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# 2.5E: Ejercicios para la Sección 2.5

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, escribir la$$ε − δ$$ definición apropiada para cada una de las declaraciones dadas.

1)$$\displaystyle \lim_{x →a}f(x)=N$$

2)$$\displaystyle \lim_{t →b}g(t)=M$$

Contestar
Por cada$$ε >0$$, existe una$$δ >0$$, de modo que si$$0 <|t −b| < δ$$, entonces$$|g(t) −M| < ε$$

3)$$\displaystyle \lim_{x →c}h(x)=L$$

4)$$\displaystyle \lim_{x →a} φ(x)=A$$

Contestar
Por cada$$ε >0$$, existe una$$δ >0$$, de modo que si$$0 <|x −a| < δ$$, entonces$$| φ(x) −A| < ε$$

La siguiente gráfica de la función$$f$$ satisface$$\displaystyle \lim_{x →2}f(x)=2$$. En los siguientes ejercicios, determinar un valor de$$δ >0$$ que satisfaga cada enunciado.

0. Es una función ascendente cóncava creciente, con puntos aproximadamente (0,0), (1, .5), (2,2) y (3,4)." style="width: 417px; height: 422px;" width="417px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_204.jpeg">

5) Si$$0 <|x −2| < δ$$, entonces$$|f(x) −2| <1$$.

6) Si$$0 <|x −2| < δ$$, entonces$$|f(x) −2| <0.5$$.

Contestar
$$δ ≤0.25$$

La siguiente gráfica de la función$$f$$ satisface$$\displaystyle \lim_{x →3}f(x)= −1$$. En los siguientes ejercicios, determinar un valor de$$δ >0$$ que satisfaga cada enunciado.

= 0." style="width: 417px; height: 422px;" width="417px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_205.jpeg">

7) Si$$0 <|x −3| < δ$$, entonces$$|f(x)+1| <1$$.

8) Si$$0 <|x −3| < δ$$, entonces$$|f(x)+1| <2$$.

Contestar
$$δ ≤2$$

La siguiente gráfica de la función$$f$$ satisface$$\displaystyle \lim_{x →3}f(x)=2$$. En los siguientes ejercicios, por cada valor de$$ε$$, encontrar un valor de$$δ >0$$ tal manera que la definición precisa de límite sea cierta.

9)$$ε=1.5$$

10)$$ε=3$$

Contestar
$$δ ≤1$$

[T] En los ejercicios 11 a 12, usa una calculadora gráfica para encontrar un número$$δ$$ tal que las afirmaciones sean verdaderas.

11)$$\left|\sin(2x) −\frac{1}{2}\right| <0.1$$, siempre que$$\left|x −\frac{ π}{12}\right| < δ$$

12)$$\left|\sqrt{x −4} −2\right| <0.1$$, siempre que$$|x −8| < δ$$

Contestar
$$δ <0.3900$$

En los ejercicios 13 - 17, utilizar la definición precisa de límite para probar los límites dados.

13)$$\displaystyle \lim_{x →2}\,(5x+8)=18$$

14)$$\displaystyle \lim_{x →3}\frac{x^2 −9}{x −3}=6$$

Contestar
Vamos$$δ= ε$$. Si$$0 <|x −3| < ε$$, entonces$$\left|\dfrac{x^2 −9}{x −3} - 6\right| = \left|\dfrac{(x+3)(x −3)}{x −3} - 6\right| = |x+3 −6|=|x −3| < ε$$.

15)$$\displaystyle \lim_{x →2}\frac{2x^2 −3x −2}{x −2}=5$$

16)$$\displaystyle \lim_{x →0}x^4=0$$

Contestar
Vamos$$δ=\sqrt[4]{ ε}$$. Si$$0 <|x| <\sqrt[4]{ ε}$$, entonces$$\left|x^4-0\right|=x^4 < ε$$.

17)$$\displaystyle \lim_{x →2}\,(x^2+2x)=8$$

En los ejercicios 18 - 20, utilice la definición precisa de límite para probar los límites unilaterales dados.

18)$$\displaystyle \lim_{x →5^ −}\sqrt{5 −x}=0$$

Contestar
Vamos$$δ= ε^2$$. Si$$- ε^2 < x - 5 < 0,$$ podemos multiplicar por$$-1$$ para obtener$$0 <5-x < ε^2.$$
Entonces$$\left|\sqrt{5 −x} - 0\right|=\sqrt{5 −x} < \sqrt{ ε^2} = ε$$.

19)$$\displaystyle \lim_{x →0^+}f(x)= −2$$, donde$$f(x)=\begin{cases}8x −3, & \text{if }x <0\\4x −2, & \text{if }x ≥0\end{cases}$$.

20)$$\displaystyle \lim_{x →1^ −}f(x)=3$$, donde$$f(x)=\begin{cases}5x −2, & \text{if }x <1\\7x −1, & \text{if }x ≥1\end{cases}$$.

Contestar
Vamos$$δ= ε/5$$. Si$$− ε/5 < x - 1 <0,$$ podemos multiplicar por$$-1$$ para llegar$$0 <1-x < ε/5.$$
Entonces$$|f(x) −3|=|5x-2-3| = |5x −5| = 5(1-x),$$ desde$$x <1$$ aquí.
Y$$5(1-x) < 5( ε/5) = ε$$.

En los ejercicios 21 - 23, utilizar la definición precisa de límite para probar los límites infinitos dados.

21)$$\displaystyle \lim_{x →0}\frac{1}{x^2}= ∞$$

22)$$\displaystyle \lim_{x → −1}\frac{3}{(x+1)^2}= ∞$$

Contestar
Vamos$$δ=\sqrt{\frac{3}{N}}$$. Si$$0 <|x+1| <\sqrt{\frac{3}{N}}$$, entonces$$f(x)=\frac{3}{(x+1)^2} >N$$.

23)$$\displaystyle \lim_{x →2} −\frac{1}{(x −2)^2}= − ∞$$

24) Un ingeniero está utilizando una máquina para cortar un cuadrado plano de Aerogel de área$$144 \,\text{cm}^2$$. Si hay una tolerancia máxima a errores en el área de$$8 \,\text{cm}^2$$, ¿con qué precisión debe cortar el ingeniero en el costado, asumiendo que todos los lados tienen la misma longitud? ¿Cómo se relacionan estos números con$$δ$$$$ε$$,$$a$$, y$$L$$?

Contestar
$$0.033 \text{ cm}, \, ε=8,\, δ=0.33,\,a=12,\,L=144$$

25) Utilizar la definición precisa de límite para demostrar que no existe el siguiente límite:$$\displaystyle \lim_{x →1}\frac{|x −1|}{x −1}.$$

26) Utilizando definiciones precisas de límites, demostrar que$$\displaystyle \lim_{x →0}f(x)$$ no existe, dado que$$f(x)$$ es la función de techo. (Pista: Prueba cualquiera$$δ <1$$.)

Contestar
Las respuestas pueden muy.

27) Utilizando definiciones precisas de límites, demostrar que$$\displaystyle \lim_{x →0}f(x)$$ no existe:$$f(x)=\begin{cases}1, & \text{if }x\text{ is rational}\\0, & \text{if }x\text{ is irrational}\end{cases}$$. (Pista: Piensa en cómo puedes elegir siempre un número racional$$0 <d$$, >

28) Utilizando definiciones precisas de límites, determinar$$\displaystyle \lim_{x →0}f(x)$$ para$$f(x)=\begin{cases}x, & \text{if }x\text{ is rational}\\0, & \text{if }x\text{ is irrational}\end{cases}$$. (Pista: Romper en dos casos,$$x$$ racional e$$x$$ irracional.)

Contestar
$$0$$

29) Utilizando la función del ejercicio anterior, utilizar la definición precisa de límites para demostrar que$$\displaystyle \lim_{x →a}f(x)$$ no existe para$$a ≠0$$

Para los ejercicios 30 - 32, supongamos que$$\displaystyle \lim_{x →a}f(x)=L$$ y$$\displaystyle \lim_{x →a}g(x)=M$$ ambos existen. Utilice la definición precisa de límites para probar las siguientes leyes de límites:

30)$$\displaystyle \lim_{x →a}(f(x) −g(x))=L −M$$

Contestar
$$f(x) −g(x)=f(x)+( −1)g(x)$$

31)$$\displaystyle \lim_{x →a}[cf(x)]=cL$$ para cualquier constante real$$c$$ (Pista: Considere dos casos:$$c=0$$ y$$c ≠0$$.)

32)$$\displaystyle \lim_{x →a}[f(x)g(x)]=LM$$. (Pista:$$|f(x)g(x) −LM|= |f(x)g(x) −f(x)M +f(x)M −LM| ≤|f(x)||g(x) −M| +|M||f(x) −L|.)$$

Contestar
Las respuestas pueden variar.

2.5E: Ejercicios para la Sección 2.5 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.