8.2: Serie Infinita

Dada la secuencia\(\{a_n\} = \{1/2^n\} = 1/2,\ 1/4,\ 1/8,\ \ldots\), considere las siguientes sumas:

\ [\ begin {array} {ccccc}
a_1 &=& 1/2 &=& 1/2\
a_1+a_2 &=& 1/2+1/4 &=& 3/4\\
a_1+a_2+a_3 &=& 1/2+1/4+1/8 &=& 7/8\
a_1+a_2+a_2+a_3+a_4 &=& 1/2+1/4+1/8+1/16 & =& 15/16
\ end {array}]

En general, podemos demostrar que

\[a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n = \frac{2^n-1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}.\]

\(S_n\)Sea la suma de los primeros\(n\) términos de la secuencia\(\{1/2^n\}\). De lo anterior, vemos eso\(S_1=1/2\),\(S_2 = 3/4\), etc. Nuestra fórmula al final lo demuestra\(S_n = 1-1/2^n\).

Ahora considere el siguiente límite:

\[\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\big(1-1/2^n\big) = 1.\]

Este límite puede interpretarse como decir algo asombroso: la suma de todos los términos de la secuencia\(\{1/2^n\}\) es 1.} Este ejemplo ilustra algunos conceptos interesantes que exploramos en esta sección. Comenzamos esta exploración con algunas definiciones.

Definición 31: Serie Infinita,\(n^\text{th}\) Partial Sums, Convergence, Divergence

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia.

1. La suma\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) es una serie infinita (o, simplemente serie).
2. Let\( S_n = \sum\limits_{i=1}^n a_i\); la secuencia\(\{S_n\}\) es la secuencia de sumas\(n^\text{th}\) parciales de\(\{a_n\}\).
3. Si la secuencia\(\{S_n\}\) converge a\(L\), decimos que la serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge a\(L\), y escribimos\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = L\).
4. Si la secuencia\(\{S_n\}\) diverge, la serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) diverge.

Usando nuestra nueva terminología, podemos afirmar que la serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty 1/2^n\) converge, y\( \sum\limits_{n=1}^\infty 1/2^n = 1.\)

Exploraremos una variedad de series en esta sección. Comenzamos con dos series que divergen, mostrando cómo podríamos discernir la divergencia.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Showing series diverge

1. Vamos\(\{a_n\} = \{n^2\}\). Mostrar\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) divergencias.
2. Vamos\(\{b_n\} = \{(-1)^{n+1}\}\). Mostrar\( \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) divergencias.

Solución

1. Considerar\(S_n\), la suma\(n^\text{th}\) parcial. \[\begin{align*} S_n &= a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \\ &= 1^2+2^2+3^2\cdots + n^2.\end{align*}\]Por Teorema 37, esto es\[= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]\( \lim\limits_{n\to\infty}S_n = \infty\) Since, concluimos que la serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty n^2\) diverge. Es instructivo escribir\( \sum\limits_{n=1}^\infty n^2=\infty\) para esto nos dice cómo diverge la serie: crece sin ataduras.
   
   Un diagrama de dispersión de las secuencias\(\{a_n\}\) y\(\{S_n\}\) se da en la Figura 8.7 (a). Los términos de\(\{a_n\}\) están creciendo, por lo que los términos de las sumas parciales\(\{S_n\}\) están creciendo aún más rápido, lo que ilustra que la serie diverge.
   
2. La secuencia\(\{b_n\}\) comienza con 1,\(-1\), 1,\(-1\),\(\ldots\). Consideremos algunas de las sumas parciales\(S_n\) de\(\{b_n\}\):\[\begin{align*}S_1 &= 1\\S_2 &= 0\\S_3 &= 1\\S_4 &= 0\end{align*}\] Este patrón se repite; encontramos que\(S_n = \left\{\begin{array}{cc} 1 & n \text{ is odd}\\ 0 & n \text{ is even} \end{array}\right.\)
   
   As\(\{S_n\}\) oscila, repitiendo 1, 0, 1, 0,\(\ldots\), concluimos que\( \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) no existe, de ahí\( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\) diverge.
   
   En la Figura 8.7 (b)\(\{S_n\}\) se da un gráfico de dispersión de la secuencia\(\{b_n\}\) y las sumas parciales. Cuando\(n\) es impar,\(b_n = S_n\) por lo que las marcas para\(b_n\) se dibujan sobredimensionadas para mostrar que coinciden.

Figura 8.7: Gráficas de dispersión relacionadas con el Ejemplo 8.2.1.

Si bien es importante reconocer cuándo diverge una serie, generalmente nos interesa más las series que convergen. En esta sección demostraremos algunas técnicas generales para determinar la convergencia; secciones posteriores profundizarán en este tema.

Serie Geométrica

Un tipo importante de serie es una serie geométrica.

Definición 32: serie geométrica

Una serie geométrica es una serie de la forma

\[\sum\limits_{n=0}^\infty r^n = 1+r+r^2+r^3+\cdots+r^n+\cdots\]

Tenga en cuenta que el índice comienza en\(n=0\), no\(n=1\).

Empezamos esta sección con una serie geométrica, aunque bajamos el primer término de\(1\). Una razón por la que las series geométricas son importantes es que tienen buenas propiedades de convergencia.

teorema 60: convergencia de series geométricas

Considera la serie geométrica\( \sum\limits_{n=0}^\infty r^n\).

1. La suma\(n^\text{th}\) parcial es:\( S_n = \frac{1-r\,^{n+1}}{1-r}\).
2. La serie converge si, y solo si,\(|r| < 1\). Cuando\(|r|<1\),
   \[\sum\limits_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}.\]

Según el Teorema 60, la serie

\[ \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} =\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac 12\right)^2= 1+\frac12+\frac14+\cdots\]

converge como\(r=1/2\), y\( \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-1/2} = 2.\) Esto concuerda con nuestro ejemplo introductorio; mientras ahí obtuvimos una suma de 1, nos saltamos el primer término de 1.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Exploring geometric series

Verifique la convergencia de las siguientes series. Si la serie converge, encuentra su suma.

\(1. \sum\limits_{n=2}^\infty \left(\frac34\right)^n \qquad 2. \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n \qquad 3. \sum\limits_{n=0}^\infty 3^n\)

Solución

Figura 8.8: Gráficas de dispersión relacionadas con la serie en el Ejemplo 8.2.2

1. Ya que\(r=3/4<1\), esta serie converge. Por Teorema 60, tenemos que\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac34\right)^n = \frac{1}{1-3/4} = 4.\] Sin embargo, anotar el subíndice de la suma en la serie dada: estamos para empezar\(n=2\). Por lo tanto restamos los dos primeros términos, dando:\[\sum\limits_{n=2}^\infty \left(\frac34\right)^n = 4 - 1 - \frac34 = \frac94.\] Esto se ilustra en la Figura 8.8.
   
2. Ya que\(|r| = 1/2 < 1\), esta serie converge, y por Teorema 60,\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-(-1/2)} = \frac23.\]
   
   Las sumas parciales de esta serie se trazan en la Figura 8.9 (a). Observe cómo las sumas parciales no están aumentando puramente ya que algunos de los términos de la secuencia\(\{(-1/2)^n\}\) son negativos.
   
3. Ya que\(r>1\), la serie diverge. (Esto tiene “sentido común”; esperamos que la suma\[1+3+9+27 + 81+243+\cdots\] diverja.) Esto se ilustra en la Figura 8.9 (b).

Figura 8.9: Gráficas de dispersión relativas a la serie en el Ejemplo 8.2.2.

Serie P

Otro tipo importante de serie es la serie p.

Definición 33:\(p\)-Series, General \(P\)-Series

1. A\(p\) —series es una serie de la forma\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}, \qquad \text{where \(p>0\).}\]
2. Una\(p\) —serie general} es una serie de la forma
   \[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(an+b)^p}, \qquad \text{where \(p>0\) and \(a\), \(b\) are real numbers.}\]

Al igual que las series geométricas, una de las cosas buenas de la serie p es que tienen propiedades de convergencia fáciles de determinar.

teorema 61: convergencia de general\(P\)--Series

Una\(p\) serie general\( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(an+b)^p}\) convergerá si, y solo si,\(p>1\).

Nota: El teorema 61 asume que\(an+b\neq 0\) para todos\(n\). Si\(an+b=0\) para algunos\(n\), entonces por supuesto la serie no converge independientemente\(p\) ya que no se definen todos los términos de la secuencia.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Determining convergence of series

Determinar la convergencia de las siguientes series.

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \)
2. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)
3. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\)
4. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\)
5. \(\sum\limits_{n=11}^\infty \frac{1}{(\frac12n-5)^3}\)
6. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \)

Solución

1. Esta es\(p\) una serie con\(p=1\). Por Teorema 61, esta serie diverge.
   Esta serie es una famosa serie, llamada la Serie Armónica, llamada así por su relación con los armónicos en el estudio de la música y el sonido.
2. Esta es\(p\) una serie con\(p=2\). Por Teorema 61, converge. Obsérvese que el teorema no da una fórmula mediante la cual podamos determinar a qué converge la serie; solo sabemos que converge. Un resultado famoso e inesperado es al que converge esta serie\( {\pi^2}/{6}\).
3. Se trata de una\(p\) —serie con\(p=1/2\); el teorema afirma que diverge.
4. Esta no es una\(p\) serie —; la definición no permite alternar signos. Por lo tanto no podemos aplicar el Teorema 61. (Otro resultado famoso afirma que esta serie, la Serie Armónica Alternante, converge a\(\ln 2\).)
5. Se trata de una\(p\) serie general con\(p=3\), por lo tanto converge.
6. Esta no es una\(p\) —serie, sino una serie geométrica con\(r=1/2\). Converge.

Secciones posteriores proporcionarán pruebas mediante las cuales podremos determinar si una serie determinada converge o no. Esto, en general, es mucho más fácil que determinar a qué converge una serie dada. Sin embargo, hay muchos casos en los que se puede determinar la suma.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Telescoping series

Evaluar la suma\( \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\).

Solución

Ayudará anotar algunas de las primeras sumas parciales de esta serie.

\ [\ begin {align*}
S_1 &=\ frac11-\ frac12 & & = 1-\ frac12\\
S_2 &=\ izquierda (\ frac11-\ frac12\ derecha) +\ izquierda (\ frac12-\ frac13\ derecha) & & = 1-\ frac13\
S_3 &=\ izquierda (\ frac11-\ frac12\ derecha) +\ izquierda (frac12\ izquierda-\ frac13\ derecha) +\ izquierda (\ frac13-\ frac14\ derecha) & amp; &= 1-\ frac14\\
S_4 &=\ izquierda (\ frac11-\ frac12\ derecha) +\ izquierda (\ frac12-\ frac13\ derecha) +\ izquierda (\ frac13-\ frac14\ derecha) +\ izquierda (\ frac14-\ frac15\ derecha) & &= 1-\ frac15
\ end {align*}\]

¡Observe cómo se cancelan la mayoría de los términos en cada suma parcial! En general, eso lo vemos\( S_n = 1-\frac{1}{n+1}\). La secuencia\(\{S_n\}\) converge, como\( \lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right) = 1\), y así concluimos que\( \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) = 1\). Las sumas parciales de las series se representan en la Figura 8.10.

Figura 8.10: Gráficas de dispersión relativas a la serie del Ejemplo 8.2.4.

La serie del Ejemplo 8.2.4 es un ejemplo de una serie telescópica. Informalmente, una serie telescópica es aquella en la que las sumas parciales se reducen a solo un número finito de términos. La suma parcial\(S_n\) no contenía\(n\) términos, sino más bien dos: 1 y\(1/(n+1)\).

Cuando sea posible, buscar una manera de escribir una fórmula explícita para la suma\(n^\text{th}\) parcial\(S_n\). Esto hace que evaluar el límite sea\( \lim\limits_{n\to\infty} S_n\) mucho más accesible. Lo hacemos en el siguiente ejemplo.

Nota sobre notación: La mayoría de las series con las que nos encontremos comenzarán\(n=1\). Para facilitar la notación, a menudo escribiremos\(\sum\limits a_n\) en lugar de escribir\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Evaluating series

Evalúa cada una de las siguientes series infinitas.

1. \( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2+2n} \qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\)

Solución

1. Podemos descomponer la fracción\(2/(n^2+2n)\) como\[\frac2{n^2+2n} = \frac1n-\frac1{n+2}.\] (Ver Sección 6.5, Descomposición parcial de la fracción, para recordar cómo se hace esto, si es necesario.)
   Expresar los términos de ahora\(\{S_n\}\) es más instructivo: Nuevamente
   \[\begin{align*}S_1 &= 1-\frac13 &&= 1-\frac13\\S_2 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right) &&= 1+\frac12-\frac13-\frac14\\S_3 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right) &&= 1+\frac12-\frac14-\frac15\\S_4 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac14-\frac16\right) &&= 1+\frac12-\frac15-\frac16\\S_5 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac14-\frac16\right)+\left(\frac15-\frac17\right) &&= 1+\frac12-\frac16-\frac17\\\end{align*}\]
   
   tenemos una serie telescópica. En cada suma parcial, la mayoría de los términos cancelan y obtenemos la fórmula\( S_n = 1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}.\) Tomar límites nos permite determinar la convergencia de la serie:\[\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right) = \frac32,\quad \text{so } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2+2n} = \frac32.\]
   
   Esto se ilustra en la Figura 8.11 (a).
   
2. Comenzamos por escribir las primeras sumas parciales de la serie:
   \[\begin{align*}S_1 &= \ln\left(2\right) \\S_2 &= \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right) \\S_3 &= \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right)+\ln\left(\frac43\right) \\S_4 &= \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right)+\ln\left(\frac43\right)+\ln\left(\frac54\right) \end{align*}\]
   
   Al principio, esto no parece útil, pero recordamos la identidad logarítmica:\(\ln x+\ln y = \ln (xy).\) Aplicando esto a\(S_4\) da:\[S_4 = \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right)+\ln\left(\frac43\right)+\ln\left(\frac54\right) = \ln\left(\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54\right) = \ln\left(5\right).\]
   
   Podemos concluir que\(\{S_n\} = \big\{\ln (n+1)\big\}\). Esta secuencia no converge, como\( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\infty\). Por lo tanto\( \sum\limits_{n=1}^\infty \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)=\infty\), la serie diverge. Obsérvese en la Figura 8.11 (b) cómo la secuencia de sumas parciales crece lentamente; después de 100 términos, aún no es superior a 5. Gráficamente podemos ser engañados para pensar que la serie converge, pero nuestro análisis anterior muestra que no lo hace.

Figura 8.11: Gráficas de dispersión relacionadas con la serie en el Ejemplo 8.2.5

Estamos aprendiendo sobre un nuevo objeto matemático, la serie. Como se hizo antes, aplicamos matemáticas “viejas” a este nuevo tema.

TEORAMA 62 PROPIEDADES DE LA SERIE

Dejar\(\quad \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = L,\quad \sum\limits_{n=1}^\infty b_n = K\), y dejar que\(c\) sea una constante.

1. Regla Múltiple Constante:\( \sum\limits_{n=1}^\infty c\cdot a_n = c\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = c\cdot L.\)
2. Regla de Suma/Diferencia:\( \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n\pm b_n\big) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \pm \sum\limits_{n=1}^\infty b_n = L \pm K.\)

Antes de usar este teorema, proporcionamos algunas series “famosas”.

KEY IDEA 31 SERIE IMPOR

1. \( \sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{n!} = e\). (Tenga en cuenta que el índice comienza con\(n=0\).)
2. \( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).
3. \( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}\).
4. \( \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\).
5. \( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \quad \text{diverges}\). (Esto se llama la Serie Armónica.)
6. \( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\). (Esto se llama Serie Armónica Alternante.)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Evaluating series

Evaluar las series dadas.

\(1. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\big(n^2-n\big)}{n^3}\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1000}{n!}\qquad 3. \frac1{16}+\frac1{25}+\frac1{36}+\frac1{49}+\cdots\)

Solución

1. Comenzamos usando álgebra para romper la serie:
   \[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\big(n^2-n\big)}{n^3} &= \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^{n+1}n^2}{n^3}-\frac{(-1)^{n+1}n}{n^3}\right) \\&= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \\&= \ln(2) - \frac{\pi^2}{12} \approx -0.1293.\end{align*}\]
   Esto se ilustra en la Figura 8.12 (a).
   
2. Esto se ve muy similar a la serie que involucra\(e\) en Key Idea 31. Obsérvese, sin embargo, que la serie dada en este ejemplo empieza con\(n=1\) y no\(n=0\). El primer término de la serie en la Idea Clave es\(1/0! = 1\), por lo que restaremos esto de nuestro resultado a continuación:
   \[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1000}{n!} &= 1000\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \\ &= 1000\cdot (e-1) \approx 1718.28. \end{align*}\]
   
   Esto se ilustra en la Figura 8.12 (b). El gráfico muestra cómo esta serie en particular converge muy rápidamente.
   
3. Los denominadores en cada término son cuadrados perfectos; estamos sumando\( \sum\limits_{n=4}^\infty \frac{1}{n^2}\) (nota con la que empezamos\(n=4\), no\(n=1\)). Esta serie convergerá. Usando la fórmula de Key Idea 31, tenemos lo siguiente:
   \[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} &= \sum\limits_{n=1}^3 \frac1{n^2} +\sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} - \sum\limits_{n=1}^3 \frac1{n^2} &=\sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \frac{\pi^2}{6} - \left(\frac11+\frac14+\frac19\right) &= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \frac{\pi^2}{6} - \frac{49}{36} &= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ 0.2838&\approx \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \end{align*}\]

Figura 8.12: Gráficas de dispersión relacionadas con la serie en el Ejemplo 8.2.6

Puede pasar un tiempo antes de que uno se sienta cómodo con esta afirmación, cuya verdad se encuentra en el corazón del estudio de las series infinitas: es posible que la suma de una lista infinita de números distintos de cero sea finita. Esto lo hemos visto repetidamente en esta sección, sin embargo todavía puede “tomar algo acostumbrarse”.

A medida que se contempla el comportamiento de las series, se aclaran algunos hechos.

1. Para agregar una lista infinita de números distintos de cero y obtener un resultado finito, “la mayoría” de esos números deben estar “muy cerca” 0.
2. Si una serie diverge, significa que la suma de una lista infinita de números no es finita (puede acercarse\(\pm \infty\) o puede oscilar), y:
   1. La serie seguirá divergiendo si se elimina el primer término.
   2. La serie seguirá divergiendo si se eliminan los primeros 10 términos.
   3. La serie seguirá divergiendo si se eliminan los primeros\(1,000,000\) términos.
   4. La serie seguirá divergiendo si se elimina cualquier número finito de términos de cualquier parte de la serie.

Estos conceptos son muy importantes y se encuentran en el centro de los dos teoremas siguientes.

teorema 63\(n^\text{th}\)--Term Test for Convergence/Divergence

Considera la serie\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\).

1. Si\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge, entonces\( \lim\limits_{n\to\infty}a_n =0\).
2. Si\( \lim\limits_{n\to\infty}a_n \neq 0\), entonces\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) diverge.

Tenga en cuenta que las dos afirmaciones en el Teorema 63 son realmente las mismas. Para converger, el límite de los términos de la secuencia debe acercarse a 0; si no lo hacen, la serie no convergerá.

Mirando hacia atrás, podemos aplicar este teorema a la serie en el Ejemplo 8.2.1. En ese ejemplo, los\(n^\text{th}\) términos de ambas secuencias no convergen a 0, por lo tanto podemos concluir rápidamente que cada serie diverge.

¡Importante! Este teorema no establece que si\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\) entonces\( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \) converge. El ejemplo estándar de esto es la Serie Armónica, como se da en Key Idea 31. La secuencia armónica,\(\{1/n\}\), converge a 0; la serie armónica,\( \sum\limits_{n=1}^\infty 1/n\), diverge.

teorema 64 naturaleza infinita de la serie

La convergencia o divergencia permanece inalterada por la suma o resta de cualquier número finito de términos. Es decir:

1. Una serie divergente seguirá siendo divergente con la suma o resta de cualquier número finito de términos.
2. Una serie convergente seguirá siendo convergente con la suma o resta de cualquier número finito de términos. (Por supuesto, la suma probablemente cambiará).

Consideremos una vez más la Serie Armónica\( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n\) que diverge; es decir, la secuencia de sumas parciales\(\{S_n\}\) crece (muy, muy lentamente) sin ataduras. Se podría pensar que al eliminar los términos “grandes” de la secuencia tal vez la serie converja. Esto simplemente no es el caso. Por ejemplo, la suma de los primeros 10 millones de términos de la Serie Armónica es de aproximadamente 16.7. Eliminar los primeros 10 millones de términos de la Serie Armónica cambia las sumas\(n^\text{th}\) parciales, restando efectivamente 16.7 de la suma. Sin embargo, una secuencia que está creciendo sin ligada seguirá creciendo sin atarse cuando se le resta 16.7.

Las ecuaciones siguientes ilustran esto. La primera línea muestra la suma infinita de la Serie Armónica dividida en la suma de los primeros 10 millones de términos más la suma de “todo lo demás”. La siguiente ecuación nos muestra restando estos primeros 10 millones de términos de ambos lados. La ecuación final emplea un poco de “psuedo—matemática”: restar 16.7 del “infinito” todavía deja uno con “infinito”.

\[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n &= \sum\limits_{n=1}^{10,000,000}\frac1n \quad + \sum\limits_{n=10,000,001}^\infty \frac1n \\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n - \sum\limits_{n=1}^{10,000,000}\frac1n &= \sum\limits_{n=10,000,001}^\infty \frac1n \\ \infty - 16.7 &= \infty.\end{align*} \]

Esta sección nos introdujo a las series y definió algunos tipos especiales de series cuyas propiedades de convergencia son bien conocidas: sabemos cuando una\(p\) serie -o una serie geométrica converge o diverge. La mayoría de las series que encontramos no son de estos tipos, pero aún nos interesa saber si convergen o no. Las siguientes tres secciones introducen pruebas que nos ayudan a determinar si una serie determinada converge o no.

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