Saltar al contenido principal

2.6: Ejercicios de revisión del capítulo 2

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Verdadero o Falso. En los ejercicios 1 - 4, justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Una función tiene que ser continua en$$x=a$$ si la$$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$$ existe.

2) Se puede utilizar la regla del cociente para evaluar$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}$$.

Responder
Falso, ya que no podemos tener$$\displaystyle \lim_{x→0}x=0$$ en el denominador.

3) Si hay una asíntota vertical en$$x=a$$ para la función$$f(x)$$, entonces$$f$$ es indefinida en el punto$$x=a$$.

4) Si$$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$$ no existe, entonces$$f$$ está indefinido en el punto$$x=a$$.

Responder
Falso. Una discontinuidad de salto es posible.

5) Usando la gráfica, encuentra cada límite o explica por qué no existe el límite.

a.$$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)$$

b.$$\displaystyle \lim_{x→1}f(x)$$

c.$$\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)$$

d.$$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)$$

1, comenzando en el círculo abierto en (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

En los ejercicios 6 - 15, evaluar el límite algebraicamente o explicar por qué no existe el límite.

6)$$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}$$

Responder
$$5$$

7)$$\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4$$

8)$$\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}$$

Responder
$$8/7$$

9)$$\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}$$

10)$$\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}$$

Responder
DNE

11)$$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}$$

12)$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}$$

Responder
$$2/3$$

13)$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}$$

14)$$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}$$

Responder
$$−4$$

15)$$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}$$

En los ejercicios 16 - 17, usa el teorema de squeeze para probar el límite.

16)$$\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0$$

Responder
Desde$$−1≤\cos(2πx)≤1$$ entonces$$−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2$$. Ya que$$\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2$$, se deduce que$$\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0$$.

17)$$\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0$$

18) Determinar el dominio de tal manera que la función$$f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x$$ sea continua sobre su dominio.

Responder
$$[2,∞]$$

En los ejercicios 19 - 20, determinar el valor de$$c$$ tal que la función permanezca continua. Dibuja tu función resultante para asegurar que sea continua.

19)$$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}$$

20)$$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}$$

En los ejercicios 21 - 22, utilizar la definición precisa de límite para probar el límite.

21)$$\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24$$

22)$$\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0$$

Responder
$$δ=\sqrt[3]{ε}$$

23) Se lanza una pelota al aire y la posición vertical viene dada por$$x(t)=−4.9t^2+25t+5$$. Usa el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 segundos después del lanzamiento.

24) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento de acuerdo a la función$$x(t)=t^2−2t+4$$, donde$$x$$ se mide en metros y$$t$$ se mide en segundos. Encuentra la velocidad promedio a lo largo del periodo de tiempo$$t=[0,2]$$.

Responder
$$0$$m/seg

25) A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea a$$t=2$$ comprobando la velocidad promedio en$$t=0.01$$ segundos.

2.6: Ejercicios de revisión del capítulo 2 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.