma de aleatoriedad e imprevisibilidad. Pero ten en cuenta, estamos trabajando en el marco de —nuestra ODE satisface los criterios de existencia y singularidad de las soluciones. Por lo tanto, especificar la condición inicial implica exactamente que la evolución futura está determinada de manera única, es decir, no hay “aleatoriedad o imprevisibilidad”. La clave aquí es la palabra “exactamente”. Los sistemas caóticos tienen una propiedad intrínseca en su dinámica que puede resultar en ligeras perturbaciones de las condiciones iniciales que conducen a un comportamiento, a lo largo del tiempo, que es diferente al comportamiento de la trayectoria a través de la condición inicial original. A menudo se dice que un sistema caótico exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Ahora bien, esto es un montón de palabras para un curso de matemáticas. Al igual que cuando estudiamos la estabilidad, daremos una definición matemática de dependencia sensible de las condiciones iniciales, para luego considerar el significado de la definición en el contexto de ejemplos específicos.
Como se mencionó anteriormente, consideramos un campo autónomo y\(C^r, r \ge 1\) vectorial sobre\(\mathbb{R}^n\):
\[\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n, \label{F.1}\]
y denotamos el flujo generado por el campo vectorial por\(\phi_{t}(\cdot)\), y asumimos que existe para siempre. Dejamos\(\Lambda \subset \mathbb{R}^n\) denotar un conjunto invariante para el flujo. Entonces tenemos la siguiente definición.
Definición 22 (Dependencia sensible a las condiciones iniciales)
\(\phi_{t}(\cdot)\)Se dice que el flujo tiene dependencia sensible de las condiciones iniciales de\(\Lambda\) si existe\(\epsilon > 0\) tal que, para cualquier\(x \in \Lambda\) y cualquier vecindario U de x existe\(y \in U\) y t > 0 tal que\(|\phi_{t}(x)-\phi_{t}(y)| > \epsilon\).
Ahora consideramos un ejemplo y analizamos si la dependencia sensible de las condiciones iniciales está presente o no en el ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{45}\)
Considere el campo vectorial lineal autónomo en\(\mathbb{R}^2\):
\(\dot{x} = \lambda x\),
\[\dot{y} = \mu y. (x, y) \in \mathbb{R}^2 \label{F.2}\]
con\(\lambda, \mu > 0\). Esto es solo un “punto de sillín” estándar. El origen es un punto fijo de tipo sillín con su colector estable dado por el eje y (es decir x = 0) y su colector inestable dado por el eje x (es decir, y = 0). El flujo generado por este campo vectorial viene dado por:
\[\phi_{t}(x_{0}, y_{0}) = (x_{0}e^{\lambda t}, y_{0}e^{\mu t}). \label{F.3}\]
Siguiendo la definición, la dependencia sensible de las condiciones iniciales es desmultada con respecto a conjuntos invariantes. Por lo tanto, debemos identificar los conjuntos invariantes para los que queremos determinar si poseen o no la propiedad de dependencia sensible de la condición inicial.
El conjunto invariante más simple es el punto fijo en el origen. Sin embargo, ese conjunto invariante claramente no exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales.
Luego tenemos los colectores unidimensionales estables (eje y) e inestables (eje x). Podemos considerar el tema de la dependencia sensible de las condiciones iniciales sobre estos conjuntos invariantes. Los colectores estables e inestables dividen el plano en cuatro cuadrantes. Cada uno de estos es un conjunto invariante (con un segmento del colector estable e inestable formando parte de su límite), y todo el plano (es decir, todo el espacio de fase) también es un conjunto invariante.
Consideramos el colector inestable, y = 0. El flujo restringido al colector inestable viene dado por
\[\phi_{t}(x_{0}, 0) = x_{0}e^{\lambda t}, 0) \label{F.4}\]
Debe quedar claro que el colector inestable es un conjunto invariante que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Elija un punto arbitrario en el colector inestable,\(\bar{x}_{1}\). Considerar otro punto arbitrariamente cercano a\(\bar{x}_{1}\),\(\bar{x}_{2}\). Ahora considera cualquiera\(\epsilon > 0\). Tenemos
\[|\phi_{t}(\bar{x}_{1}, 0) - |\phi_{t}(\bar{x}_{2}, 0)| = |\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}|e^{\lambda t} \label{F.5}\]
Ahora como\(|\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}|\) es una constante fija, podemos encontrar claramente una t > 0 tal que
\[|\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}|e^{\lambda t} > \epsilon. \label{F.6}\]
Por lo tanto, el colector inestable invariante exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Por supuesto, esto no es sorprendente por el término elt en la expresión para el flujo ya que este término implica un crecimiento exponencial en el tiempo del componente x del flujo.
El colector estable, x = 0, no presenta dependencia sensible de las condiciones iniciales ya que la restricción al colector estable viene dada por:
\[\phi t(0, y_{0}) = (0, y_{0}e^{\mu t}), \label{F.7}\]
lo que implica que los puntos vecinos en realidad se acercan a medida que t aumenta.
Además, el término\(e^{\lambda t}\) implica que los cuatro cuadrantes separados por los colectores estables e inestables del origen también exhiben una dependencia sensible de las condiciones iniciales.
Por supuesto, no consideraríamos una ODE autónoma lineal en el plano que tiene un punto de sillín hiperbólico como un sistema dinámico caótico, a pesar de que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Por lo tanto, debe haber algo más al “caos”, y lo exploraremos a través de más ejemplos.
Antes de considerar el siguiente ejemplo señalamos dos características de este ejemplo que consideraremos en el contexto de otros ejemplos.
- Los conjuntos invariantes que consideramos (con la excepción del punto fijo en el origen) no estaban acotados. Esta fue una característica de la naturaleza lineal del campo vectorial.
- La “separación de trayectorias” ocurrió a un ritmo exponencial.No hubo requisito sobre la “tasa de separación” en la definición de dependencia sensible de las condiciones iniciales.
- Relacionado con estos dos puntos está el hecho de que las trayectorias continúan separándose para siempre, es decir, nunca más “se acercan” entre sí.
Ejemplo\(\PageIndex{46}\)
Considere el campo vectorial autónomo en el cilindro:
\(\dot{r} = 0\),
\[\dot{\theta} = r, (r, q) \in \mathbb{R}^{+} \times S^1, \label{F.8}\]
El flujo generado por este campo vectorial viene dado por:
\[\phi_{t}(r_{0}, q_{0}) = (r_{0}, r_{0} t + \theta_{0}), \label{F.9}\]
Tenga en cuenta que r es constante en el tiempo. Esto implica que cualquier anillo es un conjunto invariante. En particular, elija cualquiera\(r_{1} < r_{2}\). Luego el anillo
\[\mathcal{A} \equiv \{(r, q) \in \mathbb{R}^{+} \times S^1 | r_{1} \le r \le r_{2}, \theta \in S^1\} \label{F.10}\]
es un conjunto invariante acotado.
Ahora elija condiciones iniciales en\(\mathcal{A}\),\((r_{1}', \theta_{1})\),\((r_{2}', \theta_{2})\), con\(r_{1} \le r_{1}' < r_{2}' \le r_{2}\). Entonces tenemos eso:
\(|\phi_{t}(r_{1}', \theta_{1}) \phi_{t}(r_{2}', \theta_{2})| = |(r_{1}', r_{1}' t+ \theta_{1}) - (r_{2}', r_{2}' t+\theta_{2})|\),
\(= (r_{1}' - r_{2}', (r_{1}' - r_{2}')t+(\theta_{1} - \theta_{2}))\).
De ahí que veamos que la distancia entre trayectorias crecerá linealmente en el tiempo, y por lo tanto las trayectorias exhiben una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Sin embargo, la distancia entre trayectorias no crecerá sin límites (como en el ejemplo anterior). Esto es porque\(\theta\) está en el círculo. Las trayectorias se separarán (in\(\theta\), pero sus valores r permanecerán constantes) y luego se acercarán, luego se separarán, etc. Sin embargo, esto no es un ejemplo de un sistema dinámico caótico.
Ejemplo\(\PageIndex{47}\)
Considere el siguiente campo vectorial autónomo definido en el toro bidimensional (es decir, cada variable es una variable angular):
\(\dot{q}_{1} = \omega_{1}\),
\[\dot{q}_{2} = \omega_{2}, (\theta_{1}, \theta_{2}) \in S^1 \times S^1 \label{F.11}\]
Este campo vectorial es un ejemplo que se considera en muchos cursos de sistemas dinámicos donde se muestra que si\(\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\) es un número irracional, entonces la trayectoria a través de cualquier condición inicial “llena densamente el toro”. Esto significa que dado cualquier punto del toro cualquier trayectoria se acercará arbitrariamente a ese punto en algún momento de su evolución, y este “acercamiento cercano” sucederá infinitamente a menudo. Este es el ejemplo clásico de un sistema ergódico, y este hecho está probado en muchos libros de texto, por ejemplo Arnold o Wiggins. Este comportamiento es muy diferente a los ejemplos anteriores. Para el caso de\(\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\) un número irracional, el conjunto invariante natural a considerar es todo el espacio de fase (que está acotado).
A continuación consideramos el tema de la sensible dependencia de las condiciones iniciales. El flujo generado por este campo vectorial viene dado por:
\[\phi_{t}(\theta_{1}, \theta_{2}) = (\omega_{1} t+\theta_{1}, \omega_{2} t+\theta_{2}). \label{F.12}\]
Elegimos dos condiciones iniciales,\((\theta_{1}, \theta_{2})\),\((\theta_{1}' , \theta_{2}')\). Entonces tenemos
\(|\phi_{t}(\theta_{1}, \theta_{2}) - \phi_{t}(\theta_{1}', \theta_{2}')| = |(\omega_{1} t+\theta_{1}, \omega_{2} t+\theta_{2}) - (\omega_{1} t+\theta_{1}', \omega_{2} t+\theta_{2}'|\),
\(= |(\theta_{1} - \theta_{1}', \theta_{2} - \theta_{2}')|\),
y por lo tanto las trayectorias siempre mantienen la misma distancia entre sí durante el transcurso de su evolución.
En ocasiones se dice que los sistemas caóticos contienen un número infinito de órbitas periódicas inestables. Consideramos un ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{48}\)
Considere el siguiente campo vectorial autónomo bidimensional en el cilindro:
\(\dot{r} = sin(\frac{\pi}{r})\),
\(\dot{q} = r, (r, q) \in \mathbb{R}^{+} \times S^1\).
Los puntos de equilibrio del\(\dot{r}\) componente de este campo vectorial corresponden a órbitas periódicas. Estos puntos de equilibrio vienen dados por
\[r = \frac{1}{n}, n = 0,1,2,3,.... \label{F.13}\]
La estabilidad de las órbitas periódicas se puede determinar calculando el jacobiano del componente r İ de la ecuación y evaluarlo en la órbita periódica. Esto viene dado por:
\(-\frac{\pi}{r^2} cos(\frac{\pi}{r}\),
y evaluando esto en las órbitas periódicas da;
\(-\frac{\pi}{n^2} (-1)^n\)
Por lo tanto, todas estas órbitas periódicas son hiperbólicas y estables para n pares e inestables para n impares. Este es un ejemplo de un campo vectorial autónomo bidimensional que contiene un número infinito de órbitas periódicas hiperbólicas inestables en una región delimitada, pero no es caótico.
Ahora consideramos lo que hemos aprendido de estos cuatro ejemplos. En el ejemplo 45 identificamos conjuntos invariantes en los que las trayectorias exhibieron una dependencia sensible de las condiciones iniciales (es decir, trayectorias separadas a una velocidad exponencial), pero esos conjuntos invariantes no estaban delimitados, y las trayectorias también quedaron sin límites. Esto ilustra por qué la amplitud es parte de la definición de conjunto invariante en el contexto de sistemas caóticos.
En el ejemplo 46 identificamos un conjunto invariante,\(\mathcal{A}\), sobre el que se delimitaron todas las trayectorias y exhibieron una dependencia sensible de las condiciones iniciales, aunque solo se separaron linealmente en el tiempo. Sin embargo, las coordenadas r de todas las trayectorias permanecieron constantes, lo que indica que las trayectorias se limitaron a estar en círculos (“círculos invariantes”) dentro\(\mathcal{A}\).
En el ejemplo 47, para\(\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\) un número irracional, cada trayectoria llena densamente todo el espacio de fase, el toro (que está acotado). Sin embargo, las trayectorias no mostraron dependencia sensible de las condiciones iniciales.
Finalmente, en el ejemplo 48 dimos un ejemplo que tiene un número infinito de órbitas hiperbólicas inestables en una región delimitada del espacio de fase. No examinamos explícitamente el tema de la dependencia sensible de las condiciones iniciales para este ejemplo.
Entonces, ¿qué características requeriríamos de un conjunto caótico invariante? Una combinación de los ejemplos 45 y 47 capturaría muchas manifestaciones de “conjuntos caóticos invariantes”:
- el conjunto invariante está delimitado,
- cada trayectoria se acerca arbitrariamente a cada punto del conjunto invariante durante el transcurso de su evolución en el tiempo, y
- cada trayectoria tiene una dependencia sensible de la condición inicial.
Si bien es sencillo de afirmar, desarrollar un marco matemático único que haga que estos tres criterios sean matemáticamente rigurosos, y proporcione una manera de verificarlos en ejemplos particulares, no es tan sencillo.
La propiedad 1 es bastante sencilla, una vez que hemos identificado un conjunto invariante candidato (que puede ser muy difícil en ODEs explícitas). Si el espacio de fase está equipado con una norma, entonces tenemos una forma de verificar si el conjunto invariante está acotado o no.
La propiedad 2 es muy difícil de verificar, así como desarrollar una definición universalmente aceptada entre los matemáticos en cuanto a lo que significa para que “cada trayectoria se acerque arbitrariamente a cada punto en el espacio de fases durante el transcurso de su evolución”. Su definición se entiende dentro del contexto de las propiedades de recurrencia de las trayectorias. Esos pueden estudiarse ya sea desde el punto de vista topológico (ver Akin). o desde el punto de vista de la teoría ergódica (ver Katok y Hasselblatt o Brin y Stuck). Los ajustes para ambos puntos de vista utilizan diferentes estructuras matemáticas (topología en el primer caso, teoría de medidas en el segundo caso). Un libro que describe cómo se utilizan ambos puntos de vista en la aplicación de la mezcla es Sturman et al.
Verificar que la Propiedad 3 se mantenga para todas las trayectorias tampoco es sencillo. Lo que significa “todos” es diferente en el escenario topológico (“conjunto abierto”, categoría Baire) y el entorno teórico ergódico (conjuntos de “medida completa”). Lo que significa “dependencia sensible de las condiciones iniciales” también es diferente en cada escenario. La definición que dimos anteriormente estaba más en el espíritu del punto de vista topológico (no se dio una “tasa de separación” específica) y el marco teórico ergódico se centra
sobre los exponentes de Lyapunov (“primer método de Lyapunov”) y la tasa exponencial de separación de trayectorias.
Por lo tanto, no hemos logrado dar un ejemplo específico de una ODE cuyas trayectorias se comportan de manera caótica. Hemos podido describir algunos de los temas, pero los detalles se dejarán para otros cursos (que podrían ser cursos de teoría de sistemas dinámicos o teoría ergódica o, idealmente, un poco de ambos). Pero hemos ilustrado lo difícil que puede ser formular definiciones matemáticamente precisas que puedan verificarse en ejemplos específicos.
Todos nuestros ejemplos anteriores fueron campos vectoriales bidimensionales y autónomos. El tipo de dinámica que pueden exhibir dichos sistemas es muy limitado, según el teorema de Poincaré-Bendixson (ver Hirsch et al. o Wiggins). Hay una serie de variaciones de este teorema, por lo que dejaremos la exploración de este teorema al estudiante interesado.