7: Sistemas no lineales
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“El científico no estudia la naturaleza porque es útil; la estudia porque se deleita en ella, y se deleita en ella porque es hermosa”. - Jules Henri Poincaré (1854-1912)
- 7.1: Introducción
- Algunos de los fenómenos más interesantes del mundo son modelados por sistemas no lineales. Estos sistemas pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales cuando el tiempo se considera como una variable continua o ecuaciones de diferencia cuando el tiempo se trata en pasos discretos.
- 7.2: La ecuación logística
- En esta sección exploraremos un modelo poblacional simple no lineal. Por lo general, queremos modelar el crecimiento de una población determinada, y (t), y la ecuación diferencial que rige el comportamiento de crecimiento de esta población se desarrolla de manera similar a la utilizada anteriormente para mezclar problemas.
- 7.3: Ecuaciones Autónomas de Primer Orden
- En esta sección estudiaremos la estabilidad de las ecuaciones autónomas no lineales de primer orden. Luego ampliaremos este estudio en la siguiente sección para observar familias de ecuaciones de primer orden que están conectadas a través de un parámetro.
- 7.5: La estabilidad de los puntos fijos en sistemas no lineales
- A continuación investigamos la estabilidad de las soluciones de equilibrio del péndulo no lineal que encontramos por primera vez en la sección 2.3.2. En el camino desarrollaremos algunos métodos básicos para estudiar la estabilidad de los equilibrios en sistemas no lineales en general.
- 7.6: Modelos de Población No Lineales
- YA NOS HEMOS ENCONTRADO VARIOS MODELOS DE DINÁMICA DE POBLACIÓN EN ESTE Por supuesto, uno podría soñar con varios otros ejemplos. Si bien tales modelos pueden parecer distantes de ser aplicaciones en física, resulta que estos modelos conducen a sistemas de ecuaciones diferenciales que también aparecen en sistemas físicos como el acoplamiento de ondas en láseres, en física de plasma y en reacciones químicas.
- 7.7: Límite de ciclos
- Hasta el momento nos acaban de preocupar las soluciones de equilibrio y su comportamiento. Sin embargo, los puntos fijos asintóticamente estables no son los únicos atractores. Existen otros tipos de soluciones, conocidas como ciclos límite, hacia los que puede tender una solución. En esta sección veremos algunos ejemplos de estas soluciones periódicas.
- 7.8: Sistemas no autónomos no lineales
- EN ESTA SECCIÓN SE DISCUTEN LOS SISTEMAS NO AUTÓNOMOS. Recordemos que un sistema autónomo es aquel en el que no existe una dependencia explícita del tiempo.
- 7.9: El Periodo del Péndulo No Lineal
- RECORDAR QUE EL PERIODO DEL SIMPLE PÉNDULO
- 7.10: Soluciones exactas usando funciones elípticas
- LA SOLUCIÓN EN LA ECUACIÓN 7.9.9 DE LA ECUACIÓN DE PENDULO NO LINEAL condujo a la introducción de integrales elípticas.
Miniatura: Se traza una trayectoria de muestra a través del espacio de fase cerca de un atractor Lorenz con σ = 10, ρ = 28, β = 8/3. El color de la solución se desvanece de negro a azul a medida que avanza el tiempo, y el punto negro muestra una partícula moviéndose a lo largo de la solución en el tiempo. Condiciones iniciales: x (0) = 0, y (0) = 2, z (0) = 20. 0 < t < 35. La trayectoria tridimensional {x (t), y (t), z (t)} se muestra desde diferentes ángulos para demostrar su estructura. (CC BY-SA 3.0; Dan Quinn vía Wikipedia)