8.6: Incenter
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El punto de intersección de los bisectores se llama el incentro del triángulo; generalmente se denota por\(I\). El punto\(I\) se encuentra a la misma distancia de cada lado. En particular, es el centro de un círculo tangente a cada lado del triángulo. Este círculo se llama incircle y su radio se llama el inradio del triángulo.
- Prueba
-
Dejar\(\triangle ABC\) ser un triángulo no degenerado.
Tenga en cuenta que los puntos\(B\) y\(C\) se encuentran en lados opuestos de la bisectriz de\(\angle BAC\). De ahí que esta bisectriz se intersecta\([BC]\) en un punto, digamos\(A'\).
Análogamente, hay\(B' \in [AC]\) tal que\((BB')\) bisecta\(\angle ABC\).
Aplicando el teorema de Pasch (Teorema 3.4.1) dos veces para los triángulos\(AA'C\) y\(BB'C\), obtenemos eso\([AA']\) y se\([BB']\) cruzan. Supongamos que\(I\) denota el punto de intersección.
Dejar\(X, Y\), y\(Z\) ser los puntos del pie de\(I\) on\((BC)\),\((CA)\), y\((AB)\) respectivamente. Aplicando la Proposición 8.5.1, obtenemos que
\(IY = IZ = IX.\)
Del mismo lema, obtenemos que\(I\) yace en la bisectriz o en la bisectriz exterior de\(\angle BCA\).
La línea\((CI)\) se cruza\([BB']\), los puntos\(B\) y se\(B'\) encuentran en lados opuestos de\((CI)\). Por lo tanto, los ángulos\(ICB'\) y\(ICB\) tienen signos opuestos. Tenga en cuenta que\(\angle ICA = \angle ICB'\). Por lo tanto,\((CI)\) no puede ser la bisectriz exterior de\(\angle BCA\). De ahí el resultado.