6.1: Triángulos similares

Dos triángulos\(A'B'C'\) y\(ABC\) se llaman similares (brevemente\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\)) si (1) sus lados son proporcionales; es decir,

\[A'B' = k\cdot AB, B'C' = k \cdot BC \text{ and } C'A' = k \cdot CA\]

para algunos\(k > 0\), y (2) los ángulos correspondientes son iguales hasta firmar:

\[\begin{array} {l} {\measuredangle A'B'C' = \pm \measuredangle ABC} \\ {\measuredangle B'C'A' = \pm \measuredangle BCA} \\ {\measuredangle C'A'B' = \pm \measuredangle CAB} \end{array}\]

Observaciones

• Según el Teorema 3.3.1, en las tres igualdades anteriores, se puede suponer que los signos son los mismos.
• Si\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\) con\(k = 1\) en 6.1.1, entonces\(\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC\).

• Obsérvese que\(\sim\) "" es una relación de equivalencia. Es decir,
  (i)\(\triangle ABC \sim \triangle ABC\) para cualquiera\(\triangle ABC\).
  ii) si\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\), entonces
  \[\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\]
  (iii) Si\(\triangle A''B''C'' \sim \triangle A'B'C'\) y\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\), entonces
  \[\triangle A''B''C'' \sim \triangle ABC\]

Usando la nueva notación "\(\sim\)“, podemos reformular Axioma V:

Teorema\(\PageIndex{1}\) Reformulation of Axiom V.

Si por los dos triángulos\(\triangle ABC\),\(\triangle AB'C'\), y\(k > 0\) tenemos\(B' \in [AB)\),\(C' \in [AC)\),\(AB' = k \cdot AB\) y\(AC' = k \cdot AC\), entonces\(\triangle ABC \sim \triangle AB'C'\).

Es decir, el Axioma V proporciona una condición que garantiza que dos triángulos sean similares. Formulemos tres condiciones más de similitud de este tipo.

Teorema\(\PageIndex{2}\) Similarity conditions

Dos triángulos\(\triangle ABC\) y\(\triangle A'B'C'\) son similares si se mantiene una de las siguientes condiciones:

(SAS) Para alguna constante\(k > 0\) tenemos

\(AB = k \cdot A'B', AC = k \cdot A'C'\)

y\(\measuredangle BAC = \pm \measuredangle B'A'C'.\)

(AA) El triángulo no\(A'B'C'\) es degenerado y

\(\measuredangle ABC = \pm \measuredangle A'B'C', \measuredangle BAC = \pm \measuredangle B'A'C'.\)

(SSS) Para alguna constante\(k > 0\) tenemos

\(AB = k \cdot A'B', AC = k \cdot A'C', CB = k \cdot C'B'.\)

Cada una de estas condiciones se prueba aplicando el Axioma V con las condiciones de congruencia SAS, ASA y SSS respectivamente (ver Axioma IV y el Teorema 4.2.1, Teorema 4.4. 1).

Prueba

Set\(k = \dfrac{AB}{A'B'}\). Elegir puntos\(B'' \in [A'B')\) y\(C'' \in [A'C')\), para que\(A'B'' = k \cdot A'B'\) y\(A'C'' = k \cdot A'C'\). Por Axioma V,\(\triangle A'B'C' \sim \triangle A'B''C''\).

Aplicando la condición de congruencia SAS, ASA o SSS, dependiendo del caso, lo conseguimos\(\triangle A'B''C'' \cong \triangle ABC\). De ahí el resultado.

Una biyección\(X \leftrightarrow X'\) de un plano a sí mismo se llama transformación de preservación de ángulo si

\(\measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'\)

para cualquier triángulo\(ABC\) y su imagen\(\triangle A'B'C'\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que cualquier transformación del plano que preserva el ángulo multiplica toda la distancia por una constante fija.

Pista

Por la condición de similitud AA, la transformación multiplica los lados de cualquier triángulo no degenerado por algún número que puede depender del triángulo.

Tenga en cuenta que para cualquier dos triángulos no degenerados que comparten un lado este número es el mismo. Aplicar esta observación a una cadena de triángulos conduce a una solución.