15.0: Preludio a la integración múltiple

En este capítulo ampliamos el concepto de una integral definida de una sola variable a integrales dobles y triples de funciones de dos y tres variables, respectivamente. Examinamos aplicaciones que implican integración para calcular volúmenes, masas y centroides de regiones más generales. También veremos cómo el uso de otros sistemas de coordenadas (como las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas) facilita el cálculo de múltiples integrales sobre algunos tipos de regiones y funciones. Como ejemplo, utilizaremos coordenadas polares para encontrar el volumen de estructuras como L'hemisfèric (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): La Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia, España, tiene una estructura única a lo largo de un eje de apenas dos kilómetros que antiguamente era el lecho del río Turia. El L'hemisfèric cuenta con un cine IMAX con tres sistemas de proyecciones digitales modernas sobre una pantalla cóncava de 900 metros cuadrados. Se ha hecho un techo ovalado de más de 100 metros de largo para que parezca un enorme ojo humano que cobra vida y se abre al mundo como el “Ojo de la Sabiduría”. (crédito: modificación de obra de Javier Yaya Tur, Wikimedia Commons)

En el capítulo anterior, se discutió el cálculo diferencial con múltiples variables independientes. Ahora examinamos el cálculo integral en múltiples dimensiones. Así como una derivada parcial nos permite diferenciar una función con respecto a una variable mientras mantiene constantes las otras variables, veremos que una integral iterada nos permite integrar una función con respecto a una variable mientras mantiene constantes las otras variables.