10.5: Ejercicios de revisión del Capítulo 10
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¿Verdadero o Falso? En los ejercicios 1 - 4, justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.
1) Si el radio de convergencia para una serie de potencia\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) es\(5\), entonces el radio de convergencia para la serie también\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}\) lo es\(5\).
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- Cierto
2) La serie Power se puede utilizar para demostrar que la derivada de\(e^x\) es\(e^x\). (Pista: Recordemos eso\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}x^n.\))
3) Para valores pequeños de\(x,\)\(\sin x ≈ x.\)
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- Cierto
4) El radio de convergencia para la serie Maclaurin de\(f(x)=3^x\) es\(3\).
En los ejercicios 5 - 8, encuentra el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la serie dada.
5)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞n^2(x−1)^n\)
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- ROC:\(1\); COI:\((0,2)\)
6)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n^n}\)
7)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{3nx^n}{12^n}\)
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- ROC:\(12;\) COI:\((−16,8)\)
8)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{e^n}(x−e)^n\)
En los ejercicios 9 - 10, encuentra la representación de series de poder para la función dada. Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para esa serie.
9)\(f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}\)
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- \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{3^{n+1}}x^n;\)ROC:\(3\); COI:\((−3,3)\)
10)\(f(x)=\dfrac{8x+2}{2x^2−3x+1}\)
En los ejercicios 11 a 12, encuentra la serie de potencias para la función dada usando diferenciación o integración término por término.
11)\(f(x)=\tan^{−1}(2x)\)
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- integración:\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{2n+1}(2x)^{2n+1}\)
12)\(f(x)=\dfrac{x}{(2+x^2)^2}\)
En los ejercicios 13 - 14, evaluar la expansión de la serie Taylor del grado cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error en la aproximación?
13)\(f(x)=x^3−2x^2+4, \quad a=−3\)
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- \(p_4(x)=(x+3)^3−11(x+3)^2+39(x+3)−41;\)exacta
14)\(f(x)=e^{1/(4x)}, \quad a=4\)
En los ejercicios 15 - 16, encuentra la serie Maclaurin para la función dada.
15)\(f(x)=\cos(3x)\)
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- \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(3x)^{2n}}{2n!}\)
16)\(f(x)=\ln(x+1)\)
En los ejercicios 17 - 18, encuentra la serie Taylor en el valor dado.
17)\(f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}\)
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- \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n)!}\left(x−\frac{π}{2}\right)^{2n}\)
18)\(f(x)=\dfrac{3}{x},\quad a=1\)
En los ejercicios 19 - 20, encuentra la serie Maclaurin para la función dada.
19)\(f(x)=e^{−x^2}−1\)
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- \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{n!}x^{2n}\)
20)\(f(x)=\cos x−x\sin x\)
En los ejercicios 21 - 23, encuentra la serie Maclaurin para\(F(x)=∫^x_0f(t)dt\) integrando la serie Maclaurin de\(f(x)\) término por término.
21)\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)
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- \(\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}\)
22)\(f(x)=1−e^x\)
23) Use series de potencia para probar la fórmula de Euler:\(e^{ix}=cosx+isinx\)
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- Las respuestas pueden variar.
Los ejercicios 24 - 26 consideran problemas de pagos de anualidades.
24) Para anualidades con un valor presente de\($1\) millones, calcular los pagos anuales otorgados a lo largo de los\(25\) años asumiendo tasas de interés de\(1\%,5\%\), y\(10\%.\)
25) Un ganador de lotería tiene una anualidad que tiene un valor actual de\($10\) millones. ¿Qué tasa de interés necesitarían para vivir de pagos anuales perpetuos de\($250,000\)?
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- \(2.5\%\)
26) Calcular el valor presente necesario de una anualidad con el fin de apoyar los pagos anuales de los\($15,000\) dados a lo largo de los\(25\) años asumiendo tasas de interés de\(1\%,5\%\), y\(10\%.\)