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LibreTexts Español

3.7: Derivadas de funciones inversas

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Calcular la derivada de una función inversa.
  • Reconocer las derivadas de las funciones trigonométricas inversas estándar.

En esta sección exploramos la relación entre la derivada de una función y la derivada de su inversa. Para funciones cuyas derivadas ya conocemos, podemos usar esta relación para encontrar derivadas de inversos sin tener que usar la definición límite de la derivada. En particular, aplicaremos la fórmula para derivadas de funciones inversas a funciones trigonométricas. Esta fórmula también se puede utilizar para extender la regla de poder a exponentes racionales.

La derivada de una función inversa

Comenzamos por considerar una función y su inversa. Sif(x) es tanto invertible como diferenciable, parece razonable que la inversa de tambiénf(x) sea diferenciable. La figura3.7.1 muestra la relación entre una funciónf(x) y su inversaf1(x). Mira el punto(a,f1(a)) en la gráfica def1(x) tener una línea tangente con una pendiente de

(f1)(a)=pq.

Este punto corresponde a un punto(f1(a),a) en la gráfica def(x) tener una línea tangente con una pendiente de

f(f1(a))=qp.

Así, sif1(x) es diferenciable ena, entonces debe darse el caso de que

(f1)(a)=1f(f1(a)).

Esta gráfica muestra una función f (x) y su inversa f−1 (x). Estas funciones son simétricas sobre la línea y = x. La línea tangente de la función f (x) en el punto (f−1 (a), a) y la línea tangente de la función f−1 (x) en (a, f−1 (a)) también son simétricas alrededor de la línea y = x Específicamente, si la pendiente de una fuera p/q, entonces la pendiente de la otra sería q/p. Por último, su las derivadas también son simétricas alrededor de la línea y = x.
Figura:Las líneas3.7.1 tangentes de una función y su inversa están relacionadas; así también lo están las derivadas de estas funciones.

También podemos derivar la fórmula para la derivada de la inversa recordando primero esox=f(f1(x)). Luego, diferenciando ambos lados de esta ecuación (usando la regla de la cadena a la derecha), obtenemos

1=f(f1(x))(f1)(x)).

Resolviendo para(f1)(x), obtenemos

(f1)(x)=1f(f1(x)).

Resumimos este resultado en el siguiente teorema.

Teorema de la función inversa

Dejarf(x) ser una función que sea a la vez invertible y diferenciable. Dejary=f1(x) ser la inversa def(x). Para todosx satisfactoriosf(f1(x))0,

dydx=ddx(f1(x))=(f1)(x)=1f(f1(x)).

Alternativamente, siy=g(x) es la inversa def(x), entonces

g(x)=1f(g(x)).

Ejemplo3.7.1: Applying the Inverse Function Theorem

Utilice el teorema de la función inversa para encontrar la derivada deg(x)=x+2x. Comparar la derivada resultante con la obtenida diferenciando la función directamente.

Solución

La inversa deg(x)=x+2x esf(x)=2x1.

Usaremos la ecuación\ ref {inverse2} y comenzaremos por encontrarf(x). Por lo tanto,

f(x)=2(x1)2

y

f(g(x))=2(g(x)1)2=2(x+2x1)2=x22.

Por último,

g(x)=1f(g(x))=2x2.

Podemos verificar que esta es la derivada correcta aplicando la regla del cocienteg(x) para obtener

g(x)=2x2.

Ejercicio3.7.1

Utilice el teorema de la función inversa para encontrar la derivada deg(x)=1x+2. Comparar el resultado obtenido diferenciandog(x) directamente.

Pista

Utilice el ejemplo anterior como guía.

Responder

g(x)=1(x+2)2

Ejemplo3.7.2: Applying the Inverse Function Theorem

Utilice el teorema de la función inversa para encontrar la derivada deg(x)=3x.

Solución

La funcióng(x)=3x es la inversa de la funciónf(x)=x3. Ya queg(x)=1f(g(x)), comenzar por encontrarf(x). Por lo tanto,

f(x)=3x2

y

f(g(x))=3(3x)2=3x2/3

Por último,

g(x)=13x2/3.

Si tuviéramos que diferenciarnosg(x) directamente, usando la regla de poder, primero reescribiríamosg(x)=3x como un poder dex para obtener,

g(x)=x1/3

Entonces diferenciaríamos usando la regla de poder para obtener

g(x)=13x2/3=13x2/3.

Ejercicio3.7.2

Encontrar la derivada deg(x)=5x aplicando el teorema de la función inversa.

Pista

g(x)es la inversa def(x)=x5.

Responder

g(x)=15x4/5

Del ejemplo anterior, vemos que podemos usar el teorema de la función inversa para extender la regla de potencia a exponentes de la forma1n, donden es un entero positivo. Esta extensión en última instancia nos permitirá diferenciarxq, dondeq está cualquier número racional.

Extendiendo la regla de poder a exponentes racionales

La regla de poder puede extenderse a exponentes racionales. Es decir, sin es un entero positivo, entonces

ddx(x1/n)=1nx(1/n)1.

Además, sin es un entero positivo ym es un entero arbitrario, entonces

ddx(xm/n)=mnx(m/n)1.

Prueba

La funcióng(x)=x1/n es la inversa de la funciónf(x)=xn. Ya queg(x)=1f(g(x)), comenzar por encontrarf(x). Por lo tanto,

f(x)=nxn1yf(g(x))=n(x1/n)n1=nx(n1)/n.

Por último,

g(x)=1nx(n1)/n=1nx(1n)/n=1nx(1/n)1.

Para diferenciarloxm/n debemos reescribirlo como(x1/n)m y aplicar la regla de la cadena. Por lo tanto,

ddx(xm/n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m11nx(1/n)1=mnx(m/n)1.

Ejemplo3.7.3: Applying the Power Rule to a Rational Power

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica dey=x2/3 atx=8.

Solución

Primerodydx encuéntralo y evalúalo enx=8. Desde

dydx=23x1/3

y

dydx|x=8=13

la pendiente de la línea tangente a la gráfica enx=8 es13.

Sustituyendox=8 a la función original, obtenemosy=4. Así, la línea tangente pasa por el punto(8,4). Sustituyendo en la fórmula de punto-pendiente por una línea, obtenemos la línea tangente

y=13x+43.

Ejercicio3.7.3

Encuentra la derivada des(t)=2t+1.

Pista

Usa la regla de la cadena.

Responder

s(t)=(2t+1)1/2

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Ahora volvemos nuestra atención hacia la búsqueda de derivadas de funciones trigonométricas inversas. Estos derivados resultarán invaluables en el estudio de la integración más adelante en este texto. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son bastante sorprendentes ya que sus derivadas son en realidad funciones algebraicas. Anteriormente, las derivadas de funciones algebraicas han demostrado ser funciones algebraicas y las derivadas de funciones trigonométricas han demostrado ser funciones trigonométricas. Aquí, por primera vez, vemos que la derivada de una función no necesita ser del mismo tipo que la función original.

Ejemplo3.7.4A: Derivative of the Inverse Sine Function

Utilice el teorema de la función inversa para encontrar la derivada deg(x)=sin1x.

Solución

Ya que parax en el intervalo[π2,π2],f(x)=sinx es la inversa deg(x)=sin1x, comenzar por encontrarf(x). Desde

f(x)=cosx

y

f(g(x))=cos(sin1x)=1x2

vemos que

g(x)=ddx(sin1x)=1f(g(x))=11x2

Análisis

Para verlocos(sin1x)=1x2, considere el siguiente argumento. Setsin1x=θ. En este caso,sinθ=x dondeπ2θπ2. Empezamos por considerar el caso donde0<θ<π2. Dado queθ es un ángulo agudo, podemos construir un triángulo rectángulo con ángulo agudoθ, una hipotenusa de longitud1 y el lado opuesto el ánguloθ que tiene longitudx. Del teorema de Pitágoras, el lado adyacente al ánguloθ tiene longitud1x2. Este triángulo se muestra en la Figura3.7.2 Usando el triángulo, vemos esocos(sin1x)=cosθ=1x2.

Un triángulo rectángulo con ángulo θ, lado opuesto x, hipotenusa 1 y lado adyacente igual a la raíz cuadrada de la cantidad (1 — x2).
Figura3.7.2: Usando un triángulo rectángulo que tiene ángulo agudoθ, una hipotenusa de longitud1, y el ángulo del lado opuestoθ que tiene longitudx, podemos ver esocos(sin1x)=cosθ=1x2.

En el caso dondeπ2<θ<0, hacemos la observación de que0<θ<π2 y por lo tanto

cos(sin1x)=cosθ=cos(θ)=1x2.

Ahora siθ=π2 oθ=π2,x=1 ox=1, y ya que en cualquiera decosθ=0 los casos y1x2=0, tenemos

cos(sin1x)=cosθ=1x2.

En consecuencia, en todos los casos,

cos(sin1x)=1x2.

Ejemplo3.7.4B: Applying the Chain Rule to the Inverse Sine Function

Aplicar la regla de la cadena a la fórmula derivada en Ejemplo3.7.4A para encontrar la derivada deh(x)=sin1(g(x)) y utilizar este resultado para encontrar la derivada deh(x)=sin1(2x3).

Solución

Aplicando la regla de la cadena ah(x)=sin1(g(x)), tenemos

h(x)=11(g(x))2g(x).

Ahora déjalog(x)=2x3, asíg(x)=6x2. Sustituyendo al resultado anterior, obtenemos

h(x)=114x66x2=6x214x6

Ejercicio3.7.4

Utilice el teorema de la función inversa para encontrar la derivada deg(x)=tan1x.

Pista

La inversa deg(x) esf(x)=tanx. Use Ejemplo3.7.4A como guía.

Responder

g(x)=11+x2

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas restantes también se pueden encontrar usando el teorema de la función inversa. Estas fórmulas se proporcionan en el siguiente teorema.

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

ddx(sin1x)=11x2ddx(cos1x)=11x2ddx(tan1x)=11+x2ddx(cot1x)=11+x2ddx(sec1x)=1|x|x21ddx(csc1x)=1|x|x21

Ejemplo3.7.5A: Applying Differentiation Formulas to an Inverse Tangent Function

Encuentra la derivada def(x)=tan1(x2).

Solución

Vamosg(x)=x2, entoncesg(x)=2x. Sustituyendo en la Ecuación\ ref {trig3}, obtenemos

f(x)=11+(x2)2(2x).

Simplificando, tenemos

f(x)=2x1+x4.

Ejemplo3.7.5B: Applying Differentiation Formulas to an Inverse Sine Function

Encuentra la derivada deh(x)=x2sin1x.

Solución

Al aplicar la regla del producto, tenemos

h(x)=2xsin1x+11x2x2

Ejercicio3.7.5

Encuentra la derivada deh(x)=cos1(3x1).

Pista

Utilice la ecuación\ ref {trig2}. cong(x)=3x1

Responder

h(x)=36x9x2

Ejemplo3.7.6: Applying the Inverse Tangent Function

La posición de una partícula en el momentot viene dada pors(t)=tan1(1t) fort≥ \ce{1/2}. Encuentra la velocidad de la partícula a la vez t=1.

Solución

Empezar por diferenciars(t) para encontrarv(t) .Así,

v(t)=s′(t)=\dfrac{1}{1+\left(\frac{1}{t}\right)^2}⋅\dfrac{−1}{t^2}.

Simplificando, tenemos

v(t)=−\dfrac{1}{t^2+1}.

Así,v(1)=−\dfrac{1}{2}.

Ejercicio\PageIndex{6}

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=\sin^{−1}x atx=0.

Pista

f′(0)es la pendiente de la línea tangente.

Responder

y=x

Conceptos clave

  • El teorema de la función inversa nos permite calcular derivadas de funciones inversas sin usar la definición límite de la derivada.
  • Podemos utilizar el teorema de la función inversa para desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas inversas.

Ecuaciones Clave

  • Teorema de función inversa

(f^{−1})′(x)=\dfrac{1}{f′\big(f^{−1}(x)\big)}siempref′\big(f^{−1}(x)\big)≠0 yf(x) sea diferenciable.

  • Regla de potencia con exponentes racionales

\dfrac{d}{dx}\big(x^{m/n}\big)=\dfrac{m}{n}x^{(m/n)−1}.

  • Derivada de la función sinusoidal inversa

\dfrac{d}{dx}\big(\sin^{−1}x\big)=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}

  • Derivada de la función coseno inversa

\dfrac{d}{dx}\big(\cos^{−1}x\big)=\dfrac{−1}{\sqrt{1−x^2}}

Derivada de la función tangente inversa

\dfrac{d}{dx}\big(\tan^{−1}x\big)=\dfrac{1}{1+x^2}

Derivada de la función cotangente inversa

\dfrac{d}{dx}\big(\cot^{−1}x\big)=\dfrac{−1}{1+x^2}

Derivada de la función secante inversa

\dfrac{d}{dx}\big(\sec^{−1}x\big)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2−1}}

Derivada de la función cosecante inversa

\dfrac{d}{dx}\big(\csc^{−1}x\big)=\dfrac{−1}{|x|\sqrt{x^2−1}}

Colaboradores y Atribuciones


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