18.9: Relación cruzada compleja

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Let\(u\)\(v\),\(w\),, y\(z\) ser cuatro números complejos distintos. Recordemos que el número complejo

\(\dfrac{(u-w) \cdot (v-z)}{(v-w) \cdot (u-z)}\)

se llama la relación cruzada compleja de\(u\)\(v\),\(w\),, y\(z\); se denota por\((u,v;w,z)\).

Si uno de los números\(u\),\(v\),\(w\),\(z\) es\(\infty\), entonces la relación cruzada compleja tiene que definirse tomando el límite apropiado; es decir, suponemos que\(\dfrac{\infty}{\infty}=1\). Por ejemplo,

\((u, v; w, \infty)=\dfrac{(u-w)}{(v-w)}.\)

Supongamos que\(U\)\(V\)\(W\),, y\(Z\) son los puntos con coordenadas complejas\(u\),\(v\),\(w\), y\(z\) respectivamente. Tenga en cuenta que

\(\begin{aligned} \dfrac{UW\cdot VZ}{VW\cdot UZ}&=|(u,v;w,z)|, \\ \measuredangle WUZ +\measuredangle ZVW&=\arg\frac{u-w}{u-z}+\arg\frac{v-z}{v-w}\equiv \\ &\equiv \arg(u,v;w,z).\end{aligned}\)

Estas ecuaciones permiten reformular el Teorema 10.2.1 utilizando las coordenadas complejas de la siguiente manera:

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(UWVZ\) y\(U'W'V'Z'\) ser dos cuadrangulares tales que los puntos\(U'\),\(W'\),\(V'\), y\(Z'\) son inversos de\(U\),\(W\),\(V\), y \(Z\)respectivamente. Supongamos\(u\)\(w\)\(v\),,\(z\),\(u'\),\(w'\),\(v'\),, y\(z'\) son las complejas coordenadas de\(U\),\(W\), \(V\),\(Z\),\(U'\),\(W'\),\(V'\), y\(Z'\) respectivamente.

Entonces

\((u',v';w',z')=\overline{(u,v;w,z)}.\)

El siguiente ejercicio es una generalización del teorema anterior. Tiene una solución corta usando la Proposición 18.8.1.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que las relaciones cruzadas complejas son invariantes bajo transformaciones lineales fraccionarias.

Es decir, si una transformación lineal fraccionaria mapea cuatro números complejos distintos\(u, v, w, z\) a números complejos\(u', v', w', z'\) respectivamente, entonces

\((u',v';w',z') = (u,v;w,z).\)

Pista: Verifique la declaración para cada transformación elemental. A continuación aplicar la Proposición 18.8.1.