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14.5E: Ejercicios para la Sección 14.5

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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En los ejercicios 1 - 6, utilice la información proporcionada para resolver el problema.

1) Dejar$$w(x,y,z)=xy\cos z,$$ dónde$$x=t,y=t^2,$$ y$$z=\arcsin t.$$ Encontrar$$\dfrac{dw}{dt}$$.

Contestar
$$\dfrac{dw}{dt}=y\cos z+x\cos z(2t)−\dfrac{xy\sin z}{\sqrt{1−t^2}}$$

2) Dejar$$w(t,v)=e^{tv}$$ dónde$$t=r+s$$ y$$v=rs$$. Encontrar$$\dfrac{∂w}{∂r}$$ y$$\dfrac{∂w}{∂s}$$.

3) Si$$w=5x^2+2y^2, \quad x=−3u+v,$$ y$$y=u−4v,$$ encontrar$$\dfrac{∂w}{∂u}$$ y$$\dfrac{∂w}{∂v}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂w}{∂u}=−30x+4y \quad\ = \quad -30(-3u + v) + 4(u - 4v) \quad = \quad 90u -30v + 4u - 16v \quad = \quad 94u - 46v$$,
$$\dfrac{∂w}{∂v}=10x−16y \quad\ = \quad 10(-3u + v) - 16(u - 4v) \quad = \quad -30u +10v - 16u + 64v \quad = \quad -46u + 74v$$

4) Si$$w=xy^2,x=5\cos(2t),$$ y$$y=5\sin(2t)$$, encuentra$$\dfrac{∂w}{∂t}$$.

5) Si$$f(x,y)=xy,x=r\cos θ,$$ y$$y=r\sin θ$$, encontrar$$\dfrac{∂f}{∂r}$$ y expresar la respuesta en términos de$$r$$ y$$θ$$.

Contestar
$$\dfrac{∂f}{∂r}=r\sin(2θ)$$

6) Supongamos$$f(x,y)=x+y,u=e^x\sin y,\quad x=t^2$$ y$$y=πt$$, dónde$$x=r\cos θ$$ y$$y=r\sin θ$$. Encuentra$$\dfrac{∂f}{∂θ}$$.

En los ejercicios 7 - 12, encuentra de dos$$\dfrac{dz}{dt}$$ maneras, primero usando la regla de la cadena y luego por sustitución directa.

7)$$z=x^2+y^2, \quad x=t,y=t^2$$

Contestar
$$\dfrac{dz}{dt}=2t+4t^3$$

8)$$z=\sqrt{x^2+y^2},\quad y=t^2,x=t$$

9)$$z=xy,\quad x=1−\sqrt{t},y=1+\sqrt{t}$$

Contestar
$$\dfrac{dz}{dt}=−1$$

10)$$z=\frac{x}{y},\quad x=e^t,y=2e^t$$

11)$$z=\ln(x+y), \quad x=e^t,y=e^t$$

Contestar
$$\dfrac{dz}{dt}=1$$

12)$$z=x^4,\quad x=t,y=t$$

13) Dejar$$w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, \quad x=cost,y=sint,$$ y$$z=e^t$$. $$w$$Expresar en función de$$t$$ y encontrar$$\dfrac{dw}{dt}$$ directamente. Luego, encuentra$$\dfrac{dw}{dt}$$ usando la regla de la cadena.

Contestar
$$\dfrac{dw}{dt}=2e^{2t}$$en ambos casos

14) Dejar$$z=x^2y,$$ dónde$$x=t^2$$ y$$y=t^3$$. Encuentra$$\dfrac{dz}{dt}$$.

15) Dejar$$u=e^x\sin y,$$ dónde$$x=-\ln 2t$$ y$$y=πt$$. Encuentra$$\dfrac{du}{dt}$$ cuándo$$x=\ln 2$$ y$$y=\frac{π}{4}$$.

Contestar
$$\dfrac{du}{dt} = \sqrt{2}\big(\pi - 4\big)$$

En los ejercicios 16 - 33, encuentra$$\dfrac{dy}{dx}$$ usando derivadas parciales.

16)$$\sin(6x)+\tan(8y)+5=0$$

17)$$x^3+y^2x−3=0$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{3x^2+y^2}{2xy}$$

18)$$\sin(x+y)+\cos(x−y)=4$$

19)$$x^2−2xy+y^4=4$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y−x}{−x+2y^3}$$

20)$$xe^y+ye^x−2x^2y=0$$

21)$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=−\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$$

22)$$x\cos(xy)+y\cos x=2$$

23)$$e^{xy}+ye^y=1$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{ye^{xy}}{xe^{xy}+e^y(1+y)}$$

24)$$x^2y^3+\cos y=0$$

25) Encontrar$$\dfrac{dz}{dt}$$ usando la regla de la cadena donde$$z=3x^2y^3,\,\,x=t^4,$$ y$$y=t^2$$.

Contestar
$$\dfrac{dz}{dt}=42t^{13}$$

26) Let$$z=3\cos x−\sin(xy),x=\frac{1}{t},$$ and$$y=3t.$$ Find$$\dfrac{dz}{dt}$$.

27) Dejar$$z=e^{1−xy},\,\, x=t^{1/3},$$ y$$y=t^3$$. Encuentra$$\dfrac{dz}{dt}$$.

Contestar
$$\dfrac{dz}{dt}=−\frac{10}{3}t^{7/3}×e^{1−t^{10/3}}$$

28) Encontrar$$\dfrac{dz}{dt}$$ por la regla de la cadena dónde$$z=\cosh^2(xy),\,\,x=\frac{1}{2}t,$$ y$$y=e^t$$.

29) Let$$z=\dfrac{x}{y},\,\, x=2\cos u,$$ y$$y=3\sin v.$$ Find$$\dfrac{∂z}{∂u}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂v}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂u}=\dfrac{−2\sin u}{3\sin v}$$y$$\dfrac{∂z}{∂v}=\dfrac{−2\cos u\cos v}{3\sin^2v}$$

30) Vamos$$z=e^{x^2y}$$, dónde$$x=\sqrt{uv}$$ y$$y=\frac{1}{v}$$. Encontrar$$\dfrac{∂z}{∂u}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂v}$$.

31) Si$$z=xye^{x/y},\,\, x=r\cos θ,$$ y$$y=r\sin θ$$, encontrar$$\dfrac{∂z}{∂r}$$ y$$\dfrac{∂z}{∂θ}$$ cuándo$$r=2$$ y$$θ=\frac{π}{6}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂z}{∂r}=\sqrt{3}e^{\sqrt{3}}, \dfrac{∂z}{∂θ}=(2−4\sqrt{3})e^{\sqrt{3}}$$

32) Encuentra$$\dfrac{∂w}{∂s}$$ si$$w=4x+y^2+z^3,\,\,x=e^{rs^2},\,\,y=\ln(\frac{r+s}{t}),$$ y$$z=rst^2$$.

33) Si$$w=\sin(xyz),\,\,x=1−3t,\,\,y=e^{1−t},$$ y$$z=4t$$, encuentra$$\dfrac{∂w}{∂t}$$.

Contestar
$$\dfrac{∂w}{∂t}=-3yz\cos(xyz)−xze^{1−t}\cos(xyz)+4xy\cos(xyz)$$

En los ejercicios 34 - 36, usa esta información:$$f(x,y)$$ Se dice que una función es homogénea de grado$$n$$ si$$f(tx,ty)=t^nf(x,y)$$. Para todas las funciones homogéneas de grado$$n$$, la siguiente ecuación es cierta:$$x\dfrac{∂f}{∂x}+y\dfrac{∂f}{∂y}=nf(x,y)$$. Demostrar que la función dada es homogénea y verificar que$$x\dfrac{∂f}{∂x}+y\dfrac{∂f}{∂y}=nf(x,y)$$.

34)$$f(x,y)=3x^2+y^2$$

35)$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

Contestar
$$f(tx,ty)=\sqrt{t^2x^2+t^2y^2}=t^1f(x,y), \quad \dfrac{∂f}{∂y}=x\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{−1/2}×2x+y\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{−1/2}×2y=1f(x,y)$$

36)$$f(x,y)=x^2y−2y^3$$

37) El volumen de un cilindro circular derecho viene dado por$$V(x,y)=πx^2y,$$ donde$$x$$ esta el radio del cilindro y$$y$$ es la altura del cilindro. Supongamos$$x$$ y$$y$$ son funciones de$$t$$ dadas por$$x=\frac{1}{2}t$$ y$$y=\frac{1}{3}t$$ así que$$x$$ y ambas$$y$$ van aumentando con el tiempo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen cuando$$x=2$$ y$$y=5$$? Supongamos que el tiempo se mide en segundos.

Contestar
$$\ddfrac{dV}{dt} = \frac{34π}{3}\,\text{units}^3/\text{s}$$

38) La presión$$P$$ de un gas está relacionada con el volumen y la temperatura por la fórmula$$PV=kT$$, donde la temperatura se expresa en kelvin. Expresar la presión del gas en función de ambos$$V$$ y$$T$$. Encuentra$$\dfrac{dP}{dt}$$ cuando$$k=1, \dfrac{dV}{dt}=2$$ cm 3 /min,$$\dfrac{dT}{dt}=12$$ K/min,$$V=20 cm^3$$, y$$T=20°F$$.

39) El radio de un cono circular derecho aumenta a$$3$$ cm/min mientras que la altura del cono disminuye a$$2$$ cm/min. Encuentra la tasa de cambio del volumen del cono cuando el radio es$$13$$ cm y la altura es$$18$$ cm.

Contestar
$$\dfrac{dV}{dt}=\frac{1066π}{3}\,\text{cm}^3/\text{min}$$

40) El volumen de un cono frustum viene dado por la fórmula$$V=\frac{1}{3}πz(x^2+y^2+xy),$$ donde$$x$$ está el radio del círculo más pequeño,$$y$$ es el radio del círculo más grande, y$$z$$ es la altura del cono (ver figura). Encuentra la tasa de cambio del volumen de este tronco cuando$$x=10$$ en.,$$y=12$$ en., y$$z=18$$ en.

41) Una caja cerrada tiene la forma de un sólido rectangular con dimensiones$$x,y,$$ y$$z$$. (Las dimensiones están en pulgadas.) Supongamos que cada dimensión está cambiando a la velocidad de$$0.5$$ in. /min. Encuentre la tasa de cambio de la superficie total de la caja cuando esté$$x=2$$ en.,$$y=3$$ in., y$$z=1$$ en.

Contestar
$$\dfrac{dA}{dt}=12\, \text{in.}^2/\text{min}$$

42) La resistencia total en un circuito que tiene tres resistencias individuales representadas por$$x,y,$$ y$$z$$ viene dada por la fórmula$$R(x,y,z)=\dfrac{xyz}{yz+xz+xy}$$. Supongamos que en un momento dado la$$x$$ resistencia es$$100\,Ω$$, la$$y$$ resistencia es$$200\,Ω,$$ y la$$z$$ resistencia es$$300\,Ω.$$ También, supongamos que la$$x$$ resistencia está cambiando a una velocidad de$$2\,Ω/\text{min},$$ la$$y$$ resistencia está cambiando a la velocidad de$$1\,Ω/\text{min}$$, y la $$z$$la resistencia no tiene ningún cambio. Encuentra la tasa de cambio de la resistencia total en este circuito en este momento.

43) La temperatura$$T$$ en un punto$$(x,y)$$ es$$T(x,y)$$ y se mide usando la escala Celsius. Una mosca se arrastra para que su posición después de$$t$$ segundos sea dada por$$x=\sqrt{1+t}$$ y$$y=2+\frac{1}{3}t$$, donde$$x$$ y$$y$$ se midan en centímetros. La función de temperatura satisface$$T_x(2,3)=4$$ y$$T_y(2,3)=3$$. ¿Qué tan rápido aumenta la temperatura en el camino de la mosca después de$$3$$ segundos?

Contestar
$$2$$°C/seg

44) Los$$y$$ componentes$$x$$ y de un fluido que se mueve en dos dimensiones vienen dados por las siguientes funciones:$$u(x,y)=2y$$ y$$v(x,y)=−2x$$ con$$x≥0$$ y$$y≥0$$. La velocidad del fluido en el punto$$(x,y)$$ es$$s(x,y)=\sqrt{u(x,y)^2+v(x,y)^2}$$. Buscar$$\dfrac{∂s}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂s}{∂y}$$ usar la regla de la cadena.

45) Let$$u=u(x,y,z),$$ where$$x=x(w,t),\, y=y(w,t),\, z=z(w,t),\, w=w(r,s)$$, y$$t=t(r,s).$$ Use un diagrama de árbol y la regla de cadena para encontrar una expresión para$$\dfrac{∂u}{∂r}$$.

Contestar
$$\frac{∂u}{∂r}=\frac{∂u}{∂x}(\frac{∂x}{∂w}\frac{∂w}{∂r}+\frac{∂x}{∂t}\frac{∂t}{∂r})+\frac{∂u}{∂y}(\frac{∂y}{∂w}\frac{∂w}{∂r}+\frac{∂y}{∂t}\frac{∂t}{∂r})+\frac{∂u}{∂z}(\frac{∂z}{∂w}\frac{∂w}{∂r}+\frac{∂z}{∂t}\frac{∂t}{∂r})$$

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