14.32: Sección 4.4 Respuestas

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1. \(\overline{y}=0\)0 es un equilibrio estable; las trayectorias son\(v^{2}+\frac{y^{2}}{4}=c\)

2. \(\overline{y}=0\)0 es un equilibrio inestable; las trayectorias son\(v^{2}+\frac{2y^{3}}{3}=c\)

3. \(\overline{y}=0\)0 es un equilibrio estable; las trayectorias son\(v^{2}+\frac{2|y|^{3}}{3}=c\)

4. \(\overline{y}=0\)0 es un equilibrio estable; las trayectorias son\(v^{2}-e^{-y}(y+1)=c\)

5. equilibrios:\(0\) (estable) e\(−2, 2\) (inestable); trayectorias:\(2v^{2} − y^{4} + 8y^{2} = c\); separatriz:\(2v^{2} − y^{4} + 8y^{2} = 16\)

6. equilibrios:\(0\) (inestable) y\(−2, 2\) (estable); trayectorias:\(2v^{2} + y^{4} − 8y^{2} = c\); separatriz:\(2v^{2} + y^{4} − 8y^{2} =0\)

7. equilibrios:\(0, −2, 2\) (estable),\(−1, 1\) (inestable); trayectorias:\(6v^{2} + y^{2}(2y^{4} − 15y^{2} + 24) = c\); separatriz:\(6v^{2} + y^{2} (2y^{4} − 15y^{2} + 24) = 11\)

8. equilibrios:\(0, 2\) (estable) e\(−2, 1\) (inestable); trayectorias:\(30v^{2} + y^{2}(12y^{3} − 15y^{2} − 80y + 120) = c\); separatrices:\(30v^{2} + y^{2} (12y^{3} − 15y^{2} − 80y + 120) = 496\) y\(30v^{2} + y^{2} (12y^{3} − 15y^{2} − 80y + 120) = 37\)

9. No hay equilibrios si\(a < 0; 0\) es inestable si\(a = 0\);\(\sqrt{a}\) es estable y\(−\sqrt{a}\) es inestable si\(a > 0\).

10. \(0\)es un equilibrio estable si\(a ≤ 0\);\(−\sqrt{a}\) y\(\sqrt{a}\) son estables y\(0\) es inestable si\(a > 0\).

11. \(0\)es inestable si\(a ≤ 0\);\(−\sqrt{a}\) y\(\sqrt{a}\) son inestables y\(0\) es estable si\(a > 0\).

12. \(0\)es estable si\(a ≤ 0; 0\) es estable y\(−\sqrt{a}\) y\(\sqrt{a}\) son inestables si\(a ≤ 0\).

22. Una solución\(\overline{y}\) de equilibrio de\(y'' + p(y) = 0\) es inestable si hay\(€> 0\) tal que, para cada\(δ > 0\), hay una solución de (A) con\(\sqrt{(y(0)-\overline{y})^{2}+v^{2}(0)}<\delta \), pero\(\sqrt{(y(t)-\overline{y})^{2}+v^{2}(t)}\geq €\) para algunos\(t>0\).