18.10: Teorema de Schwarz-Pick
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El siguiente teorema muestra que la métrica en el modelo de disco conformado aparece naturalmente en otras ramas de las matemáticas. No damos su prueba, pero se puede encontrar en cualquier libro de texto sobre análisis de complejos geométricos.
Supongamos que\(\mathbb{D}\) denota el disco unitario en el plano complejo centrado en\(0\); es decir, un número complejo\(z\) pertenece a\(\mathbb{D}\) si y sólo si\(|z|<1\).
Usemos el disco\(\mathbb{D}\) como plano h en el modelo de disco conforme; la distancia h entre ellos se\(z, w\in\mathbb{D}\) denotará por\(d_h(z,w)\); es decir,
\(d_h(z,w) := ZW_h,\)
donde\(Z\) y\(W\) son puntos h con coordenadas complejas\(z\) y\(w\) respectivamente.
Una función\(f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}\) se llama holomórfica si por cada\(z\in \mathbb{D}\) hay un número complejo\(s\) tal que
\(f(z+w)=f(z)+s\cdot w+o(|w|).\)
En otras palabras,\(f\) es complejo-diferenciable en cualquier\(z\in\mathbb{D}\). El número complejo\(s\) se llama la derivada de\(f\) at\(z\), o brevemente\(s=f'(z)\).
Teorema de Schwarz-Pick Asumir\(f\: \mathbb{D}\to \mathbb{D}\) es una función holomórfica. Entonces
\(d_h(f(z),f(w))\le d_h(z,w)\)
para cualquier\(z,w\in \mathbb{D}\).
Si la igualdad se mantiene para un par de números distintos\(z,w\in \mathbb{D}\), entonces se mantiene para cualquier par. En este caso\(f\) es una transformación lineal fraccionaria así como un movimiento del plano h.
Mostrar que si una transformación lineal fraccional\(f\) aparece en el caso de igualdad del teorema de Schwarz-Pick, entonces se puede escribir como
\(f(z)=\dfrac{v\cdot z+\bar w}{w\cdot z+\bar v}.\)
donde\(v\) y\(w\) son constantes complejas tales que\(|v|>|w|\).
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Tenga en cuenta que\(f = \dfrac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}\) conserva el círculo unitario\(|z| = 1\). Utilice el Corolario 10.6.1 y la Proposición 18.12 para mostrar que se\(f\) conmuta con la inversión\(z \mapsto 1/\bar{z}\). En otras palabras,\(1/f(z) = f(1/\bar{z})\) o
\(\dfrac{\bar{c} \cdot \bar{z} + \bar{d}}{\bar{a} \cdot \bar{z} + \bar{b}} = \dfrac{a/\bar{z} + b}{c/\bar{z} + d}\)
para cualquier\(z \in \bar{\mathbb{C}}\). Esta última identidad lleva a las declaraciones requeridas. La condición\(|w| < |v|\) sigue desde\(f(0) \in \mathbb{D}\).
Recordemos que la tangente hiperbólica\(\tanh\) se define en la página. Demostrar que
\(\tanh [\tfrac12\cdot d_h(z,w)]=\left|\frac{z-w}{1-z\cdot\bar w}\right|.\)
Concluye que la desigualdad en el teorema de Schwarz-Pick se puede reescribir como
\(\left|\frac{z'-w'}{1-z'\cdot\bar w'}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-z\cdot\bar w}\right|,\)
dónde\(z'=f(z)\) y\(w'=f(w)\).
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Tenga en cuenta que las inversas de los puntos\(z\) y\(w\) tienen coordenadas complejas\(1/\bar{z}\) y\(1/\bar{w}\). Aplicar Ejercicio 12.9.2 y simplificar.
La segunda parte sigue ya que la función\(x \mapsto \tanh (\dfrac{1}{2} \cdot x)\) va en aumento.
Demostrar que el lema de Schwarz expuesto a continuación se desprende del teorema de Schwarz—Pick
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Aplicar el teorema de Schwarz-Pick para una función\(f\) tal que\(f(0) = 0\) y luego aplicar Lemma 12.3.2.
Dejar\(f\: \mathbb{D}\to \mathbb{D}\) ser una función holomórfica y\(f(0)=0\). Entonces\(|f(z)|\le |z|\) para cualquiera\(z\in \mathbb{D}\).
Además, si la igualdad se mantiene para algunos\(z\ne 0\), entonces hay un número complejo unitario\(u\) tal que\(f(z)=u\cdot z\) para cualquiera\(z\in\mathbb{D}\).