7.2: Integrales trigonométricas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Resolver problemas de integración que involucran productos y poderes desinx ycosx.
- Resolver problemas de integración que involucran productos y poderes detanx ysecx.
- Utilice fórmulas de reducción para resolver integrales trigonométricas.
En esta sección analizamos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se denominan integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, la cual se presenta en la Sustitución Trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizás no podamos integrar en expresiones que involucren funciones trigonométricas, las cuales podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen frecuentemente cuando estudiamos sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos posteriormente. Comencemos nuestro estudio con productos desinx ycosx.
Integración de Productos y Poderes de pecado x y cos x
Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias desinx ecosx implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma∫sinjxcosxdx o∫cosjxsinxdx. Después de reescribir estas integrales, las evaluamos usandou -sustitución. Antes de describir el proceso general en detalle, echemos un vistazo a los siguientes ejemplos.
Evaluar∫cos3xsinxdx.
Solución
Usau -sustitución y dejau=cosx. En este caso,du=−sinxdx.
Por lo tanto,
∫cos3xsinxdx=−∫u3du=−14u4+C=−14cos4x+C.
Evaluar∫sin4xcosxdx.
- Pista
-
Letu=sinx.
- Contestar
-
∫sin4xcosxdx=15sin5x+C
Evaluar∫cos2xsin3xdx.
Solución
Para convertir esta integral en integrales de la forma∫cosjxsinxdx, reescribesin3x=sin2xsinx y realiza la sustituciónsin2x=1−cos2x.
Por lo tanto,
\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^2x\ sen ^3x\, dx &=∫\ cos^2x (1−\ cos^2x)\ sin x\, dx & &\ text {Dejar} u=\ cos x;\;\ text {entonces} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=−u^2 (1−u^2)\, du\\ [4pt]
&=∫ (u^4−u^2)\, du\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5} u^5−\ frac {1} {3} u^3+c\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5}\ cos^5x−\ frac {1} {3}\ cos^3x+C.\ end {align*}\)
Evaluar∫cos3xsin2xdx.
- Pista
-
Escribecos3x=cos2xcosx=(1−sin2x)cosx y dejau=sinx.
- Contestar
-
∫cos3xsin2xdx=13sin3x−15sin5x+C
En el siguiente ejemplo, vemos la estrategia que se debe aplicar cuando sólo hay poderes pares desinx ycosx. Para integrales de este tipo, las identidades
sin2x=12−12cos(2x)=1−cos(2x)2
y
cos2x=12+12cos(2x)=1+cos(2x)2
son invaluables. Estas identidades a veces se conocen como identidades reductoras de energía y pueden derivarse de la identidad de doble ángulocos(2x)=cos2x−sin2x y la identidad pitagóricacos2x+sin2x=1.
Evaluar∫sin2xdx.
Solución
Para evaluar esta integral, usemos la identidad trigonométricasin2x=12−12cos(2x). Así,
∫sin2xdx=∫(12−12cos(2x))dx=12x−14sin(2x)+C.
Evaluar∫cos2xdx.
- Pista
-
cos2x=12+12cos(2x)
- Contestar
-
∫cos2xdx=12x+14sin(2x)+C
El proceso general para integrar productos de poderes desinx ycosx se resume en el siguiente conjunto de lineamientos.
Para integrar∫cosjxsinkxdx utilizar las siguientes estrategias:
1. Sik es impar, reescribesinkx=sink−1xsinx y usa la identidadsin2x=1−cos2x para reescribirsink−1x en términos decosx. Integrar usando la sustituciónu=cosx. Esta sustitución hacedu=−sinxdx.
2. Sij es impar, reescribecosjx=cosj−1xcosx y usa la identidadcos2x=1−sin2x para reescribircosj−1x en términos desinx. Integrar usando la sustituciónu=sinx. Esta sustitución hacedu=cosxdx. (Nota: Si ambosj yk son impares, se puede utilizar ya sea la estrategia 1 o la estrategia 2.)
3. Si ambosj yk son parejos, usesin2x=1−cos(2x)2 ycos2x=1+cos(2x)2. Después de aplicar estas fórmulas, simplifique y vuelva a aplicar las estrategias 1 a 3 según corresponda.
Evaluar∫cos8xsin5xdx.
Solución
Dado que el encendidosinx es impar, use la estrategia 1. Por lo tanto,
\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ cos^8x\ sin^5x\, dx &=∫\ cos^8x\ sin^4x\ sin x\, dx & &\ text {Romper}\ sin x.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (\ sin^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ texto {Reescribir}\ sin^4x= (\ sin^2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (1−\ cos^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text { Sustituir}\ sin^2x=1−\ cos^2x.\\ [4pt]
&=u^8 (1−u^2) ^2 (−du) &\ text {Dejar} u=\ cos x\ text {y} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=∫ (−u^8+2u^ {10} −u^ {12}) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9} u^9+\ frac {2} {11} u^ {11} −\ frac {1} {13} u^ {13} +C & & ;\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9}\ cos^9x+\ frac {2} {11}\ cos^ {11} x−\ frac {1} {13}\ cos^ {13} x+C & &\ text {Sustituto} u=\ cos x.\ end {align*}\)
Evaluar∫sin4xdx.
Solución: Dado que el encendidosinx es parejo(k=4) y el encendidocosx es parejo(j=0), debemos usar la estrategia 3. Por lo tanto,
\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ sin^4x\, dx &=∫\ izquierda (\ sin^2x\ derecha) ^2\, dx & &\ text {Reescribir}\ sen ^4x=\ izquierda (\ sin^2x\ derecha) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ derecha) ^2\, dx & &\ texto {Sustituto}\ sin^2x=\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x).\\ [4pt]
& =∫\ izquierda (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ derecha)\, dx & &\ text {Expandir}\ izquierda (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ derecha) ^2.\ [4pt]
&=∫\ izquierda (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ izquierda (\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x)\ derecha)\ derecha)\, dx & &\ text {Desde}\ cos^2 (2x )\ text {tiene un poder par, sustituto}\ cos^2 (2x) =\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x).\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {3} {8} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x))\ derecha)\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ frac {3} {8} x−\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C & &\ text { Evaluar la integral.}\\ [4pt]\ end {align*}\)
Evaluar∫cos3xdx.
- Pista
-
Estrategia de uso 2. Escribircos3x=cos2xcosx y sustituircos2x=1−sin2x.
- Contestar
-
∫cos3xdx=sinx−13sin3x+C
Evaluar∫cos2(3x)dx.
- Pista
-
Estrategia de uso 3. Sustitutocos2(3x)=12+12cos(6x)
- Contestar
-
∫cos2(3x)dx=12x+112sin(6x)+C
En algunas áreas de la física, como la mecánica cuántica, el procesamiento de señales, y el cálculo de series de Fourier, a menudo es necesario integrar productos que incluyensin(ax),sin(bx),cos(ax), ycos(bx). Estas integrales se evalúan aplicando identidades trigonométricas, como se describe en la siguiente regla.
Integrar productos que involucransin(ax),sin(bx),cos(ax), ycos(bx), usar las sustituciones
sin(ax)sin(bx)=12cos((a−b)x)−12cos((a+b)x)
sin(ax)cos(bx)=12sin((a−b)x)+12sin((a+b)x)
cos(ax)cos(bx)=12cos((a−b)x)+12cos((a+b)x)
Estas fórmulas pueden derivarse de las fórmulas de suma de ángulo para seno y coseno.
Evaluar∫sin(5x)cos(3x)dx.
Solución: Aplicar la identidadsin(5x)cos(3x)=12sin(2x)+12sin(8x). Así,
∫sin(5x)cos(3x)dx=∫12sin(2x)+12sin(8x)dx=−14cos(2x)−116cos(8x)+C.
Evaluar∫cos(6x)cos(5x)dx.
- Pista
-
Sustitutocos(6x)cos(5x)=12cosx+12cos(11x).
- Contestar
-
∫cos(6x)cos(5x)dx=12sinx+122sin(11x)+C
Integración de Productos y Poderes detanx ysecx
Antes de discutir la integración de productostanx y poderes de ysecx, es útil recordar las integrales que involucrantanx y yasecx hemos aprendido:
1. ∫sec2xdx=tanx+C
2. ∫secxtanxdx=secx+C
3. ∫tanxdx=ln|secx|+C
4. ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.
Para la mayoría de integrales de productos y potencias detanx ysecx, reescribimos la expresión que deseamos integrar como la suma o diferencia de integrales de la forma∫tanjxsec2xdx o∫secjxtanxdx. Como vemos en el siguiente ejemplo, podemos evaluar estas nuevas integrales mediante el uso de u-substitución.
Evaluar∫sec5xtanxdx.
Solución: Comience por reescribirsec5xtanx comosec4xsecxtanx.
\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ seg^5x\ tan x\, dx &= ∫\ seg^4 x\ seg x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=u^4\, du &\ text {Dejar} u=\ seg x;\,\ texto {entonces},\, du=\ seg x tan x\, dx.\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5} U^5+C & &\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5}\ seg^5 x+C & &\ text {Sustituto}\ seg x=u.\ end {alinear*}\)
Puedes leer alguna información interesante en este sitio web para conocer una integral común que involucra a la secante.
Evaluar∫tan5xsec2xdx.
- Pista
-
Letu=tanx ydu=sec2x.
- Contestar
-
∫tan5xsec2xdx=16tan6x+C
Ahora echamos un vistazo a las diversas estrategias para integrar productos y poderes desecx ytanx.
Para integrar∫tankxsecjxdx, utilizar las siguientes estrategias:
1. Sij es par yj≥2, reescribirsecjx=secj−2xsec2x y usarsec2x=tan2x+1 para reescribirsecj−2x en términos detanx. Letu=tanx ydu=sec2x.
2. Sik es impar yj≥1, reescribirtankxsecjx=tank−1xsecj−1xsecxtanx y usartan2x=sec2x−1 para reescribirtank−1x en términos desecx. Letu=secx ydu=secxtanxdx. (Nota: Sij es par yk es impar, entonces se puede usar la estrategia 1 o la estrategia 2.)
3. Sik es impar dondek≥3 yj=0, reescribirtankx=tank−2xtan2x=tank−2x(sec2x−1)=tank−2xsec2x−tank−2x. Puede ser necesario repetir este proceso en eltank−2x término.
4. Sik es par yj es impar, entoncestan2x=sec2x−1 utilícelo para expresartankx en términos desecx. Utilice la integración por partes para integrar potencias impares desecx.
Evaluar∫tan6xsec4xdx.
Solución
Como el encendidosecx es parejo, reescribesec4x=sec2xsec2x y usasec2x=tan2x+1 para reescribir el primerosec2x en términos detanx. Así,
\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^6x\ seg^4x\, dx &=∫\ tan^6x (\ tan^2x+1)\ seg^2x\, dx\\ [4pt]
&=u^6 (u^2+1)\, du & &\ text {Dejar} u=\ tan x\ texto {y} du=\ seg^2x.\ [4pt]
&=∫ (u^8+u^6)\, du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9} u^9+\ frac {1} {7} u^ 7+C & &\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9}\ tan^9x+\ frac {1} {7}\ tan^7x+C. & &\ text {Sustituto}\ tan x=u.\ end {align*}\)
Evaluar∫tan5xsec3xdx.
Solución
Como el encendidotanx es impar, comience por reescribirtan5xsec3x=tan4xsec2xsecxtanx. Así,
\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^5x\ seg^3x\, dx&=\ tan^4x\ seg^2x\ seg x\ tan x.\\ [4pt]
&=∫ (\ tan^2x) ^2\ seg^2x\ seg x\ tan x\, dx & &\ text {Escribir}\ tan^4x =(\ tan^2x) ^2.\ [4pt]
&=∫ (\ seg^2x−1) ^2\ seg^2x\ seg x\ tan x\, dx & &\ text {Usar}\ tan^2x=\ seg^2x−1.\\ [4pt]
&=∫ (u^2−1) ^2u^2du & &\ text {Dejar} u=\ sec x\ texto {y} du=\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=∫ (u^6−2u^4+u^2) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {7} ^7−\ frac {2} {5} u^5+\ frac {1} {3} u^3+C &\ text {Integrar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1 } {7}\ seg^7x−\ frac {2} {5}\ seg^5x+\ frac {1} {3}\ seg^3x+C & &\ text {Sustituto}\ sec x=u.\ end {alinear*}\)
Evaluar∫tan3xdx.
Solución
Empezar por reescribirtan3x=tanxtan2x=tanx(sec2x−1)=tanxsec2x−tanx. Así,
\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ tan^3x\, dx &= ∫ (\ tan x\ seg^2x−\ tan x)\, dx\\ [4pt]
&=∫\ tan x\ seg^2x\, dx−∫\ tan x\, dx\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ tan^2x−\ ln |\ x|seg +C.\ final {alinear*}\)
Para la primera integral, usa la sustituciónu=tanx. Para la segunda integral, usa la fórmula.
Integrar∫sec3xdx.
Solución
Esta integral requiere integración por partes. Para comenzar, vamosu=secx ydv=sec2x. Estas elecciones hacendu=secxtanx yv=tanx. Por lo tanto,
\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ seg^3x\, dx &=\ sec x\ tan x−∫\ tan x\ seg x\ seg x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x−∫\ tan^2x\ seg x\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ seg x\ xtan (\ seg x\ x−∫ (\ ^2x−1)\ seg x\, dx & &\ texto {Sustituto}\ tan ^2x=\ seg^2x−1.\\ [4pt]
& amp; =\ sec x\ tan x+∫\ sec x\, dx−∫\ seg^3x\, dx &\ text {Reescribir.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x+\ ln|\ sec x+\ tan x|−∫\ seg^3x\, dx. & &\ text {Evaluar} ∫\ sec x\, dx. \ end {alinear*}\)
Ahora tenemos
∫sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|−∫sec3xdx.
Dado que la integral∫sec3xdx ha reaparecido en el lado derecho, podemos resolver∫sec3xdx por agregarla a ambos lados. Al hacerlo, obtenemos
2∫sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|.
Dividiendo por 2, llegamos a
∫sec3xdx=12secxtanx+12ln|secx+tanx|+C
Evaluar∫tan3xsec7xdx.
- Pista
-
Use Ejemplo7.2.9 como guía.
- Contestar
-
∫tan3xsec7xdx=19sec9x−17sec7x+C
Fórmulas de reducción
Evaluar∫secnxdx para valores den donden es impar requiere integración por partes. Además, también debemos conocer el valor de∫secn−2xdx evaluar∫secnxdx. La evaluación de∫tannxdx también requiere poder integrarse∫tann−2xdx. Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencia. Estas reglas nos permiten sustituir la integral de un poder desecx otanx por la integral de un poder inferior desecx otanx.
∫secnxdx=1n−1secn−2xtanx+n−2n−1∫secn−2xdx
∫tannxdx=1n−1tann−1x−∫tann−2xdx
La primera regla de reducción de potencia puede verificarse aplicando integración por partes. El segundo puede verificarse siguiendo la estrategia esbozada para integrar poderes impares detanx.
Aplicar una fórmula de reducción para evaluar∫sec3xdx.
Solución: Al aplicar la primera fórmula de reducción, obtenemos
\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ seg^3x\, dx &=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x+\ frac {1} {2} ∫\ seg x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x+\ frac {1} {2}\ ln|\ seg x+\ bronceado x|+C.\ final {alinear*}\)
Evaluar∫tan4xdx.
Solución: Aplicando la fórmula de reducción para∫tan4xdx tenemos
\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^4x\, dx &=\ frac {1} {3}\ tan^3x−∫\ tan^2x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x− (\ tan x−∫\ tan^0x\, dx) &\ text {Aplicar la fórmula de reducción a} ∫\ tan^2x\, dx.\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+1\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+x+C & &\ text {Evaluar} 1\, dx\ end {alinear*}\)
Aplicar la fórmula de reducción a∫sec5xdx.
- Pista
-
Usa la fórmula de reducción 1 y dejan=5.
- Contestar
-
∫sec5xdx=14sec3xtanx+34∫sec3x
Conceptos clave
Integrales de funciones trigonométricas se pueden evaluar mediante el uso de diversas estrategias. Estas estrategias incluyen
- Aplicar identidades trigonométricas para reescribir la integral para que pueda ser evaluada poru -sustitución
- Uso de la integración por partes
- Aplicación de identidades trigonométricas para reescribir productos de senos y cosenos con diferentes argumentos como la suma de funciones individuales de seno y coseno
- Aplicación de fórmulas de reducción
Ecuaciones Clave
Integrar productos que involucrensin(ax),sin(bx),cos(ax), ycos(bx), utilicen las sustituciones.
- Productos sinusoidales
sin(ax)sin(bx)=12cos((a−b)x)−12cos((a+b)x)
- Productos de seno y coseno
sin(ax)cos(bx)=12sin((a−b)x)+12sin((a+b)x)
- Productos Cosine
cos(ax)cos(bx)=12cos((a−b)x)+12cos((a+b)x)
- Fórmula de reducción de potencia
∫secnxdx=1n−1secn−2xtanx+n−2n−1∫secn−2xdx
- Fórmula de reducción de potencia
∫tannxdx=1n−1tann−1x−∫tann−2xdx
Glosario
- fórmula de reducción de potencia
- una regla que permite cambiar una integral de una potencia de una función trigonométrica por una integral que involucra una potencia inferior
- integral trigonométrica
- una integral que involucra potencias y productos de funciones trigonométricas