2.6: Ejercicios de revisión del capítulo 2

Verdadero o Falso. En los ejercicios 1 - 4, justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Una función tiene que ser continua en\(x=a\) si la\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) existe.

2) Se puede utilizar la regla del cociente para evaluar\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}\).

Responder

Falso, ya que no podemos tener\(\displaystyle \lim_{x→0}x=0\) en el denominador.

3) Si hay una asíntota vertical en\(x=a\) para la función\(f(x)\), entonces\(f\) es indefinida en el punto\(x=a\).

4) Si\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) no existe, entonces\(f\) está indefinido en el punto\(x=a\).

Responder

Falso. Una discontinuidad de salto es posible.

5) Usando la gráfica, encuentra cada límite o explica por qué no existe el límite.

a.\(\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)\)

b.\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

c.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

d.\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

1, comenzando en el círculo abierto en (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

En los ejercicios 6 - 15, evaluar el límite algebraicamente o explicar por qué no existe el límite.

6)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}\)

Responder

\(5\)

7)\(\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4\)

8)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}\)

Responder

\(8/7\)

9)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}\)

10)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}\)

Responder

DNE

11)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}\)

12)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}\)

Responder

\(2/3\)

13)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}\)

14)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}\)

Responder

\(−4\)

15)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}\)

En los ejercicios 16 - 17, usa el teorema de squeeze para probar el límite.

16)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\)

Responder

Desde\(−1≤\cos(2πx)≤1\) entonces\(−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2\). Ya que\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2\), se deduce que\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\).

17)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0\)

18) Determinar el dominio de tal manera que la función\(f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x\) sea continua sobre su dominio.

Responder

\([2,∞]\)

En los ejercicios 19 - 20, determinar el valor de\(c\) tal que la función permanezca continua. Dibuja tu función resultante para asegurar que sea continua.

19)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}\)

20)\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}\)

En los ejercicios 21 - 22, utilizar la definición precisa de límite para probar el límite.

21)\(\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24\)

22)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0\)

Responder

\(δ=\sqrt[3]{ε}\)

23) Se lanza una pelota al aire y la posición vertical viene dada por\(x(t)=−4.9t^2+25t+5\). Usa el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 segundos después del lanzamiento.

24) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento de acuerdo a la función\(x(t)=t^2−2t+4\), donde\(x\) se mide en metros y\(t\) se mide en segundos. Encuentra la velocidad promedio a lo largo del periodo de tiempo\(t=[0,2]\).

Responder

\(0\)m/seg

25) A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea a\(t=2\) comprobando la velocidad promedio en\(t=0.01\) segundos.