8: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
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Muchos fenómenos del mundo real se pueden modelar matemáticamente usando ecuaciones diferenciales. El crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva, los modelos depredador-presa y los sistemas de masa primaveral son cuatro ejemplos de tales fenómenos. En este capítulo estudiamos algunas de estas aplicaciones. Un objetivo de este capítulo es desarrollar técnicas de solución para diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. A medida que las ecuaciones se complican, las técnicas de solución también se vuelven más complicadas, y de hecho se podría dedicar todo un curso al estudio de estas ecuaciones. En este capítulo se estudian varios tipos de ecuaciones diferenciales y sus correspondientes métodos de solución.
- 8.0: Preludio a Ecuaciones Diferenciales
- Un objetivo de este capítulo es desarrollar técnicas de solución para diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. A medida que las ecuaciones se complican, las técnicas de solución también se vuelven más complicadas, y de hecho se podría dedicar todo un curso al estudio de estas ecuaciones. En este capítulo se estudian varios tipos de ecuaciones diferenciales y sus correspondientes métodos de solución.
- 8.1: Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales
- El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivados. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida y=f (x) y su derivada, conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.
- 8.2: Campos de dirección y métodos numéricos
- En algunos casos es posible predecir propiedades de una solución a una ecuación diferencial sin conocer la solución real. También estudiaremos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, que pueden programarse usando diversos lenguajes informáticos o incluso mediante un programa de hoja de cálculo.
- 8.3: Ecuaciones separables
- Ahora examinamos una técnica de solución para encontrar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo física, química e ingeniería. Ilustramos algunas aplicaciones al final de la sección.
- 8.4: La Ecuación Logística
- Las ecuaciones diferenciales se pueden utilizar para representar el tamaño de una población, ya que varía con el tiempo. Esto lo vimos en un capítulo anterior de la sección sobre crecimiento exponencial y decaimiento, que es el modelo más simple. Un modelo más realista incluye otros factores que afectan el crecimiento de la población. En esta sección, estudiamos la ecuación diferencial logística y vemos cómo se aplica al estudio de la dinámica poblacional en el contexto de la biología.
- 8.5: Ecuaciones lineales de primer orden
- Cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse en la forma y′+p (x) y=q (x). Podemos usar una estrategia de resolución de problemas de cinco pasos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede o no incluir un valor inicial. Las aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden incluyen determinar el movimiento de un objeto ascendente o descendente con resistencia al aire y encontrar corriente en un circuito eléctrico.
Thumbnail: Un modelo de crecimiento exponencial de la población.