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# 4.11: Capítulo 4 Ejercicios de revisión

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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que$$f(x)$$ es continuo y diferenciable a menos que se indique lo contrario.

1) Si$$f(−1)=−6$$ y$$f(1)=2$$, entonces existe al menos un punto$$x∈[−1,1]$$ tal que$$f′(x)=4.$$

Contestar
Verdadero, por Teorema del Valor Medio

2) Si$$f′(c)=0,$$ hay un máximo o mínimo en$$x=c.$$

3) Hay una función tal que$$f(x)<0,f′(x)>0,$$ y$$f''(x)<0.$$ (Una “prueba” gráfica es aceptable para esta respuesta.)

Contestar
Cierto

4) Hay una función tal que hay tanto un punto de inflexión como un punto crítico para algún valor$$x=a.$$

5) Dada la gráfica de$$f′$$, determinar dónde$$f$$ está aumentando o disminuyendo.

Contestar
Incrementando:$$(−2,0)∪(4,∞)$$, decreciente:$$(−∞,−2)∪(0,4)$$

6) La gráfica de$$f$$ se da a continuación. Empate$$f′$$.

7) Encuentra la aproximación lineal$$L(x)$$ a$$y=x^2+\tan(πx)$$ cerca$$x=\frac{1}{4}.$$

Contestar
$$L(x)=\frac{17}{16}+\frac{1}{2}(1+4π)\left(x−\frac{1}{4}\right)$$

8) Encontrar el diferencial de$$y=x^2−5x−6$$ y evaluar$$x=2$$ con$$dx=0.1.$$

Encuentra los puntos críticos y los extremos locales y absolutos de las siguientes funciones en el intervalo dado.

9)$$f(x)=x+\sin^2(x)$$ sobre$$[0,π]$$

Contestar
Punto crítico: Mínimo$$x=\frac{3π}{4},$$
absoluto:$$0$$ cuando Máximo$$x=0,$$
absoluto:$$π$$ cuando$$x=π$$

Solución:

10)$$f(x)=3x^4−4x^3−12x^2+6$$ sobre$$[−3,3]$$

Determine en qué intervalos las siguientes funciones están aumentando, disminuyendo, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo.

11)$$x(t)=3t^4−8t^3−18t^2$$

Contestar
Creciente:$$(−1,0)∪(3,∞),$$
Disminución:$$(−∞,−1)∪(0,3),$$
Cóncava hacia arriba:$$\left(−∞,\frac{1}{3}\left(2−\sqrt{13}\right)\right)∪\left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),∞\right)$$,
Cóncava$$\left(\frac{1}{3}\left(2−\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$$

12)$$y=x+\sin(πx)$$

13)$$g(x)=x−\sqrt{x}$$

Contestar
Creciente:$$\left(\frac{1}{4},∞\right),$$
Disminución:$$\left(0,\frac{1}{4}\right)$$,
Cóncavo arriba:$$(0,∞),$$
Cóncavo

14)$$f(θ)=\sin(3θ)$$

Evaluar los siguientes límites.

15)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^4−1}}$$

Contestar
$$3$$

16)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$

17)$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{\sin(πx)}$$

Contestar
$$−\frac{1}{π}$$

18)$$\displaystyle \lim_{x→∞}(3x)^{1/x}$$

Usa el método de Newton para encontrar las dos primeras iteraciones, dado el punto de partida.

19)$$y=x^3+1,\quad x_0=0.5$$

Contestar
$$x_1=−1,\; x_2=−1$$

20)$$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}, \quad x_0=0$$

Encuentra los antiderivados$$F(x)$$ de las siguientes funciones.

21)$$g(x)=\sqrt{x}−\dfrac{1}{x^2}$$

Contestar
$$F(x)=\dfrac{2x^{3/2}}{3}+\dfrac{1}{x}+C$$

22)$$f(x)=2x+6\cos x,\quad F(π)=π^2+2$$

Grafica las siguientes funciones a mano. Asegúrese de etiquetar los puntos de inflexión, puntos críticos, ceros y asíntotas.

23)$$y=\dfrac{1}{x(x+1)^2}$$

Contestar

Puntos de inflexión: ninguno; Puntos
críticos:$$x=−\frac{1}{3}$$;
Ceros: ninguno; asíntotas
verticales:$$x=−1, \; x=0$$; Asintota
horizontal:$$y=0$$

24)$$y=x−\sqrt{4−x^2}$$

25) Un automóvil está siendo compactado en un sólido rectangular. El volumen está disminuyendo a una tasa de$$2\, \text{m}^3/\text{sec}$$. El largo y ancho del compactador son cuadrados, pero la altura no es la misma longitud que el largo y ancho. Si las paredes de longitud y anchura se mueven una hacia la otra a una velocidad de$$0.25$$ m/seg, encuentre la velocidad a la que la altura está cambiando cuando la longitud y la anchura son$$2$$ m y la altura es$$1.5$$ m.

Contestar
La altura disminuye a una velocidad de$$0.125$$ m/seg

26) Un cohete es lanzado al espacio; su energía cinética viene dada por$$K(t)=\frac{1}{2}m(t)v(t)^2$$, donde$$K$$ está la energía cinética en julios,$$m$$ es la masa del cohete en kilogramos, y$$v$$ es la velocidad del cohete en metros/segundo. Supongamos que la velocidad está aumentando a una velocidad de$$15 \,\text{m/sec}^2$$ y la masa disminuye a una velocidad de$$10$$ kg/seg debido a que el combustible se está quemando. ¿A qué velocidad cambia la energía cinética del cohete cuando la masa es$$2000$$ kg y la velocidad es$$5000$$ m/seg? Da tu respuesta en Mega-julios (MJ), que equivale a$$10^6$$ J.

27) El famoso problema del regiomontano para la maximización angular se propuso durante el$$15^\text{th}$$ siglo. Una pintura cuelga de una pared con la parte inferior de la pintura a una distancia$$a$$ pies por encima del nivel de los ojos, y los$$b$$ pies superiores por encima del nivel de los ojos. ¿Qué distancia$$x$$ (en pies) de la pared debe pararse el espectador para maximizar el ángulo subtendido por la pintura,$$θ$$?

Contestar
$$x=\sqrt{ab}$$pies

28) Una aerolínea vende boletos de Tokio a Detroit por$$1200.$$ Hay$$500$$ asientos disponibles y un vuelo típico libro$$350$$ asientos. Por cada$$10$$ disminución de precio, la aerolínea observa cinco asientos adicionales vendidos. ¿Cuál debería ser la tarifa para maximizar las ganancias? ¿Cuántos pasajeros estarían a bordo?

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