16.0: Preludio al Cálculo Vectorial

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Los huracanes son tormentas enormes que pueden producir enormes cantidades de daños a la vida y a la propiedad, especialmente cuando llegan a tierra. Predecir dónde y cuándo golpearán y qué tan fuertes serán los vientos es de gran importancia para prepararse para la protección o evacuación. Los científicos confían en estudios de campos de vectores rotacionales para sus pronósticos.

Una fotografía de un huracán, que muestra la rotación alrededor de su ojo. — Figura\(\PageIndex{1}\): Los huracanes se forman a partir de vientos giratorios impulsados por temperaturas cálidas sobre el océano Los meteorólogos pronostican el movimiento de los huracanes al estudiar los campos vectoriales rotativos de su velocidad del viento. Se muestra el ciclón Catarina en el Océano Atlántico Sur en 2004, visto desde la Estación Espacial Internacional. (crédito: modificación de obra por parte de la NASA)

En este capítulo aprendemos a modelar nuevos tipos de integrales sobre campos como campos magnéticos, campos gravitacionales o campos de velocidad. También aprendemos a calcular el trabajo realizado en una partícula cargada que viaja a través de un campo magnético, el trabajo realizado en una partícula con masa viajando a través de un campo gravitacional, y el volumen por unidad de tiempo de agua que fluye a través de una red caída en un río.

Todas estas aplicaciones se basan en el concepto de campo vectorial, que exploramos en este capítulo. Los campos vectoriales tienen muchas aplicaciones porque pueden ser utilizados para modelar campos reales como campos electromagnéticos o gravitacionales. Una comprensión profunda de la física o la ingeniería es imposible sin una comprensión de los campos vectoriales. Además, los campos vectoriales tienen propiedades matemáticas que son dignas de estudio por derecho propio. En particular, los campos vectoriales pueden ser utilizados para desarrollar varias versiones de dimensiones superiores del Teorema Fundamental del Cálculo.