7.2: Integrales trigonométricas

Objetivos de aprendizaje

• Resolver problemas de integración que involucran productos y poderes de\(\sin x\) y\(\cos x\).
• Resolver problemas de integración que involucran productos y poderes de\(\tan x\) y\(\sec x\).
• Utilice fórmulas de reducción para resolver integrales trigonométricas.

En esta sección analizamos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se denominan integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, la cual se presenta en la Sustitución Trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizás no podamos integrar en expresiones que involucren funciones trigonométricas, las cuales podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen frecuentemente cuando estudiamos sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos posteriormente. Comencemos nuestro estudio con productos de\(\sin x\) y\(\cos x.\)

Integración de Productos y Poderes de pecado x y cos x

Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de\(\sin x\) e\(\cos x\) implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma\(∫\sin^jx\cos x\,dx\) o\(∫\cos^jx\sin x\,dx\). Después de reescribir estas integrales, las evaluamos usando\(u\) -sustitución. Antes de describir el proceso general en detalle, echemos un vistazo a los siguientes ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Integrating \(\displaystyle ∫\cos^j x\sin x\,dx\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin x\,dx.\)

Solución

Usa\(u\) -sustitución y deja\(u=\cos x\). En este caso,\(du=−\sin x\,dx.\)

Por lo tanto,

\[∫\cos^3x\sin x\,dx=−∫u^3\,du=−\frac{1}{4}u^4+C=−\frac{1}{4}\cos^4x+C.\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx.\)

Pista

Let\(u=\sin x.\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx = \frac{1}{5}\sin^5x+C\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A Preliminary Example: Integrating \(∫\cos^jx\sin^kx\,dx\) where \(k\) is Odd

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^2x\sin^3x\,dx.\)

Solución

Para convertir esta integral en integrales de la forma\(\displaystyle ∫\cos^jx\sin x\,dx,\) reescribe\(\sin^3x=\sin^2x\sin x\) y realiza la sustitución\(\sin^2x=1−\cos^2x.\)

Por lo tanto,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^2x\ sen ^3x\, dx &=∫\ cos^2x (1−\ cos^2x)\ sin x\, dx & &\ text {Dejar} u=\ cos x;\;\ text {entonces} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=−u^2 (1−u^2)\, du\\ [4pt]
&=∫ (u^4−u^2)\, du\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5} u^5−\ frac {1} {3} u^3+c\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5}\ cos^5x−\ frac {1} {3}\ cos^3x+C.\ end {align*}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx.\)

Pista

Escribe\(\cos^3x=\cos^2x\cos x=(1−\sin^2x)\cos x\) y deja\(u=\sin x\).

Contestar

\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx = \frac{1}{3}\sin^3x−\frac{1}{5}\sin^5x+C\)

En el siguiente ejemplo, vemos la estrategia que se debe aplicar cuando sólo hay poderes pares de\(\sin x\) y\(\cos x\). Para integrales de este tipo, las identidades

\[\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1−\cos(2x)}{2} \nonumber \]

y

\[\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \nonumber \]

son invaluables. Estas identidades a veces se conocen como identidades reductoras de energía y pueden derivarse de la identidad de doble ángulo\(\cos(2x)=\cos^2x−\sin^2x\) y la identidad pitagórica\(\cos^2x+\sin^2x=1.\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Integrating an Even Power of \(\sin x\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx\).

Solución

Para evaluar esta integral, usemos la identidad trigonométrica\(\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x).\) Así,

\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx=∫\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx=\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}\sin(2x)+C.\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^2x\,dx.\)

Pista

\(\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\cos^2x\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C\)

El proceso general para integrar productos de poderes de\(\sin x\) y\(\cos x\) se resume en el siguiente conjunto de lineamientos.

Estrategia de Resolución de Problemas: Integración de Productos y Poderes\(\sin x\) and \(cos x\)

Para integrar\(\displaystyle \int \cos^jx\sin^kx\,dx\) utilizar las siguientes estrategias:

1. Si\(k\) es impar, reescribe\(\sin^kx=\sin^{k−1}x\sin x\) y usa la identidad\(\sin^2x=1−\cos^2x\) para reescribir\(\sin^{k−1}x\) en términos de\(\cos x\). Integrar usando la sustitución\(u=\cos x\). Esta sustitución hace\(du=−\sin x\,dx.\)

2. Si\(j\) es impar, reescribe\(\cos^jx=\cos^{j−1}x\cos x\) y usa la identidad\(\cos^2x=1−\sin^2x\) para reescribir\(\cos^{j−1}x\) en términos de\(\sin x\). Integrar usando la sustitución\(u=\sin x\). Esta sustitución hace\(du=\cos x\,dx.\) (Nota: Si ambos\(j\) y\(k\) son impares, se puede utilizar ya sea la estrategia 1 o la estrategia 2.)

3. Si ambos\(j\) y\(k\) son parejos, use\(\sin^2x=\dfrac{1−\cos(2x)}{2}\) y\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\). Después de aplicar estas fórmulas, simplifique y vuelva a aplicar las estrategias 1 a 3 según corresponda.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Integrating \(∫\cos^jx\sin^kx\,dx\) where \(k\) is Odd

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^8x\sin^5x\,dx.\)

Solución

Dado que el encendido\(\sin x\) es impar, use la estrategia 1. Por lo tanto,

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ cos^8x\ sin^5x\, dx &=∫\ cos^8x\ sin^4x\ sin x\, dx & &\ text {Romper}\ sin x.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (\ sin^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ texto {Reescribir}\ sin^4x= (\ sin^2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (1−\ cos^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text { Sustituir}\ sin^2x=1−\ cos^2x.\\ [4pt]
&=u^8 (1−u^2) ^2 (−du) &\ text {Dejar} u=\ cos x\ text {y} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=∫ (−u^8+2u^ {10} −u^ {12}) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9} u^9+\ frac {2} {11} u^ {11} −\ frac {1} {13} u^ {13} +C & & ;\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9}\ cos^9x+\ frac {2} {11}\ cos^ {11} x−\ frac {1} {13}\ cos^ {13} x+C & &\ text {Sustituto} u=\ cos x.\ end {align*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Integrating \(∫\cos^jx\sin^kx\,dx\) where \(k\) and \(j\) are Even

Evaluar\(\displaystyle ∫\sin^4x\,dx.\)

Solución: Dado que el encendido\(\sin x\) es parejo\((k=4)\) y el encendido\(\cos x\) es parejo\((j=0),\) debemos usar la estrategia 3. Por lo tanto,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ sin^4x\, dx &=∫\ izquierda (\ sin^2x\ derecha) ^2\, dx & &\ text {Reescribir}\ sen ^4x=\ izquierda (\ sin^2x\ derecha) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ derecha) ^2\, dx & &\ texto {Sustituto}\ sin^2x=\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x).\\ [4pt]
& =∫\ izquierda (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ derecha)\, dx & &\ text {Expandir}\ izquierda (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ derecha) ^2.\ [4pt]
&=∫\ izquierda (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ izquierda (\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x)\ derecha)\ derecha)\, dx & &\ text {Desde}\ cos^2 (2x )\ text {tiene un poder par, sustituto}\ cos^2 (2x) =\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x).\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {3} {8} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x))\ derecha)\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ frac {3} {8} x−\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C & &\ text { Evaluar la integral.}\\ [4pt]\ end {align*}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx.\)

Pista

Estrategia de uso 2. Escribir\(\cos^3x=\cos^2x\cos x\) y sustituir\(\cos^2x=1−\sin^2x.\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx = \sin x−\frac{1}{3}\sin^3x+C\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx.\)

Pista

Estrategia de uso 3. Sustituto\(\cos^2(3x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin(6x)+C\)

En algunas áreas de la física, como la mecánica cuántica, el procesamiento de señales, y el cálculo de series de Fourier, a menudo es necesario integrar productos que incluyen\(sin(ax), sin(bx), cos(ax),\) y\(cos(bx).\) Estas integrales se evalúan aplicando identidades trigonométricas, como se describe en la siguiente regla.

Regla: Integración de Productos de Senos y Cosenos de Diferentes Ángulos

Integrar productos que involucran\(\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),\) y\(\cos(bx),\) usar las sustituciones

\[\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber \]

\[\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x) \nonumber \]

\[\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber \]

Estas fórmulas pueden derivarse de las fórmulas de suma de ángulo para seno y coseno.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Evaluating \(∫\sin(ax)\cos(bx)\,dx\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx.\)

Solución: Aplicar la identidad\(\sin(5x)\cos(3x)=\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x).\) Así,

\(\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx=∫\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x)\,dx=−\frac{1}{4}\cos(2x)−\frac{1}{16}\cos(8x)+C.\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx.\)

Pista

Sustituto\(\cos(6x)\cos(5x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos(11x).\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx = \frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{22}\sin(11x)+C\)

Integración de Productos y Poderes de\(\tan x\) y\(\sec x\)

Antes de discutir la integración de productos\(\tan x\) y poderes de y\(\sec x\), es útil recordar las integrales que involucran\(\tan x\) y ya\(\sec x\) hemos aprendido:

1. \(\displaystyle ∫\sec^2x\,dx=\tan x+C\)

2. \(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx=\sec x+C\)

3. \(\displaystyle ∫\tan x\,dx=\ln|\sec x|+C\)

4. \(\displaystyle ∫\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C.\)

Para la mayoría de integrales de productos y potencias de\(\tan x\) y\(\sec x\), reescribimos la expresión que deseamos integrar como la suma o diferencia de integrales de la forma\(\displaystyle ∫\tan^jx\sec^2x\,dx\) o\(\displaystyle ∫\sec^jx\tan x\,dx\). Como vemos en el siguiente ejemplo, podemos evaluar estas nuevas integrales mediante el uso de u-substitución.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Evaluating \(∫\sec^jx\tan x\,dx\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\sec^5 x\tan x\,dx.\)

Solución: Comience por reescribir\(\sec^5 x\tan x\) como\(\sec^4 x\sec x\tan x.\)

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ seg^5x\ tan x\, dx &= ∫\ seg^4 x\ seg x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=u^4\, du &\ text {Dejar} u=\ seg x;\,\ texto {entonces},\, du=\ seg x tan x\, dx.\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5} U^5+C & &\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5}\ seg^5 x+C & &\ text {Sustituto}\ seg x=u.\ end {alinear*}\)

Puedes leer alguna información interesante en este sitio web para conocer una integral común que involucra a la secante.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx.\)

Pista

Let\(u=\tan x\) y\(du=\sec^2 x.\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx = \tfrac{1}{6}\tan^6x+C\)

Ahora echamos un vistazo a las diversas estrategias para integrar productos y poderes de\(\sec x\) y\(\tan x.\)

Estrategia de resolución de problemas: integración\(\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx\)

Para integrar\(\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx,\) utilizar las siguientes estrategias:

1. Si\(j\) es par y\(j≥2,\) reescribir\(\sec^jx=\sec^{j−2}x\sec^2x\) y usar\(\sec^2x=\tan^2x+1\) para reescribir\(\sec^{j−2}x\) en términos de\(\tan x\). Let\(u=\tan x\) y\(du=\sec^2x.\)

2. Si\(k\) es impar y\(j≥1\), reescribir\(\tan^kx\sec^jx=\tan^{k−1}x\sec^{j−1}x\sec x\tan x\) y usar\(\tan^2x=\sec^2x−1\) para reescribir\(\tan^{k−1}x\) en términos de\(\sec x\). Let\(u=\sec x\) y\(du=\sec x\tan x\,dx.\) (Nota: Si\(j\) es par y\(k\) es impar, entonces se puede usar la estrategia 1 o la estrategia 2.)

3. Si\(k\) es impar donde\(k≥3\) y\(j=0\), reescribir\(\tan^kx=\tan^{k−2}x\tan^2x=\tan^{k−2}x(\sec^2x−1)=\tan^{k−2}x\sec^2x−\tan^{k−2}x.\) Puede ser necesario repetir este proceso en el\(\tan^{k−2}x\) término.

4. Si\(k\) es par y\(j\) es impar, entonces\(\tan^2x=\sec^2x−1\) utilícelo para expresar\(\tan^kx\) en términos de\(\sec x\). Utilice la integración por partes para integrar potencias impares de\(\sec x.\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Integrating \(∫\tan^kx\sec^jx\,dx\) when \(j\) is Even

Evaluar\(\displaystyle ∫\tan^6x\sec^4x\,dx.\)

Solución

Como el encendido\(\sec x\) es parejo, reescribe\(\sec^4x=\sec^2x\sec^2x\) y usa\(\sec^2x=\tan^2x+1\) para reescribir el primero\(\sec^2x\) en términos de\(\tan x.\) Así,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^6x\ seg^4x\, dx &=∫\ tan^6x (\ tan^2x+1)\ seg^2x\, dx\\ [4pt]
&=u^6 (u^2+1)\, du & &\ text {Dejar} u=\ tan x\ texto {y} du=\ seg^2x.\ [4pt]
&=∫ (u^8+u^6)\, du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9} u^9+\ frac {1} {7} u^ 7+C & &\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9}\ tan^9x+\ frac {1} {7}\ tan^7x+C. & &\ text {Sustituto}\ tan x=u.\ end {align*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Integrating \(∫\tan^kx\sec^jx\,dx\) when \(k\) is Odd

Evaluar\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^3x\,dx.\)

Solución

Como el encendido\(\tan x\) es impar, comience por reescribir\(\tan^5x\sec^3x=\tan^4x\sec^2x\sec x\tan x.\) Así,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^5x\ seg^3x\, dx&=\ tan^4x\ seg^2x\ seg x\ tan x.\\ [4pt]
&=∫ (\ tan^2x) ^2\ seg^2x\ seg x\ tan x\, dx & &\ text {Escribir}\ tan^4x =(\ tan^2x) ^2.\ [4pt]
&=∫ (\ seg^2x−1) ^2\ seg^2x\ seg x\ tan x\, dx & &\ text {Usar}\ tan^2x=\ seg^2x−1.\\ [4pt]
&=∫ (u^2−1) ^2u^2du & &\ text {Dejar} u=\ sec x\ texto {y} du=\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=∫ (u^6−2u^4+u^2) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {7} ^7−\ frac {2} {5} u^5+\ frac {1} {3} u^3+C &\ text {Integrar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1 } {7}\ seg^7x−\ frac {2} {5}\ seg^5x+\ frac {1} {3}\ seg^3x+C & &\ text {Sustituto}\ sec x=u.\ end {alinear*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Integrating \(∫\tan^kx\,dx\) where \(k\) is Odd and \(k≥3\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\tan^3x\,dx.\)

Solución

Empezar por reescribir\(\tan^3x=\tan x\tan^2x=\tan x(\sec^2x−1)=\tan x\sec^2x−\tan x.\) Así,

\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ tan^3x\, dx &= ∫ (\ tan x\ seg^2x−\ tan x)\, dx\\ [4pt]
&=∫\ tan x\ seg^2x\, dx−∫\ tan x\, dx\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ tan^2x−\ ln |\ x|seg +C.\ final {alinear*}\)

Para la primera integral, usa la sustitución\(u=\tan x.\) Para la segunda integral, usa la fórmula.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\): Integrating \(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\)

Integrar\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.\)

Solución

Esta integral requiere integración por partes. Para comenzar, vamos\(u=\sec x\) y\(dv=\sec^2x\). Estas elecciones hacen\(du=\sec x\tan x\) y\(v=\tan x\). Por lo tanto,

\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ seg^3x\, dx &=\ sec x\ tan x−∫\ tan x\ seg x\ seg x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x−∫\ tan^2x\ seg x\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ seg x\ xtan (\ seg x\ x−∫ (\ ^2x−1)\ seg x\, dx & &\ texto {Sustituto}\ tan ^2x=\ seg^2x−1.\\ [4pt]
& amp; =\ sec x\ tan x+∫\ sec x\, dx−∫\ seg^3x\, dx &\ text {Reescribir.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x+\ ln|\ sec x+\ tan x|−∫\ seg^3x\, dx. & &\ text {Evaluar} ∫\ sec x\, dx. \ end {alinear*}\)

Ahora tenemos

\[∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|−∫\sec^3x\,dx.\nonumber \]

Dado que la integral\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\) ha reaparecido en el lado derecho, podemos resolver\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\) por agregarla a ambos lados. Al hacerlo, obtenemos

\[2∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|.\nonumber \]

Dividiendo por 2, llegamos a

\[∫\sec^3x\,dx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Evaluar\(\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx.\)

Pista

Use Ejemplo\(\PageIndex{9}\) como guía.

Contestar

\(\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx = \frac{1}{9}\sec^9x−\frac{1}{7}\sec^7x+C\)

Fórmulas de reducción

Evaluar\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx\) para valores de\(n\) donde\(n\) es impar requiere integración por partes. Además, también debemos conocer el valor de\(\displaystyle ∫\sec^{n−2}x\,dx\) evaluar\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx\). La evaluación de\(\displaystyle ∫\tan^nx\,dx\) también requiere poder integrarse\(\displaystyle ∫\tan^{n−2}x\,dx\). Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencia. Estas reglas nos permiten sustituir la integral de un poder de\(\sec x\) o\(\tan x\) por la integral de un poder inferior de\(\sec x\) o\(\tan x.\)

Regla: Fórmulas de reducción para\(∫\sec^nx\,dx\) and \(∫\tan^nx\,dx\)

\[∫\sec^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x\tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx \nonumber \]

\[∫\tan^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx \nonumber \]

La primera regla de reducción de potencia puede verificarse aplicando integración por partes. El segundo puede verificarse siguiendo la estrategia esbozada para integrar poderes impares de\(\tan x.\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\): Revisiting \(∫\sec^3x\,dx\)

Aplicar una fórmula de reducción para evaluar\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.\)

Solución: Al aplicar la primera fórmula de reducción, obtenemos

\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ seg^3x\, dx &=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x+\ frac {1} {2} ∫\ seg x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x+\ frac {1} {2}\ ln|\ seg x+\ bronceado x|+C.\ final {alinear*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{13}\): Using a Reduction Formula

Evaluar\(\displaystyle ∫\tan^4x\,dx.\)

Solución: Aplicando la fórmula de reducción para\(∫\tan^4x\,dx\) tenemos

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^4x\, dx &=\ frac {1} {3}\ tan^3x−∫\ tan^2x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x− (\ tan x−∫\ tan^0x\, dx) &\ text {Aplicar la fórmula de reducción a} ∫\ tan^2x\, dx.\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+1\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+x+C & &\ text {Evaluar} 1\, dx\ end {alinear*}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Aplicar la fórmula de reducción a\(\displaystyle ∫\sec^5x\,dx.\)

Pista

Usa la fórmula de reducción 1 y deja\(n=5.\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sec^5x\,dx=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}∫\sec^3x\)

Conceptos clave

Integrales de funciones trigonométricas se pueden evaluar mediante el uso de diversas estrategias. Estas estrategias incluyen

1. Aplicar identidades trigonométricas para reescribir la integral para que pueda ser evaluada por\(u\) -sustitución
2. Uso de la integración por partes
3. Aplicación de identidades trigonométricas para reescribir productos de senos y cosenos con diferentes argumentos como la suma de funciones individuales de seno y coseno
4. Aplicación de fórmulas de reducción

Ecuaciones Clave

Integrar productos que involucren\(\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),\) y\(\cos(bx),\) utilicen las sustituciones.

• Productos sinusoidales

\(\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x)\)

• Productos de seno y coseno

\(\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x)\)

• Productos Cosine

\(\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x)\)

• Fórmula de reducción de potencia

\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x \tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx\)

• Fórmula de reducción de potencia

\(\displaystyle ∫\tan^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx\)

Glosario

fórmula de reducción de potencia

una regla que permite cambiar una integral de una potencia de una función trigonométrica por una integral que involucra una potencia inferior

integral trigonométrica

una integral que involucra potencias y productos de funciones trigonométricas