3: El comportamiento gráfico de las funciones
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Nuestro estudio de los límites condujo a funciones continuas, que es una cierta clase de funciones que se comportan de una manera particularmente agradable. Los límites nos dieron entonces una clase de funciones aún más agradable, funciones que son diferenciables. Este capítulo explora muchas de las formas en que podemos aprovechar la información que proporcionan las funciones continuas y diferenciables.
- 3.1: Valores extremos
- Dada cualquier cantidad descrita por una función, a menudo nos interesan los valores más grandes y/o menores que alcanza la cantidad. Por ejemplo, si una función describe la velocidad de un objeto, parece razonable querer saber lo más rápido/más lento que viajó el objeto. Si una función describe el valor de una acción, es posible que queramos saber cómo los valores más altos/más bajos alcanzaron las acciones en el último año. A tales valores los llamamos valores extremos.
- 3.2: El teorema del valor medio
- El teorema del valor medio establece que para un arco plano dado entre dos puntos finales, hay al menos un punto en el que la tangente al arco es paralela a la secante a través de sus puntos finales. Este teorema se utiliza para probar declaraciones sobre una función en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre derivadas en puntos del intervalo.
- 3.3: Funciones crecientes y decrecientes
- En esta sección comenzamos a estudiar cómo se comportan las funciones entre puntos especiales; comenzamos a estudiar con más detalle la forma de sus gráficas. La primera derivada de una función ayuda a determinar cuándo la función va “arriba” o “abajo”.
- 3.4: Concavidad y Segunda Derivada
- Hemos estado aprendiendo cómo la primera y la segunda derivada de una función relacionan la información sobre la gráfica de esa función. Se han encontrado intervalos de incremento y decreciente, intervalos donde la gráfica es cóncava hacia arriba y hacia abajo, junto con las ubicaciones de extremos relativos y puntos de inflexión.
- 3.5: Croquizado de Curva
- Hemos estado aprendiendo cómo podemos entender el comportamiento de una función a partir de su primera y segunda derivada. Si bien hemos estado tratando las propiedades de una función por separado (creciente y decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, etc.), las combinamos aquí para producir una gráfica precisa de la función sin trazar muchos puntos extraños.