Prefacio

Ecuaciones diferenciales elementales con problemas de valor límite está escrito para estudiantes de ciencias, ingeniería y matemáticas que han completado el cálculo a través de la diferenciación parcial. Si tu plan de estudios incluye el Capítulo 10 (Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales), tus alumnos deben tener alguna preparación en álgebra lineal.

Al escribir este libro me he guiado por los siguientes principios:

• Se debe escribir un texto elemental para que el alumno pueda leerlo con comprensión sin demasiado dolor. He tratado de ponerme en el lugar del alumno, y he optado por equivocarme por el lado de demasiados detalles en lugar de no suficientes.
• Un texto elemental no puede ser mejor que sus ejercicios. Este texto incluye 1695 ejercicios numerados, muchos de ellos con varias partes. Van en dificultad desde la rutina hasta muy desafiantes.
• Un texto elemental debe escribirse de manera informal pero matemáticamente precisa, ilustrado por gráficos apropiados. He tratado de formular conceptos matemáticos de manera sucinta en lenguaje que los alumnos puedan entender. He minimizado el número de teoremas y definiciones explícitamente declarados, prefiriendo tratar los conceptos de una manera más conversacional, copiosamente ilustrados por 250 ejemplos completamente elaborados. En su caso, los conceptos y resultados se representan en 144 figuras.

Si bien creo que la computadora es una herramienta inmensamente valiosa para aprender, hacer y escribir matemáticas, la selección y el tratamiento de temas en este texto refleja mi orientación pedagógica en líneas tradicionales. No obstante, he incorporado lo que creo que es el mejor uso de la tecnología moderna, para que puedas seleccionar el nivel de tecnología que quieras incluir en tu curso. El texto incluye 336 ejercicios —identificados por los símbolos y— que requieren gráficos o cómputos y gráficos. También hay 73 ejercicios de laboratorio —identificados por— que requieren un uso extensivo de la tecnología. Además, varias secciones incluyen asesoría informal sobre el uso de la tecnología. Si prefieres no enfatizar la tecnología, simplemente ignora estos ejercicios y los consejos.

Hay dos escuelas de pensamiento sobre si las técnicas y aplicaciones deben tratarse juntas o por separado. Yo he optado por separarlos; así, el Capítulo 2 trata de técnicas para resolver ecuaciones de primer orden, y el Capítulo 4 trata de aplicaciones. De igual manera, el Capítulo 5 trata de técnicas para resolver ecuaciones de segundo orden, y el Capítulo 6 trata de aplicaciones. Sin embargo, los conjuntos de ejercicios de las secciones que tratan de técnicas incluyen algunos problemas aplicados.

Los textos de ecuaciones diferenciales elementales orientados tradicionalmente son criticados ocasionalmente por ser colecciones de métodos no relacionados para resolver problemas diversos. Hasta cierto punto esto es cierto; después de todo, ningún método único se aplica a todas las situaciones. Sin embargo, creo que una idea puede recorrer un largo camino hacia la unificación de algunas de las técnicas para resolver diversos problemas: la variación de parámetros. Utilizo la variación de parámetros en la primera oportunidad en la Sección 2.1, para resolver la ecuación lineal no homogénea, dada una solución no trivial de la ecuación complementaria. Esto te puede resultar molesto, ya que la mayoría de nosotros aprendimos que uno debería usar factores integradores para esta tarea, mientras quizás mencionamos la opción de variación de parámetros en un ejercicio. Sin embargo, hay poca diferencia entre los dos enfoques, ya que un factor integrador no es más que el recíproco de una solución no trivial de la ecuación complementaria. La ventaja de utilizar la variación de parámetros aquí es que introduce el concepto en su forma más simple y enfoca la atención del estudiante en la idea de buscar una solución\(y\) de una ecuación diferencial escribiéndola como\(y=uy_1\), donde\(y_1\) está una solución conocida de ecuación relacionada y \(u\)es una función a determinar. Utilizo esta idea de maneras no estándar, de la siguiente manera:

• En la Sección 2.4 resolver ecuaciones no lineales de primer orden, como las ecuaciones de Bernoulli y las ecuaciones homogéneas no lineales.
• En el Capítulo 3 para la solución numérica de ecuaciones semilineales de primer orden.
• En la Sección 5.2 para evitar la necesidad de introducir exponenciales complejos en la resolución de una ecuación homogénea de coeficiente constante de segundo orden con polinomios característicos que tienen ceros complejos.
• En las Secciones 5.4, 5.5 y 9.3 para el método de coeficientes indeterminados. (Si el método de aniquiladores es su enfoque preferido para este problema, compare el trabajo que implica resolver, por ejemplo,\(y''+y'+y=x^4e^x\) por el método de aniquiladores y el método utilizado en la Sección 5.4.)

Introducir la variación de parámetros lo antes posible (Sección 2.1) prepara al alumno para el concepto cuando vuelve a aparecer en formas más complejas en la Sección 5.6, donde la reducción del orden se utiliza no sólo para encontrar una segunda solución de la ecuación complementaria, sino también para encontrar la solución general de la ecuación no homogénea, y en las Secciones 5.7, 9.4 y 10.7, que tratan el problema habitual de variación de parámetros para ecuaciones lineales de segundo y superior orden y para sistemas lineales.

También puede encontrar lo siguiente para ser de su interés:

• La sección 2.6 trata de factores integradores de la forma\(\mu=p(x)q(y)\), además de los de la forma\(\mu=p(x)\) y\(\mu=q(y)\) discutidos en la mayoría de los textos.
• La Sección 4.4 hace que el análisis del plano de fase de las ecuaciones autónomas de segundo orden no lineales sea accesible a los estudiantes que no hayan tomado álgebra lineal, ya que los valores propios y los vectores propios no entran en el tratamiento. El análisis del plano de fase de los sistemas lineales de coeficiente constante se incluye en las Secciones 10.4-6.
• La Sección 4.5 presenta una amplia discusión sobre las aplicaciones de ecuaciones diferenciales a las curvas.
• La sección 6.4 estudia el movimiento bajo una fuerza central, lo que puede ser útil para los estudiantes interesados en las matemáticas de las órbitas satélites.
• Las secciones 7.5-7 presentan el método de Frobenius con más detalle que en la mayoría de los textos. El enfoque es sistematizar los cálculos de manera que se evite la necesidad de sustituir la serie desconocida de Frobenius en cada ecuación. Esto conduce a la eficiencia en el cálculo de los coeficientes de la solución de Frobenius. También aclara el caso donde las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero (Sección 7.7).
• El Manual de Soluciones para Estudiantes gratuito contiene soluciones de la mayoría de los ejercicios pares.
• El Manual de Soluciones para Instructores gratuito está disponible por correo electrónico a wtrench@trinity.edu, sujeto a la verificación del estado docente del solicitante.

Las siguientes observaciones pueden ser útiles a medida que elija su programa de estudios:

• La Sección 2.3 es el único requisito previo específico para el Capítulo 3. Para dar cabida a instituciones que ofrezcan un curso separado en análisis numérico, el Capítulo 3 no es un requisito previo para ninguna otra sección del texto.
• Las secciones del Capítulo 4 son independientes entre sí, y no son requisitos previos para ninguno de los capítulos posteriores. Esto también es cierto para las secciones del Capítulo 6, salvo que la Sección 6.1 es un requisito previo para la Sección 6.2.
• Los capítulos 7, 8 y 9 pueden ser cubiertos en cualquier orden después de los temas seleccionados del Capítulo 5. Por ejemplo, se puede proceder directamente del Capítulo 5 al Capítulo 9.
• La ecuación de Euler de segundo orden se discute en la Sección 7.4, donde establece el escenario para el método de Frobenius. Como se señaló al inicio de la Sección 7.4, si quieres incluir ecuaciones de Euler en tu plan de estudios omitiendo el método de Frobenius, puedes saltarte los párrafos introductorios de la Sección 7.4 y comenzar por la Definición 7.4.2. Después podrá cubrir la Sección 7.4 inmediatamente después de la Sección 5.2.

William F. Fosa