8.1: Secuencias

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una secuencia?
• ¿Qué significa que una secuencia converja?
• ¿Qué significa que una secuencia diverja?

Nos encontramos con secuencias todos los días. Sus pagos mensuales de servicios públicos, los intereses anuales que gana por las inversiones, la cantidad que gasta en abarrotes cada semana; todos son ejemplos de secuencias. Otras secuencias con las que puede estar familiarizado incluyen la secuencia de Fibonacci\(1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \text{,}\) donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, y los números triangulares\(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \ldots \text{,}\) el número de vértices en los triángulos mostrados en la Figura 8.1.1.

Figura 8.1.1. Números triangulares

Las secuencias de enteros son de tal interés para los matemáticos y otros que tienen una revista ¹ dedicada a ellas y una enciclopedia en línea ² que cataloga una gran cantidad de secuencias enteras y sus conexiones. Las secuencias también se utilizan en grabaciones e imágenes digitales.

La revista de secuencias enteras en http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/

La Enciclopedia On-Line de Secuencias Entero en http://oeis.org/

Nuestros estudios en cálculo han tratado funciones continuas. Las secuencias modelan información discreta en lugar de continua. Estudiaremos formas de representar y trabajar con información discreta en este capítulo mientras investigamos secuencias y series, y finalmente veremos las conexiones clave entre lo discreto y lo continuo.

Vista previa de Actividad 8.1.1

Supongamos que recibes\(\dollar5000\) a través de una herencia. Usted decide invertir este dinero en un fondo que paga\(8\%\) anualmente, compuesto mensualmente. Eso significa que cada mes tu inversión gana dólares\(\frac{0.08}{12} \cdot P\) adicionales, donde\(P\) está tu saldo principal al inicio del mes. Así que en el primer mes gana tu inversión

\[ 5000 \left(\frac{0.08}{12}\right) \nonumber \]

o\(\dollar33.33\text{.}\) Si reinviertes este dinero, entonces tendrás\(\dollar5033.33\) en tu cuenta al final del primer mes. A partir de este momento, suponga que reinviertes todos los intereses que ganes.

1. ¿Cuánto interés ganarás en el segundo mes? ¿Cuánto dinero tendrás en tu cuenta al final del segundo mes?
2. Complete la Tabla 8.1.2 para determinar los intereses devengados y la cantidad total de dinero en esta inversión cada mes durante un año.

   Cuadro 8.1.2. Interés

   Mes	Intereses devengados	Cantidad total de dinero en la cuenta
   \(0\)	\(\dollar0.00\)	\(\dollar5000.00\)
   \(1\)	\(\dollar33.33\)	\(\dollar5033.33\)
   \(2\)
   \(3\)
   \(4\)
   \(5\)
   \(6\)
   \(7\)
   \(8\)
   \(9\)
   \(10\)
   \(11\)
   \(12\)

3. Como veremos más adelante, la cantidad de dinero\(P_n\) en la cuenta después del mes\(n\) es dada por
   \[ P_n = 5000\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^{n}\text{.} \nonumber \]

   Utilice esta fórmula para verificar sus cálculos en la Tabla 8.1.2. Después encuentra la cantidad de dinero en la cuenta después de 5 años.

4. ¿Cuántos años pasarán antes de que la cuenta se haya duplicado en valor a 10000 dólares?

8.1.1 Secuencias

Como ilustra Preview Activity 8.1.1, muchos fenómenos discretos pueden representarse como listas de números (como la cantidad de dinero en una cuenta durante un periodo de meses). Llamamos a cualquier lista de este tipo una secuencia. Una secuencia no es más que lista de términos en algún orden. A menudo enumeramos las entradas de la secuencia con subíndices,

\[ s_1, s_2, \ldots, s_n \ldots\text{,} \nonumber \]

donde el subíndice denota la posición de la entrada en la secuencia.

Definición 8.1.3

Una secuencia es una lista de términos\(s_1, s_2, s_3, \ldots\) en un orden especificado.

Podemos pensar en una secuencia como una función\(f\) cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos donde\(f(n) = s_n\) para cada entero positivo\(n\text{.}\) Esta vista alternativa será útil en muchas situaciones.

A menudo denotamos la secuencia

\[ s_1, s_2, s_3, \ldots \nonumber \]

by\(\{s_n\}\text{.}\) El valor\(s_n\) (alternativamente\(s(n)\)) se llama el término\(n\) th en la secuencia. Si los términos son todos 0 después de algún valor fijo de\(n\text{,}\) decimos que la secuencia es finita. De lo contrario la secuencia es infinita. Con secuencias infinitas, a menudo nos interesa su comportamiento final y la idea de secuencias convergentes.

Actividad 8.1.2

1. Dejar\(s_n\) ser el término\(n\) th en la secuencia\(1, 2, 3, \ldots\text{.}\) Encontrar una fórmula para\(s_n\) y utilizar herramientas tecnológicas apropiadas para dibujar una gráfica de entradas en esta secuencia trazando puntos de la forma\((n,s_n)\) para algunos valores de\(n\text{.}\) La mayoría de las calculadoras gráficas pueden trazar secuencias; seguir instrucciones para el TI-84.
   • En el menú MODE, resalte SEQ en la línea FUNC y presione ENTRAR.
   • En el menú Y=, ahora verás líneas para ingresar secuencias. Ingrese un valor para NMin (donde comienza la secuencia), una función para u (n) (el término\(n\) th en la secuencia) y el valor de u (NMin).
   • Establezca las coordenadas de su ventana (esto implica elegir límites para así\(n\) como las coordenadas de ventana XMin, XMax, YMin e YMax.
   • La tecla GRAPH dibujará una trama de tu secuencia.

   Utilizando tu conocimiento de límites de funciones continuas como\(x \to \infty\text{,}\) decidir si esta secuencia\(\{s_n\}\) tiene un límite como\(n \to \infty\text{.}\) Explica tu razonamiento.

2. \(s_n\)Sea el término\(n\) th en la secuencia\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\text{.}\) Encuentra una fórmula para\(s_n\text{.}\) Dibujar una gráfica de algunos puntos en esta secuencia. Utilizando tu conocimiento de límites de funciones continuas como\(x \to \infty\text{,}\) decidir si esta secuencia\(\{s_n\}\) tiene un límite como\(n \to \infty\text{.}\) Explica tu razonamiento.
3. Deja\(s_n\) ser el término\(n\) th en la secuencia\(2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots\text{.}\) Encuentra una fórmula para\(s_n\text{.}\) Usar tu conocimiento de límites de funciones continuas como\(x \to \infty\text{,}\) decidir si esta secuencia\(\{s_n\}\) tiene un límite como\(n \to \infty\text{.}\) Explica tu razonamiento.

A continuación formalizamos las ideas de la Actividad 8.1.2.

Actividad 8.1.3

1. Recordemos nuestro trabajo anterior con límites que involucran infinito en la Sección 2.8. Indicar claramente lo que significa para una función continua\(f\) tener un límite\(L\) como\(x \to \infty\text{.}\)
2. Dado que una secuencia infinita de números reales es una función desde los enteros hasta los números reales, aplica la idea de la parte (a) para explicar lo que piensas que significa que una secuencia\(\{s_n\}\) tenga un límite como\(n \to \infty\text{.}\)
3. Con base en su respuesta a la parte (b), decida si la secuencia\(\left\{ \frac{1+n}{2+n}\right\}\) tiene un límite como\(n \to \infty\text{.}\) Si es así, ¿cuál es el límite? Si no, ¿por qué no?

En las Actividades 8.1.2 y 8.1.3 investigamos una secuencia\(\{s_n\}\) que tiene un límite como\(n\) va al infinito. De manera más formal, hacemos la siguiente definición.

Definición 8.1.4

Una secuencia\(\{ s_n \}\) converge o es una secuencia convergente siempre que haya un número\(L\) tal que podamos acercarnos\(s_n\) lo más cerca que queramos tomando\(n\) suficientemente grande.\(L\) En esta situación, llamamos\(L\) al límite de la secuencia convergente y escribimos

\[ \lim_{n \to \infty} s_n = L\text{.} \nonumber \]

Si la secuencia\(\{s_n\}\) no converge, decimos que la secuencia\(\{s_n\}\) diverge.

La idea de secuencia que tiene un límite como\(n \to \infty\) es la misma que la idea de una función continua que tiene un límite como\(x \to \infty\text{.}\) La única diferencia es que las secuencias son discretas en lugar de continuas.

Actividad 8.1.4

Utilice métodos gráficos y/o algebraicos para determinar si cada una de las siguientes secuencias converge o diverge.

1. \(\displaystyle \left\{\frac{1+2n}{3n-2}\right\}\)
2. \(\displaystyle \left\{\frac{5+3^n}{10+2^n}\right\}\)
3. \(\left\{\frac{10^n}{n!}\right\}\)(donde\(!\) está el símbolo factorial y\(n! = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)\) para cualquier entero positivo\(n\) (como convención\(0!\) definimos como 1)).

8.1.2 Resumen

• Una secuencia es una lista de objetos en un orden especificado. Normalmente trabajaremos con secuencias de números reales. Podemos pensar en una secuencia como una función desde los enteros positivos hasta el conjunto de números reales.
• Una secuencia\(\{s_n\}\) de números reales converge a un número\(L\) si podemos hacer que cada valor de\(s_k\) for\(k \ge n\) sea lo más cercano que queramos\(L\) eligiendo\(n\) suficientemente grande.
• Una secuencia diverge si no converge.