7: Ecuaciones diferenciales
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- 7.1: Una introducción a las ecuaciones diferenciales
- Aquí se introduce el concepto de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que proporciona una descripción de la derivada de una función, lo que significa que nos dice la tasa de cambio de la función. Usando esta información, nos gustaría aprender lo más posible sobre la función en sí. Por ejemplo, idealmente nos gustaría tener una descripción algebraica de la función.
- 7.2: Comportamiento Cualitativo de Soluciones a Ecuaciones Diferenciales
- Dado que la derivada en un punto nos dice la pendiente de la línea tangente en este punto, una ecuación diferencial nos da información crucial sobre las líneas tangentes a la gráfica de una solución. Utilizaremos esta información sobre las líneas tangentes para crear un campo de pendiente para la ecuación diferencial, lo que nos permite esbozar soluciones a problemas de valor inicial. Nuestro objetivo será entender las soluciones cualitativamente.
- 7.3: Método de Euler
- El método de Euler es un algoritmo para aproximar la solución a un problema de valor inicial siguiendo las líneas tangentes mientras damos pasos horizontales a través del eje t. Si deseamos aproximar y (t) para alguna t fija tomando pasos horizontales de tamaño ∆t, entonces el error en nuestra aproximación es proporcional a ∆t.
- 7.4: Ecuaciones diferenciales separables
- Una ecuación diferencial separable es aquella que puede ser reescrita con todas las ocurrencias de la variable dependiente multiplicando la derivada y todas las ocurrencias de la variable independiente en el otro lado de la ecuación. Podemos encontrar las soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales separables separando variables, integrando con respecto a t, y finalmente resolviendo la ecuación algebraica resultante para y, esta técnica nos permite resolver muchas ecuaciones diferenciales importantes.
- 7.5: Modelado con Ecuaciones Diferenciales
- En nuestro trabajo hasta la fecha, hemos visto varias formas en que surgen ecuaciones diferenciales en el mundo natural, desde el crecimiento de una población hasta la temperatura de una taza de café. En esta sección, veremos más de cerca cómo las ecuaciones diferenciales nos dan una forma natural de describir diversos fenómenos. Como veremos, la clave es enfocarse en comprender los diferentes factores que provocan que una cantidad cambie.
- 7.6: Crecimiento poblacional y ecuación logística
- El crecimiento de la población terrestre es uno de los temas apremiantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? O tal vez se nivelará en algún momento, y si es así, ¿cuándo? En esta sección, veremos dos formas en las que podemos usar ecuaciones diferenciales para ayudarnos a abordar preguntas como estas. Antes de comenzar, volvamos a considerar dos ecuaciones diferenciales importantes que hemos visto en trabajos anteriores de este capítulo.
- 7.E: Ecuaciones Diferenciales (Ejercicios)
- Estos son ejercicios de tarea para acompañar al Capítulo 7 de Boelkins et al. Mapa de texto “Cálculo activo”.