11.6: Curvatura

En una carta de 1824 Gauss escribe:

El supuesto de que la suma de los tres ángulos es menor que π lleva a una geometría curiosa, bastante diferente a la nuestra pero completamente consistente, que he desarrollado a mi satisfacción en el neumático, para que pueda resolver todos los problemas en ella con la excepción de una determinación de una constante, que no puede designarse a priori. Cuanto mayor toma esta constante, más cerca se acerca a la geometría euclidiana, y cuando se elige indefinidamente grande las dos coinciden. Los teoremas de esta geometría parecen paradójicamente y, a los no iniciados, absurdos; pero la reflexión tranquila y constante revela que no contienen nada imposible. Por ejemplo, los tres ángulos de un triángulo se vuelven tan pequeños como se desee, si sólo se toman los lados grandes enuf; sin embargo, el área del triángulo nunca podrá superar un límite definido, independientemente de lo grandes que se tomen los lados, ni de hecho nunca podrá alcanzarlo.

En la terminología moderna, la constante que menciona Gauss, puede expresarse como\(1/\sqrt{-k}\)\(k \le 0\), donde, es la llamada curvatura del plano neutro, que estamos a punto de introducir.

La identidad en el Ejercicio 11.4.1 sugiere que el defecto de un triángulo debe ser proporcional a su área. (El área en el plano neutro se discute brevemente al final del Capítulo 20, pero el lector también podría referirse a una comprensión intuitiva de la medición del área).

De hecho, para cualquier plano neutro, hay un número real no positivo\(k\) tal que

\(k \cdot \text{area} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle ABC) = 0\)

para cualquier\(\triangle ABC\). A este número\(k\) se le llama la curvatura del plano.

Por ejemplo, por el Teorema 7.4.1, el plano euclidiano tiene curvatura cero.

Por el Teorema 11.3.1, la curvatura de cualquier plano neutro es no positiva.

Resulta que hasta la isometría, el plano neutro se caracteriza por su curvatura; es decir, dos planos neutros son isométricos si y sólo si tienen la misma curvatura.

En el siguiente capítulo, construiremos un plano hiperbólico; esto es, un ejemplo de plano neutro con curvatura\(k = -1\).

Cualquier plano neutro, distinto del euclidiano, se puede obtener escalando la métrica en el plano hiperbólico. En efecto, si escalamos la métrica por un factor positivo\(c\), el área cambia por factor\(c^2\), mientras que el defecto permanece igual. Por lo tanto\(c = \sqrt{-k}\), tomando, podemos obtener el plano neutro de la curvatura dada\(k < 0\). En otras palabras, todos los planos neutros no euclidianos se vuelven idénticos si usamos\(r = 1/\sqrt{-k}\) como unidad de longitud.

En el Capítulo 16, discutimos la geometría esférica. Las esferas de Altho no son planos neutros, la geometría esférica es un pariente cercano de geometrías euclidianas e hiperbólicas.

Los triángulos esféricos no degenerados tienen defectos negativos. Además, si\(R\) es el radio de la esfera, entonces

\(\dfrac{1}{R^2} \cdot \text{area} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle ABC) = 0\)

para cualquier triángulo esférico\(ABC\). En otras palabras, la esfera del radio\(R\) tiene la curvatura\(k = \dfrac{1}{R^2}\).