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LibreTexts Español

7.2: Integrales trigonométricas

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Resolver problemas de integración que involucran productos y poderes desinx ycosx.
  • Resolver problemas de integración que involucran productos y poderes detanx ysecx.
  • Utilice fórmulas de reducción para resolver integrales trigonométricas.

En esta sección analizamos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se denominan integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, la cual se presenta en la Sustitución Trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizás no podamos integrar en expresiones que involucren funciones trigonométricas, las cuales podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen frecuentemente cuando estudiamos sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos posteriormente. Comencemos nuestro estudio con productos desinx ycosx.

Integración de Productos y Poderes de pecado x y cos x

Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias desinx ecosx implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la formasinjxcosxdx ocosjxsinxdx. Después de reescribir estas integrales, las evaluamos usandou -sustitución. Antes de describir el proceso general en detalle, echemos un vistazo a los siguientes ejemplos.

Ejemplo7.2.1: Integrating cosjxsinxdx

Evaluarcos3xsinxdx.

Solución

Usau -sustitución y dejau=cosx. En este caso,du=sinxdx.

Por lo tanto,

cos3xsinxdx=u3du=14u4+C=14cos4x+C.

Ejercicio7.2.1

Evaluarsin4xcosxdx.

Pista

Letu=sinx.

Contestar

sin4xcosxdx=15sin5x+C

Ejemplo7.2.2: A Preliminary Example: Integrating cosjxsinkxdx where k is Odd

Evaluarcos2xsin3xdx.

Solución

Para convertir esta integral en integrales de la formacosjxsinxdx, reescribesin3x=sin2xsinx y realiza la sustituciónsin2x=1cos2x.

Por lo tanto,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^2x\ sen ^3x\, dx &=∫\ cos^2x (1−\ cos^2x)\ sin x\, dx & &\ text {Dejar} u=\ cos x;\;\ text {entonces} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=−u^2 (1−u^2)\, du\\ [4pt]
&=∫ (u^4−u^2)\, du\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5} u^5−\ frac {1} {3} u^3+c\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5}\ cos^5x−\ frac {1} {3}\ cos^3x+C.\ end {align*}\)

Ejercicio7.2.2

Evaluarcos3xsin2xdx.

Pista

Escribecos3x=cos2xcosx=(1sin2x)cosx y dejau=sinx.

Contestar

cos3xsin2xdx=13sin3x15sin5x+C

En el siguiente ejemplo, vemos la estrategia que se debe aplicar cuando sólo hay poderes pares desinx ycosx. Para integrales de este tipo, las identidades

sin2x=1212cos(2x)=1cos(2x)2

y

cos2x=12+12cos(2x)=1+cos(2x)2

son invaluables. Estas identidades a veces se conocen como identidades reductoras de energía y pueden derivarse de la identidad de doble ángulocos(2x)=cos2xsin2x y la identidad pitagóricacos2x+sin2x=1.

Ejemplo7.2.3: Integrating an Even Power of sinx

Evaluarsin2xdx.

Solución

Para evaluar esta integral, usemos la identidad trigonométricasin2x=1212cos(2x). Así,

sin2xdx=(1212cos(2x))dx=12x14sin(2x)+C.

Ejercicio7.2.3

Evaluarcos2xdx.

Pista

cos2x=12+12cos(2x)

Contestar

cos2xdx=12x+14sin(2x)+C

El proceso general para integrar productos de poderes desinx ycosx se resume en el siguiente conjunto de lineamientos.

Estrategia de Resolución de Problemas: Integración de Productos y Poderessinx and cosx

Para integrarcosjxsinkxdx utilizar las siguientes estrategias:

1. Sik es impar, reescribesinkx=sink1xsinx y usa la identidadsin2x=1cos2x para reescribirsink1x en términos decosx. Integrar usando la sustituciónu=cosx. Esta sustitución hacedu=sinxdx.

2. Sij es impar, reescribecosjx=cosj1xcosx y usa la identidadcos2x=1sin2x para reescribircosj1x en términos desinx. Integrar usando la sustituciónu=sinx. Esta sustitución hacedu=cosxdx. (Nota: Si ambosj yk son impares, se puede utilizar ya sea la estrategia 1 o la estrategia 2.)

3. Si ambosj yk son parejos, usesin2x=1cos(2x)2 ycos2x=1+cos(2x)2. Después de aplicar estas fórmulas, simplifique y vuelva a aplicar las estrategias 1 a 3 según corresponda.

Ejemplo7.2.4: Integrating cosjxsinkxdx where k is Odd

Evaluarcos8xsin5xdx.

Solución

Dado que el encendidosinx es impar, use la estrategia 1. Por lo tanto,

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ cos^8x\ sin^5x\, dx &=∫\ cos^8x\ sin^4x\ sin x\, dx & &\ text {Romper}\ sin x.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (\ sin^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ texto {Reescribir}\ sin^4x= (\ sin^2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (1−\ cos^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text { Sustituir}\ sin^2x=1−\ cos^2x.\\ [4pt]
&=u^8 (1−u^2) ^2 (−du) &\ text {Dejar} u=\ cos x\ text {y} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=∫ (−u^8+2u^ {10} −u^ {12}) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9} u^9+\ frac {2} {11} u^ {11} −\ frac {1} {13} u^ {13} +C & & ;\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9}\ cos^9x+\ frac {2} {11}\ cos^ {11} x−\ frac {1} {13}\ cos^ {13} x+C & &\ text {Sustituto} u=\ cos x.\ end {align*}\)

Ejemplo7.2.5: Integrating cosjxsinkxdx where k and j are Even

Evaluarsin4xdx.

Solución: Dado que el encendidosinx es parejo(k=4) y el encendidocosx es parejo(j=0), debemos usar la estrategia 3. Por lo tanto,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ sin^4x\, dx &=∫\ izquierda (\ sin^2x\ derecha) ^2\, dx & &\ text {Reescribir}\ sen ^4x=\ izquierda (\ sin^2x\ derecha) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ derecha) ^2\, dx & &\ texto {Sustituto}\ sin^2x=\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x).\\ [4pt]
& =∫\ izquierda (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ derecha)\, dx & &\ text {Expandir}\ izquierda (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ derecha) ^2.\ [4pt]
&=∫\ izquierda (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ izquierda (\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x)\ derecha)\ derecha)\, dx & &\ text {Desde}\ cos^2 (2x )\ text {tiene un poder par, sustituto}\ cos^2 (2x) =\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x).\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {3} {8} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x))\ derecha)\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ frac {3} {8} x−\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C & &\ text { Evaluar la integral.}\\ [4pt]\ end {align*}\)

Ejercicio7.2.4

Evaluarcos3xdx.

Pista

Estrategia de uso 2. Escribircos3x=cos2xcosx y sustituircos2x=1sin2x.

Contestar

cos3xdx=sinx13sin3x+C

Ejercicio7.2.5

Evaluarcos2(3x)dx.

Pista

Estrategia de uso 3. Sustitutocos2(3x)=12+12cos(6x)

Contestar

cos2(3x)dx=12x+112sin(6x)+C

En algunas áreas de la física, como la mecánica cuántica, el procesamiento de señales, y el cálculo de series de Fourier, a menudo es necesario integrar productos que incluyensin(ax),sin(bx),cos(ax), ycos(bx). Estas integrales se evalúan aplicando identidades trigonométricas, como se describe en la siguiente regla.

Regla: Integración de Productos de Senos y Cosenos de Diferentes Ángulos

Integrar productos que involucransin(ax),sin(bx),cos(ax), ycos(bx), usar las sustituciones

sin(ax)sin(bx)=12cos((ab)x)12cos((a+b)x)

sin(ax)cos(bx)=12sin((ab)x)+12sin((a+b)x)

cos(ax)cos(bx)=12cos((ab)x)+12cos((a+b)x)

Estas fórmulas pueden derivarse de las fórmulas de suma de ángulo para seno y coseno.

Ejemplo7.2.6: Evaluating sin(ax)cos(bx)dx

Evaluarsin(5x)cos(3x)dx.

Solución: Aplicar la identidadsin(5x)cos(3x)=12sin(2x)+12sin(8x). Así,

sin(5x)cos(3x)dx=12sin(2x)+12sin(8x)dx=14cos(2x)116cos(8x)+C.

Ejercicio7.2.6

Evaluarcos(6x)cos(5x)dx.

Pista

Sustitutocos(6x)cos(5x)=12cosx+12cos(11x).

Contestar

cos(6x)cos(5x)dx=12sinx+122sin(11x)+C

Integración de Productos y Poderes detanx ysecx

Antes de discutir la integración de productostanx y poderes de ysecx, es útil recordar las integrales que involucrantanx y yasecx hemos aprendido:

1. sec2xdx=tanx+C

2. secxtanxdx=secx+C

3. tanxdx=ln|secx|+C

4. secxdx=ln|secx+tanx|+C.

Para la mayoría de integrales de productos y potencias detanx ysecx, reescribimos la expresión que deseamos integrar como la suma o diferencia de integrales de la formatanjxsec2xdx osecjxtanxdx. Como vemos en el siguiente ejemplo, podemos evaluar estas nuevas integrales mediante el uso de u-substitución.

Ejemplo7.2.7: Evaluating secjxtanxdx

Evaluarsec5xtanxdx.

Solución: Comience por reescribirsec5xtanx comosec4xsecxtanx.

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ seg^5x\ tan x\, dx &= ∫\ seg^4 x\ seg x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=u^4\, du &\ text {Dejar} u=\ seg x;\,\ texto {entonces},\, du=\ seg x tan x\, dx.\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5} U^5+C & &\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5}\ seg^5 x+C & &\ text {Sustituto}\ seg x=u.\ end {alinear*}\)

Puedes leer alguna información interesante en este sitio web para conocer una integral común que involucra a la secante.

Ejercicio7.2.7

Evaluartan5xsec2xdx.

Pista

Letu=tanx ydu=sec2x.

Contestar

tan5xsec2xdx=16tan6x+C

Ahora echamos un vistazo a las diversas estrategias para integrar productos y poderes desecx ytanx.

Estrategia de resolución de problemas: integracióntankxsecjxdx

Para integrartankxsecjxdx, utilizar las siguientes estrategias:

1. Sij es par yj2, reescribirsecjx=secj2xsec2x y usarsec2x=tan2x+1 para reescribirsecj2x en términos detanx. Letu=tanx ydu=sec2x.

2. Sik es impar yj1, reescribirtankxsecjx=tank1xsecj1xsecxtanx y usartan2x=sec2x1 para reescribirtank1x en términos desecx. Letu=secx ydu=secxtanxdx. (Nota: Sij es par yk es impar, entonces se puede usar la estrategia 1 o la estrategia 2.)

3. Sik es impar dondek3 yj=0, reescribirtankx=tank2xtan2x=tank2x(sec2x1)=tank2xsec2xtank2x. Puede ser necesario repetir este proceso en eltank2x término.

4. Sik es par yj es impar, entoncestan2x=sec2x1 utilícelo para expresartankx en términos desecx. Utilice la integración por partes para integrar potencias impares desecx.

Ejemplo7.2.8: Integrating tankxsecjxdx when j is Even

Evaluartan6xsec4xdx.

Solución

Como el encendidosecx es parejo, reescribesec4x=sec2xsec2x y usasec2x=tan2x+1 para reescribir el primerosec2x en términos detanx. Así,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^6x\ seg^4x\, dx &=∫\ tan^6x (\ tan^2x+1)\ seg^2x\, dx\\ [4pt]
&=u^6 (u^2+1)\, du & &\ text {Dejar} u=\ tan x\ texto {y} du=\ seg^2x.\ [4pt]
&=∫ (u^8+u^6)\, du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9} u^9+\ frac {1} {7} u^ 7+C & &\ text {Evaluar la integral.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9}\ tan^9x+\ frac {1} {7}\ tan^7x+C. & &\ text {Sustituto}\ tan x=u.\ end {align*}\)

Ejemplo7.2.9: Integrating tankxsecjxdx when k is Odd

Evaluartan5xsec3xdx.

Solución

Como el encendidotanx es impar, comience por reescribirtan5xsec3x=tan4xsec2xsecxtanx. Así,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^5x\ seg^3x\, dx&=\ tan^4x\ seg^2x\ seg x\ tan x.\\ [4pt]
&=∫ (\ tan^2x) ^2\ seg^2x\ seg x\ tan x\, dx & &\ text {Escribir}\ tan^4x =(\ tan^2x) ^2.\ [4pt]
&=∫ (\ seg^2x−1) ^2\ seg^2x\ seg x\ tan x\, dx & &\ text {Usar}\ tan^2x=\ seg^2x−1.\\ [4pt]
&=∫ (u^2−1) ^2u^2du & &\ text {Dejar} u=\ sec x\ texto {y} du=\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=∫ (u^6−2u^4+u^2) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {7} ^7−\ frac {2} {5} u^5+\ frac {1} {3} u^3+C &\ text {Integrar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1 } {7}\ seg^7x−\ frac {2} {5}\ seg^5x+\ frac {1} {3}\ seg^3x+C & &\ text {Sustituto}\ sec x=u.\ end {alinear*}\)

Ejemplo7.2.10: Integrating tankxdx where k is Odd and k3

Evaluartan3xdx.

Solución

Empezar por reescribirtan3x=tanxtan2x=tanx(sec2x1)=tanxsec2xtanx. Así,

\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ tan^3x\, dx &= ∫ (\ tan x\ seg^2x−\ tan x)\, dx\\ [4pt]
&=∫\ tan x\ seg^2x\, dx−∫\ tan x\, dx\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ tan^2x−\ ln |\ x|seg +C.\ final {alinear*}\)

Para la primera integral, usa la sustituciónu=tanx. Para la segunda integral, usa la fórmula.

Ejemplo7.2.11: Integrating sec3xdx

Integrarsec3xdx.

Solución

Esta integral requiere integración por partes. Para comenzar, vamosu=secx ydv=sec2x. Estas elecciones hacendu=secxtanx yv=tanx. Por lo tanto,

\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ seg^3x\, dx &=\ sec x\ tan x−∫\ tan x\ seg x\ seg x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x−∫\ tan^2x\ seg x\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ seg x\ xtan (\ seg x\ x−∫ (\ ^2x−1)\ seg x\, dx & &\ texto {Sustituto}\ tan ^2x=\ seg^2x−1.\\ [4pt]
& amp; =\ sec x\ tan x+∫\ sec x\, dx−∫\ seg^3x\, dx &\ text {Reescribir.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x+\ ln|\ sec x+\ tan x|−∫\ seg^3x\, dx. & &\ text {Evaluar} ∫\ sec x\, dx. \ end {alinear*}\)

Ahora tenemos

sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|sec3xdx.

Dado que la integralsec3xdx ha reaparecido en el lado derecho, podemos resolversec3xdx por agregarla a ambos lados. Al hacerlo, obtenemos

2sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|.

Dividiendo por 2, llegamos a

sec3xdx=12secxtanx+12ln|secx+tanx|+C

Ejercicio7.2.8

Evaluartan3xsec7xdx.

Pista

Use Ejemplo7.2.9 como guía.

Contestar

tan3xsec7xdx=19sec9x17sec7x+C

Fórmulas de reducción

Evaluarsecnxdx para valores den donden es impar requiere integración por partes. Además, también debemos conocer el valor desecn2xdx evaluarsecnxdx. La evaluación detannxdx también requiere poder integrarsetann2xdx. Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencia. Estas reglas nos permiten sustituir la integral de un poder desecx otanx por la integral de un poder inferior desecx otanx.

Regla: Fórmulas de reducción parasecnxdx and tannxdx

secnxdx=1n1secn2xtanx+n2n1secn2xdx

tannxdx=1n1tann1xtann2xdx

La primera regla de reducción de potencia puede verificarse aplicando integración por partes. El segundo puede verificarse siguiendo la estrategia esbozada para integrar poderes impares detanx.

Ejemplo7.2.12: Revisiting sec3xdx

Aplicar una fórmula de reducción para evaluarsec3xdx.

Solución: Al aplicar la primera fórmula de reducción, obtenemos

\ (\ begin {alinear*}\ displaystyle ∫\ seg^3x\, dx &=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x+\ frac {1} {2} ∫\ seg x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x+\ frac {1} {2}\ ln|\ seg x+\ bronceado x|+C.\ final {alinear*}\)

Ejemplo7.2.13: Using a Reduction Formula

Evaluartan4xdx.

Solución: Aplicando la fórmula de reducción paratan4xdx tenemos

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^4x\, dx &=\ frac {1} {3}\ tan^3x−∫\ tan^2x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x− (\ tan x−∫\ tan^0x\, dx) &\ text {Aplicar la fórmula de reducción a} ∫\ tan^2x\, dx.\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+1\, dx & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+x+C & &\ text {Evaluar} 1\, dx\ end {alinear*}\)

Ejercicio7.2.9

Aplicar la fórmula de reducción asec5xdx.

Pista

Usa la fórmula de reducción 1 y dejan=5.

Contestar

sec5xdx=14sec3xtanx+34sec3x

Conceptos clave

Integrales de funciones trigonométricas se pueden evaluar mediante el uso de diversas estrategias. Estas estrategias incluyen

  1. Aplicar identidades trigonométricas para reescribir la integral para que pueda ser evaluada poru -sustitución
  2. Uso de la integración por partes
  3. Aplicación de identidades trigonométricas para reescribir productos de senos y cosenos con diferentes argumentos como la suma de funciones individuales de seno y coseno
  4. Aplicación de fórmulas de reducción

Ecuaciones Clave

Integrar productos que involucrensin(ax),sin(bx),cos(ax), ycos(bx), utilicen las sustituciones.

  • Productos sinusoidales

sin(ax)sin(bx)=12cos((ab)x)12cos((a+b)x)

  • Productos de seno y coseno

sin(ax)cos(bx)=12sin((ab)x)+12sin((a+b)x)

  • Productos Cosine

cos(ax)cos(bx)=12cos((ab)x)+12cos((a+b)x)

  • Fórmula de reducción de potencia

secnxdx=1n1secn2xtanx+n2n1secn2xdx

  • Fórmula de reducción de potencia

tannxdx=1n1tann1xtann2xdx

Glosario

fórmula de reducción de potencia
una regla que permite cambiar una integral de una potencia de una función trigonométrica por una integral que involucra una potencia inferior
integral trigonométrica
una integral que involucra potencias y productos de funciones trigonométricas

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