7.5: Trabajo

Trabajo es el término científico utilizado para describir la acción de una fuerza que mueve un objeto. Cuando\(\vec{F}\) se aplica una fuerza constante para mover un objeto a una distancia\(d\), la cantidad de trabajo realizado es

\[W=\vec{F} \cdot \vec{d}.\]

La unidad de fuerza SI es el Newton, (kg\(\cdot\) m/s\(^2\)) y la unidad de distancia SI es un metro (m). La unidad fundamental de trabajo es un Newton-metro, o un joule (J). Es decir, aplicar una fuerza de un Newton por un metro realiza un joule de trabajo. En unidades imperiales (como se usa en Estados Unidos), la fuerza se mide en libras (lb) y la distancia se mide en pies (ft), de ahí que el trabajo se mide en ft-lb.

Masa vs. Peso

La masa y el peso están estrechamente relacionados, pero diferentes, conceptos. La masa\(m\) de un objeto es una medida cuantitativa de la resistencia de ese objeto a la aceleración. El peso\(w\) de un objeto es una medida de la fuerza aplicada al objeto por la aceleración de la gravedad\(g\).

Dado que las dos medidas son proporcionales\(w=m\cdot g\), a menudo se usan indistintamente en la conversación cotidiana. Cuando se trabaja en computación, hay que tener cuidado de anotar a cuál se está refiriendo. Cuando se da masa, se debe multiplicar por la aceleración de la gravedad para hacer referencia a la fuerza relacionada.

Cuando la fuerza es constante, la medición del trabajo es sencilla. Por ejemplo, levantar un objeto de 200 lb 5 pies realiza\(200\cdot 5 = 1000\) ft-lb de trabajo.

¿Y si la fuerza aplicada es variable? Por ejemplo, imagínese a un escalador tirando de una cuerda de 200 pies por una cara vertical. La cuerda se vuelve más ligera a medida que se tira de más adentro, requiriendo menos fuerza y por lo tanto el escalador realiza menos trabajo.

En general, deja\(F(x)\) ser una función de fuerza en un intervalo\([a,b]\). Queremos medir la cantidad de trabajo realizado aplicando la fuerza\(F\) de\(x=a\) a\(x=b\). Podemos aproximar la cantidad de trabajo que se está realizando particionando\([a,b]\) en subintervalos\(a=x_1<x_2 <\cdots <x_{n+1}=b\) y asumiendo que\(F\) es constante en cada subintervalo. Dejar\(c_i\) ser un valor en el\(i\,^{\text{th}}\) subintervalo\([x_i,x_{i+1}]\). Entonces el trabajo realizado en este intervalo es aproximadamente

\[W_i\approx F(c_i)\cdot(x_{i+1}-x_i) = F(c_i)\,\Delta x_i, \nonumber\]

una fuerza constante\(\times\) la distancia sobre la que se aplica. El trabajo total es

\[ W = \sum_{i=1}^n W_i \approx \sum_{i=1}^n F(c_i)\,\Delta x_i. \nonumber\]

Esto, por supuesto, es una suma de Riemann. Tomando un límite ya que las longitudes del subintervalo van a cero dan un valor exacto de trabajo que se puede evaluar a través de una integral definida.

Idea Clave 29: Trabajo

Let\(F(x)\) Ser una función continua en\([a,b]\) describir la cantidad de fuerza que se aplica a un objeto en la dirección de desplazamiento de distancia\(x=a\) a distancia\(x=b\). El trabajo total\(W\) realizado en\([a,b]\) es

\[W = \int_a^b F(x) \, dx.\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Computing work performed - applying variable force

Una cuerda de escalada de 60m cuelga sobre el costado de un acantilado alto. ¿Cuánto trabajo se realiza al tirar de la cuerda hasta la parte superior, donde la cuerda tiene una masa de 66g/m? ¿Cuánto trabajo se realiza jalando una cuerda de escalada de 60 m por la cara de un acantilado, donde la cuerda tiene una masa de 66 g/m?

Solución

Necesitamos crear una función de fuerza\(F(x)\) en el intervalo\([0,60]\). Para ello, primero debemos decidir qué\(x\) es lo que mide: ¿es la longitud de la cuerda que aún cuelga o es la cantidad de cuerda que se tira? Mientras seamos consistentes, cualquiera de los dos enfoques está bien. Adoptamos para este ejemplo la convención que\(x\) es la cantidad de cuerda tirada. Esto parece coincidir mejor con la intuición; tirar hacia arriba los primeros 10 metros de cuerda implica\(x=0\) a\(x=10\) en lugar de\(x=60\) a\(x=50\).

Al igual\(x\) que la cantidad de cuerda que se tira, la cantidad de cuerda que aún cuelga es\(60-x\). Esta longitud de cuerda tiene una masa de 66 g/m, o\(0.066\) kg/m. La masa de la cuerda aún colgada es de\(0.066(60-x)\) kg; multiplicar esta masa por la aceleración de la gravedad, 9.8 m/s\(^2\), da nuestra función de fuerza variable

\[F(x) = (9.8)(0.066)(60-x) = 0.6468(60-x). \nonumber\]

Así, el trabajo total realizado al tirar de la cuerda es

\[W = \int_0^{60} 0.6468(60-x) \, dx = 1,164.24\ \text{J}. \nonumber\]

En comparación, considere el trabajo realizado en el levantamiento de toda la cuerda 60 metros. La cuerda pesa\(60\times 0.066 \times 9.8 = 38.808\) N, por lo que el trabajo que aplica esta fuerza para 60 metros es\(60\times 38.808 = 2,328.48\) J. Esto es exactamente el doble del trabajo calculado antes (y dejamos que el lector entienda por qué.)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Computing work performed - applying variable force

Considera de nuevo tirar una cuerda de 60 m por la cara de un acantilado, donde la cuerda tiene una masa de 66 g/m. ¿En qué punto es exactamente la mitad del trabajo realizado?

Solución

De Ejemplo\(\PageIndex{1}\) sabemos que el trabajo total realizado es\(1,164.24\) J. Queremos encontrar una altura\(h\) tal que el trabajo en tirar de la cuerda desde una altura de\(x=0\) hasta una altura de\(x=h\) sea 582.12, la mitad del trabajo total. Así queremos resolver la ecuación

\[\int_0^h 0.6468(60-x) \,dx = 582.12 \nonumber\]

para\(h\).

\ [\ begin {align*}
\ int_0^h 0.6468 (60-x)\ dx &= 582.12\\ [4pt]\ izquierda (38.808x-0.3234x^2
\ derecha)\ big|_0^H &=582.12\\ [4pt]
38.808h-0.3234h^2 &=582.12\ [4pt] -0.3234h^2 &=582.12\ [4pt] -0.3234h^2 &=582.12\ [
4pt] -0.3234h^2 38.808h-582.12 &=0. \ end {alinear*}\]

Aplica la Fórmula Cuadrática.

\[h=17.57 \ \text{and}\ 102.43 \nonumber\]

Como la cuerda solo mide\(60\) m de largo, la única respuesta sensata es\(h=17.57\). Así aproximadamente la mitad del trabajo se realiza tirando hacia arriba el primer\(17.5\) m la otra mitad del trabajo se hace jalando hacia arriba el\(42.43\) m restante.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Computing work performed: applying variable force

Se está levantando una caja de 100 lb de arena a una velocidad uniforme a una distancia de 50 pies en 1 minuto. La arena tiene fugas de la caja a una velocidad de 1 lb/s. La caja en sí pesa 5 lb y es tirada por una cuerda que pesa .2 lb/ft.

1. ¿Cuánto trabajo se realiza levantando solo la cuerda?
2. ¿Cuánto trabajo se realiza levantando solo la caja y la arena?
3. ¿Cuál es la cantidad total de trabajos realizados?

Solución

1. Comenzamos formando la función de fuerza\(F_r(x)\) para la cuerda (donde el subíndice denota estamos considerando la cuerda). Al igual que en el ejemplo anterior, vamos a\(x\) denotar la cantidad de cuerda, en pies, tirada. (Esto es lo mismo que decir\(x\) denota la altura de la caja.) El peso de la cuerda con\(x\) los pies tirados es\[F_r(x) = 0.2(50-x) = 10-0.2x. \nonumber\] (Tenga en cuenta que aquí no tenemos que incluir la aceleración de la gravedad, pues se da el peso de la cuerda por pie, no su masa por metro como antes.) El trabajo realizado levantando la cuerda es\[W_r = \int_0^{50} (10-0.2x)\ dx = 250\ \text{ft-lb}. \nonumber\]
2. La arena sale de la caja a razón de 1 lb/s. Como el recorrido vertical es para tomar un minuto, sabemos que habrá dejado 60 lb cuando la caja alcance su altura final de 50 pies. Nuevamente dejando\(x\) representar la altura de la caja, tenemos dos puntos en la línea que describe el peso de la arena: cuando\(x=0\), el peso de la arena es de 100 lb, produciendo el punto\((0,100)\); cuando\(x=50\), la arena en la caja pesa 40 lb, produciendo el punto\((50,40)\). La pendiente de esta línea es\(\frac{100-40}{0-50} = -1.2\), dando la ecuación del peso de la arena a la altura\(x\) como\(w(x) = -1.2x+100\). La caja en sí pesa una constante de 5 lb, por lo que la función de fuerza total es\(F_b(x) = -1.2x+105\). Integrando de\(x=0\) a\(x=50\) da el trabajo realizado en caja de elevación y arena:\[W_b = \int_0^{50} (-1.2x+105)\ dx = 3750\ \text{ft-lb.} \nonumber\]
3. El trabajo total es la suma de\(W_r\) y\(W_b\):\(250+3750=4000\) ft-lb. También podemos llegar a esto a través de la integración:

\ [\ begin {align*} W &=\ int_0^ {50} (f_r (x) +f_b (x))\, dx\\ [4pt]
&=\ int_0^ {50} (10-0.2x-1.2x+105)\, dx\ [4pt]
&=\ int_0^ {50} (-1.4x+115)\, dx\ [4pt]
&= 4000\,\ texto {ft-lb.} \ end {alinear*}\]

Ley de Hooke y manantiales

La Ley de Hooke establece que la fuerza requerida para comprimir o estirar unas\(x\) unidades de resorte desde su longitud natural es proporcional a\(x\); es decir, esta fuerza es\(F(x) = kx\) para alguna constante\(k\). Por ejemplo, si una fuerza de 1 N estira un resorte dado 2 cm, entonces una fuerza de 5 N estirará el resorte 10 cm. Al convertir las distancias a metros, tenemos que estirar este resorte 0.02 m requiere una fuerza de\(F(0.02) = k(0.02) = 1\) N, de ahí\(k = \frac{1}{0.02} = 50\) N/m.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Computing work performed: stretching a spring

Una fuerza de 20 lb estira un resorte de una longitud natural de 7 pulgadas a una longitud de 12 pulgadas. ¿Cuánto trabajo se realizó para estirar el resorte a esta longitud?

Solución

En muchos sentidos, no nos preocupa en absoluto la longitud real del resorte, solo por la cantidad de su cambio. Por lo tanto, no nos importa que 20 lb de fuerza estire el resorte a una longitud de 12 pulgadas, sino que una fuerza de 20 lb estire el resorte 5 in. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\); solo medimos el cambio en la longitud del resorte, no la longitud total del resorte.

Figura\(\PageIndex{1}\): Ilustrando los aspectos importantes del estiramiento de un resorte en el trabajo de computación en Ejemplo\(\PageIndex{4}\).

Convertir las unidades de longitud en pies, tenemos

\[F\left(\tfrac{5}{12}\right) = \tfrac{5}{12}k = 20\ \text{lb}. \nonumber\]

Así\(k = 48\) lb/ft y\(F(x) = 48x\).

Calculamos el trabajo total realizado integrando\(F(x)\) de\(x=0\) a\(x=\frac{5}{12}\):

\ [\ begin {align*}
W &=\ int_0^ {5/12} 48x\, dx\\ [4pt]
&= 24x^2\ Big|_0^ {5/12}\\ [4pt]
&=\ frac {25} {6}\ approx 4.1667\,\ text {ft-lb.}
\ end {alinear*}\]

Fluidos de bombeo

Otro ejemplo útil de la aplicación de la integración al trabajo de cómputos viene en el bombeo de fluidos, a menudo ilustrado en el contexto de vaciar un tanque de almacenamiento bombeando el fluido por la parte superior. Esta situación es diferente a nuestros ejemplos anteriores ya que las fuerzas involucradas son constantes. Después de todo, la fuerza requerida para mover un pie cúbico de agua (aproximadamente 62.4 lb) es la misma independientemente de su ubicación en el tanque. Lo que es variable es la distancia que tiene que recorrer el pie cúbico de agua; el agua más cercana a la parte superior recorre menos distancia que el agua en la parte inferior, produciendo menos trabajo.

Figura\(\PageIndex{2}\): Densidades de peso y masa.

Fluido	lb/ft ^3	kg/m ^3
Concreto	150	2400
Fuel Oil	55.46	890.13
Gasolina	45.93	737.22
Yodo	307	4927
Metanol	49.3	791.3
Mercurio	844	1354
Leche	63.6-65.4	1020-1050
Agua	62.4	1000

Demostramos cómo calcular el trabajo total realizado en el bombeo de un fluido desde la parte superior de un tanque en los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Computing work performed: pumping fluids

Un tanque de almacenamiento cilíndrico con un radio de 10 pies y una altura de 30 pies está lleno de agua, que pesa aproximadamente 62.4 lb/ft\(^3\). Calcule la cantidad de trabajo realizado bombeando el agua hasta un punto a 5 pies por encima de la parte superior del tanque.

Solución

Nos referiremos a menudo a la Figura\(\PageIndex{3}\) que ilustra los aspectos sobresalientes de este problema.

Figura\(\PageIndex{3}\): Ilustrando un tanque de agua para calcular el trabajo requerido para vaciarlo en el Ejemplo 7.5.5.

Comenzamos como solemos hacer: particionamos un intervalo en subintervalos. Orientamos nuestro tanque verticalmente ya que esto tiene sentido intuitivo con la base del tanque en\(y=0\). De ahí que la parte superior del agua esté en\(y=30\), lo que significa que estamos interesados en subdividir el\(y\) -intervalo\([0,30]\) en\(n\) subintervalos como

\[0 = y_1 < y_2 < \cdots < y_{n+1} = 30. \nonumber\]

Considera el trabajo\(W_i\) de bombear solo el agua que reside en el\(i\,^\text{th}\) subintervalo, ilustrado en la Figura\(\PageIndex{3}\). La fuerza requerida para mover esta agua es igual a su peso que calculamos como\(\times \) densidad volumétrica. El volumen de agua en este subintervalo es\(V_i = 10^2\pi \Delta y_i\); su densidad es\(62.4\) lb/ft\(^3\). Por lo tanto, la fuerza requerida es\(6240\pi\Delta y_i\) lb.

Aproximamos la distancia a la que se aplica la fuerza usando cualquier\(y\) -valor contenido en el\(i\,^\text{th}\) subintervalo; por simplicidad, usamos arbitrariamente\(y_i\) por ahora (no importará más adelante). El agua se bombeará a un punto 5 pies por encima de la parte superior del tanque, es decir, a la altura de\(y=35\) ft. Así, la distancia que\(y_i\) recorre el agua a la altura es de\(35-y_i\) pies.

En total, el trabajo aproximado\(W_i\) realizado en mover el agua en el\(i\,^\text{th}\) subintervalo a un punto a 5 pies por encima del tanque es

\[W_i \approx 6240\pi\Delta y_i(35-y_i). \nonumber\]

Para aproximar el trabajo total realizado en el bombeo de toda el agua del tanque, sumamos todo el trabajo\(W_i\) realizado en el bombeo del agua de cada uno de los\(n\) subintervalos de\([0,30]\):

\[W \approx \sum_{i=1}^n W_i = \sum_{i=1}^n 6240\pi\Delta y_i(35-y_i). \nonumber\]

Se trata de una suma de Riemann. Tomando el límite a medida que la longitud del subintervalo va a 0 da

\ [\ begin {align*}
W &=\ int_0^ {30} 6240\ pi (35-y)\, dy\\ [4pt]
&= 6240\ pi\ left (35y-\ tfrac {1} {2} y^2\ derecha)\ Big|_0^ {30}\\ [4pt]
&= 11,762,123\,\ text {ft-lb}\\ [4pt]
&\ aprox 1.176\ veces 10^7\,\ text {ft-lb}.
\ end {alinear*}\]

Podemos “agilizar” un poco el proceso anterior ya que ahora podemos reconocer cuáles son las características importantes del problema. La figura\(\PageIndex{4}\) muestra el tanque del Ejemplo\(\PageIndex{5}\) sin el\(i\,^\text{th}\) subintervalo identificado.

Figura\(\PageIndex{4}\): Una ilustración simplificada para el trabajo de computación.

En cambio, simplemente dibujamos un elemento diferencial. Esto ayuda a establecer la altura que debe recorrer una pequeña cantidad de agua junto con la fuerza requerida para moverla (donde la fuerza es la\(\times\) densidad volumétrica).

Demostramos nuevamente los conceptos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Computing work performed - pumping fluids

Un tanque de agua cónico tiene su parte superior a nivel del suelo y su base a 10 pies debajo del suelo. El radio del cono a nivel del suelo es de 2 pies. Se llena con agua que pesa 62.4 lb/ft\(^3\) y se va a vaciar bombeando el agua a una espita a 3 pies sobre el nivel del suelo. Encuentra la cantidad total de trabajo realizado en el vaciado del tanque.

Solución

El tanque cónico se esboza en la Figura\(\PageIndex{5}\). Podemos orientar el tanque de diversas maneras; podríamos dejar\(y=0\) representar la base del tanque y\(y=10\) representar la parte superior del tanque, pero elegimos mantener la convención de la redacción dada en el problema y dejar\(y=0\) representar a nivel del suelo y por lo tanto\(y=-10\) representa el fondo de la tanque. La “altura” real del agua no importa; más bien, nos preocupa la distancia que recorre el agua.

Figura\(\PageIndex{5}\): Una gráfica del tanque cónico de agua en el Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

La figura también esboza un elemento diferencial, un círculo transversal. El radio de este círculo es variable, dependiendo de\(y\). Cuando\(y=-10\), el círculo tiene radio 0; cuando\(y=0\), el círculo tiene radio 2. Estos dos puntos,\((-10,0)\) y\((0,2)\), nos permiten encontrar la ecuación de la línea que da el radio del círculo transversal, que es\(r(y) = \tfrac{1}{5}y+2\). De ahí que el volumen de agua a esta altura sea\(V(y)=\pi(\tfrac{1}{5}y+2)^2\, dy\), donde\(dy\) representa una altura muy pequeña del elemento diferencial. La fuerza requerida para mover el agua en altura\(y\) es\(F(y) = 62.4\times V(y)\).

La distancia que\(y\) recorre el agua en altura viene dada por\(h(y)=3-y\). Así, el trabajo total realizado en el bombeo del agua del tanque es

\ [\ begin {align*}
%W &=\ int_ {-10} ^0 F (y) h (y)\, dy\\ [4pt]
W &=\ int_ {-10} ^0 62.4\ pi (\ tfrac {1} {5} y+2) ^2 (3-y)\, dy\\ [4pt]
&= 62.4\ pi\ int_ {-10} 0\ izquierda (-\ tfrac1 {25} y^3-\ tfrac {17} {25} y^2-\ tfrac85y+12\ derecha)\, dy\\ [4pt]
&= 62.2\ pi\ cdot\ frac { 220} {3}\ aprox 14,376\,\ texto {ft-lb.}
\ end {alinear*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Computing work performed - pumping fluids

Una piscina rectangular mide 20 pies de ancho y tiene un “extremo poco profundo” de 3 pies y un “extremo profundo” de 6 pies. Es tener su agua bombeada a un punto 2 pies por encima de la parte superior actual del agua.

Las dimensiones transversales del agua en la alberca se dan en la Figura\(\PageIndex{6}\); tenga en cuenta que las dimensiones son para el agua, no para la piscina misma. Calcular la cantidad de trabajo realizado en el drenaje de la piscina.

Figura\(\PageIndex{6}\): La sección transversal de una piscina llena de agua en el Ejemplo\(\PageIndex{7}\).

Solución

A los efectos de este problema elegimos establecer\(y=0\) para representar el fondo de la piscina, es decir, la parte superior del agua está en\(y=6\).

Figura\(\PageIndex{7}\): Orientar la piscina y mostrar elementos diferenciales para Ejemplo\(\PageIndex{7}\).

La figura\(\PageIndex{7}\) muestra la piscina orientada con este\(y\) eje, junto con 2 elementos diferenciales ya que la piscina debe dividirse en dos regiones diferentes.

La región superior se encuentra en el\(y\) -intervalo de\([3,6]\), donde la longitud del elemento diferencial es\(25\) ft como se muestra. Como la piscina tiene 20 pies de ancho, este elemento diferencial representa una porción de agua con volumen\(V(y) = 20\cdot25\cdot dy\). El agua se debe bombear a una altura de\(y=8\), por lo que la función de altura es\(h(y) = 8-y\). El trabajo realizado en el bombeo de esta región superior de agua es

\[W_t = 62.4\int_3^6 500(8-y) \, dy = 327,600 \, \text{ ft-lb}. \nonumber\]

La región inferior se encuentra en el\(y\) -intervalo de\([0,3]\); necesitamos calcular la longitud del elemento diferencial en este intervalo.

Un extremo del elemento diferencial está en\(x=0\) y el otro está a lo largo del segmento de línea que une los puntos\((10,0)\) y\((15,3)\). La ecuación de esta línea es\(y= \tfrac{3}{5}(x-10)\); como vamos a estar integrando con respecto a\(y\), reescribimos esta ecuación como\(x=\tfrac{5}{3}y+10\). Entonces la longitud del elemento diferencial es una diferencia de\(x\) -valores:\(x=0\) y\(x=\tfrac{5}{3}y+10\), dando una longitud de\(x=\tfrac{5}{3}y+10\).

Nuevamente, como la piscina tiene 20 pies de ancho, este elemento diferencial representa una fina porción de agua con volumen\(V(y) = 20\cdot(\tfrac{5}{3}y+10)\cdot dy\); la función de altura es la misma que antes en\(h(y)=8-y\). El trabajo realizado en el vaciado de esta parte de la alberca es

\[W_b = 62.4\int_0^3 20(\tfrac{5}{3}y+10)(8-y) \, dy = 299,520 \, \text{ft-lb}. \nonumber\]

El trabajo total en vaciar la alberca es

\[W = W_b+W_t = 327,600+299,520 = 627,120 \, \text{ft-lb}. \nonumber\]

Observe cómo el vaciado del fondo de la piscina realiza casi tanto trabajo como vaciar la parte superior. La porción superior recorre una distancia más corta pero tiene más agua. Al final, esta agua extra produce más trabajo.

La siguiente sección introduce una aplicación final de la integral definida, el cálculo de la fuerza del fluido sobre una placa.

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