9.1: Funciones de Varias Variables y Espacio Tridimensional

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Preguntas Motivadoras

¿Qué es una función de varias variables? ¿Qué entendemos por el dominio de una función de varias variables?
¿Cómo encontramos la distancia entre dos puntos en$\mathbb{R}^3\text{?}$ Cuál es la ecuación de una esfera en$\mathbb{R}^3\text{?}$
¿Qué es un rastro de una función de dos variables? ¿Qué nos dice un rastro sobre una función?
¿Qué es una curva de nivel de una función de dos variables? ¿Qué nos dice una curva de nivel sobre una función?

A lo largo de nuestras carreras matemáticas hemos estudiado funciones de una sola variable. Definimos una función de una variable como regla que asigna exactamente una salida a cada entrada. Analizamos estas funciones observando sus gráficas, calculando límites, diferenciando, integrando y más. Las funciones de varias variables serán el foco principal de los Capítulos 10 y 11, donde analizaremos estas funciones observando sus gráficas, calculando límites, diferenciando, integrando y más. Veremos que muchas de las ideas del cálculo de una sola variable se traducen bien en funciones de varias variables, pero también tendremos que hacer algunos ajustes. En este capítulo introducimos funciones de varias variables y luego discutimos algunas de las herramientas (vectores y funciones vectoriales) que nos ayudarán a comprender y analizar funciones de varias variables.

Vista previa de la actividad 9.1.1

Supongamos que invierte dinero en una cuenta que paga 5% de intereses compuestos continuamente. Si invierte$P$ dólares en la cuenta, la cantidad$A$ de dinero en la cuenta después de$t$ años viene dada por

\[ A = Pe^{0.05t}. \nonumber \]

Las variables$P$ y$t$ son independientes entre sí, así que usando notación funcional escribimos

\[ A(P,t) = Pe^{0.05t}. \nonumber \]

Encuentra la cantidad de dinero en la cuenta después de 7 años si originalmente inviertes 1000 dólares.
Evaluar$A(5000,8)\text{.}$ Explique en palabras lo que representa este cálculo.

Ahora considera sólo la situación en la que el monto invertido se fija en 1000 dólares. Calcular la cantidad de dinero en la cuenta después de$t$ años como se indica en la Tabla 9.1.1. Redondear los pagos al centavo más cercano.

Cuadro 9.1.1. Cantidad de dinero en una cuenta con una inversión inicial de 1000 dólares.

Duración (en años)	2	3	4	5	6
Monto (dólares)

Ahora consideremos la situación en la que queremos saber la cantidad de dinero en la cuenta después de 10 años dadas diversas inversiones iniciales. Calcular la cantidad de dinero en la cuenta como se indica en la Tabla 9.1.2. Redondear los pagos al centavo más cercano.

Cuadro 9.1.2. Cantidad de dinero en una cuenta después de 10 años.

Inversión inicial (dólares)	500	1000	5000	7500	10000
Monto (dólares)

Describa lo mejor que pueda las combinaciones de inversiones iniciales y tiempo que resulten en una cuenta que contenga $10,000.

9.1.1 Funciones de Varias Variables

Hasta este punto nos han preocupado las funciones de una sola variable. Lo que definió tal función es que cada entrada en el dominio produjo una salida única en el rango. Vimos un comportamiento similar en Preview Actividad 9.1.1, donde cada par$(P,t)$ de entradas produce una salida única$A(P,t)\text{.}$ Adicionalmente, las dos variables$P$ y no$t$ tenían relación real entre sí. Es decir, podríamos elegir cualquier valor de$P$ sin considerar qué valor$t$ podría tener, y podríamos seleccionar cualquier valor de$t$ usar sin tener en cuenta qué valor$P$ pudiera tener. Por esa razón decimos que las variables$t$ y$P$ son independientes entre sí. Así, llamamos a$A = A(P,t)$ una función de las dos variables independientes$P$ y$t\text{.}$ Esta es la idea clave en la definición de una función de dos variables independientes.

Definición 9.1.3

Una función$f$ de dos variables independientes es una regla que asigna a cada par ordenado$(x,y)$ en algún conjunto$D$ exactamente un número real$f(x,y)\text{.}$

Por supuesto, no hay razón para restringirnos a funciones de solo dos variables, podemos usar cualquier cantidad de variables que nos gusten. Por ejemplo,

\[ f(x,y,z) = x^2 - 2xz + \cos(y) \nonumber \]

define$f$ como una función de las tres variables$x\text{,}$$y\text{,}$ y$z\text{.}$ en general, una función de variables$n$ independientes es una regla que asigna a una$n$ -tupla ordenada$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ en algún conjunto$D$ exactamente un número real.

Al igual que con las funciones de una sola variable, es importante entender el conjunto de entradas para las que se define la función.

Definición 9.1.4

El dominio de una función$f$ es el conjunto de todas las entradas en las que se define la función.

Actividad 9.1.2

Identificar el dominio de cada una de las siguientes funciones. Dibuja una imagen de cada dominio en el$xy$ plano.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2$
$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$
$\displaystyle Q(x,y) = \frac{x+y}{x^2-y^2}$
$\displaystyle s(x,y) = \frac{1}{\sqrt{1-xy^2}}$

9.1.2 Representación de funciones de dos variables

Una de las técnicas que utilizamos para estudiar funciones de una variable es crear una tabla de valores. Podemos hacer lo mismo para funciones de dos variables, excepto que nuestras tablas tendrán que permitirnos realizar un seguimiento de ambas variables de entrada. Podemos hacer esto con una tabla bidimensional, donde enumeramos los$x$ -valores abajo de la primera columna y los$y$ -valores a través de la primera fila. Como ejemplo, supongamos que lanzamos un proyectil, usando un palo de golf, un cañón o algún otro dispositivo, desde el nivel del suelo. En condiciones ideales (ignorando la resistencia al viento, el giro o cualquier otra fuerza excepto la fuerza de la gravedad) la distancia horizontal que recorrerá el objeto depende de$x$ la velocidad inicial que se le dé al objeto, y del ángulo$y$ en el que se lanza. Si dejamos$f$ representar la distancia horizontal que recorre el objeto, entonces$f$ es una función de las dos variables$x$ y$y\text{,}$ y representamos$f$ en notación funcional por

\[ f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2 y)}{g}, \nonumber \]

donde$g$ esta la aceleracion debida a la gravedad. (Tenga en cuenta que$g$ es constante, 32 pies por segundo al cuadrado. Derivaremos esta ecuación en una sección posterior.) Para crear una tabla de valores para$f\text{,}$ enumeramos los$x$ -valores abajo de la primera columna y los$y$ -valores a través de la primera fila. El valor$f(x,y)$ se muestra luego en la ubicación donde la$x$ fila intersecta a la$y$ columna, como se muestra en la Tabla 9.1.5 (donde medimos$x$ en pies por segundo y$y$ en radianes).

Cuadro 9.1.5. Valores de$f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2y)}{g}\text{.}$
$x\backslash y$	$0.2$	$0.4$	$0.6$	$0.8$	$1.0$	$1.2$	$1.4$
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">25	\ (0.2\) ">7.6	\ (0.4\) ">14.0	\ (0.6\) ">18.2	\ (0.8\) ">19.5	\ (1.0\) ">17.8	\ (1.2\) ">13.2	\ (1.4\) ">6.5
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">50	\ (0.2\) ">30.4	\ (0.4\) ">56.0	\ (0.6\) ">72.8	\ (0.8\) ">78.1	\ (1.0\) ">71.0	\ (1.2\) ">	\ (1.4\) ">26.2
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">75	\ (0.2\) ">68,4	\ (0.4\) ">	\ (0.6\) ">163.8	\ (0.8\) ">175.7	\ (1.0\) ">159.8	\ (1.2\) ">118.7	\ (1.4\) ">58,9
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">100	\ (0.2\) ">121.7	\ (0.4\) ">224.2	\ (0.6\) ">291.3	\ (0.8\) ">312.4	\ (1.0\) ">284.2	\ (1.2\) ">211.1	\ (1.4\) ">104.7
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">125	\ (0.2\) ">190.1	\ (0.4\) ">350.3	\ (0.6\) ">455.1	\ (0.8\) ">	\ (1.0\) ">444.0	\ (1.2\) ">329.8	\ (1.4\) ">163.6
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">150	\ (0.2\) ">273.8	\ (0.4\) ">504.4	\ (0.6\) ">655.3	\ (0.8\) ">702.8	\ (1.0\) ">639,3	\ (1.2\) ">474.9	\ (1.4\) ">235.5
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">175	\ (0.2\) ">372.7	\ (0.4\) ">686.5	\ (0.6\) ">892.0	\ (0.8\) ">956.6	\ (1.0\) ">870.2	\ (1.2\) ">646,4	\ (1.4\) ">
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">200	\ (0.2\) ">486.8	\ (0.4\) ">896.7	\ (0.6\) ">1165.0	\ (0.8\) ">1249.5	\ (1.0\) ">1136.6	\ (1.2\) ">844.3	\ (1.4\) ">418.7
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">225	\ (0.2\) ">616.2	\ (0.4\) ">1134.9	\ (0.6\) ">1474.5	\ (0.8\) ">1581.4	\ (1.0\) ">1438.5	\ (1.2\) ">1068.6	\ (1.4\) ">530.0
\ (x\ barra invertida y\)” alcance="fila">250	\ (0.2\) ">760.6	\ (0.4\) ">1401.1	\ (0.6\) ">	\ (0.8\) ">1952.3	\ (1.0\) ">1776.0	\ (1.2\) ">1319.3	\ (1.4\) ">654.3

Actividad 9.1.3

Completa la Tabla 9.1.5 rellenando los valores faltantes de la función$f\text{.}$ Redondear entradas a la décima más cercana.

Si$f$ es una función de una sola variable$x\text{,}$ entonces definimos la gráfica de$f$ para que sea el conjunto de puntos de la forma$(x,f(x))\text{,}$ donde$x$ está en el dominio de$f\text{.}$ Nosotros luego trazamos estos puntos usando los ejes de coordenadas con el fin de visualizar la gráfica. Podemos hacer algo similar con funciones de varias variables. La Tabla 9.1.5 identifica puntos de la forma$(x,y,f(x,y))\text{,}$ y definimos la gráfica de$f$ para ser el conjunto de estos puntos.

Definición 9.1.6: Gráfica

La gráfica de una función$f = f(x,y)$ es el conjunto de puntos de la forma$(x,y,f(x,y))\text{,}$ donde el punto$(x,y)$ está en el dominio de$f\text{.}$

También a menudo nos referimos a la gráfica de una función$f$ de dos variables ya que la superficie generada por$f\text{.}$ Puntos en la forma$(x,y,f(x,y))$ están en tres dimensiones, por lo que trazar estos puntos requiere un poco más de trabajo que gráficas de funciones en dos dimensiones. Para trazar estos puntos tridimensionales, necesitamos establecer un sistema de coordenadas con tres ejes mutuamente perpendiculares: el$x$ eje -eje, el$y$ eje -y el$z$ eje -eje (llamados ejes de coordenadas). Básicamente, hay dos formas diferentes en las que podríamos establecer un sistema de coordenadas 3D, como se muestra en la Figura 9.1.7; así, antes de que podamos continuar, necesitamos establecer una convención.

Figura 9.1.7. Izquierda: Un sistema de mano izquierda. Derecha: Un sistema de mano derecha

La distinción entre estas dos figuras es sutil, pero importante. En el sistema de coordenadas que se muestra a la izquierda en la figura 9.1.7, imagina que estás sentado en el$z$ eje positivo junto a la etiqueta “$z\text{.}$” Mirando hacia abajo a los$y$ ejes$x$ - y -se ve que el$y$ eje -se obtiene girando el$x$ -eje por 90$^\circ$ en el en sentido horario. De nuevo sentado en el$z$ eje positivo en el sistema de coordenadas a la derecha en la Figura 9.1.7, se ve que el$y$ eje -se obtiene girando el$x$ eje -90$^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj.

Llamamos al sistema de coordenadas a la derecha en la Figura 9.1.7 un sistema de la derecha; si apuntamos el dedo índice de nuestra mano derecha a lo largo del$x$ eje positivo y nuestro dedo medio a lo largo del$y$ eje positivo, entonces nuestro pulgar apunta en la dirección del positivo$z$ - eje. Siguiendo las convenciones matemáticas, elegimos utilizar un sistema de mano derecha a lo largo de este libro.

Ahora que hemos establecido una convención para un sistema de la derecha, podemos dibujar una gráfica de la función de distancia definida por$f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2y)}{g}\text{.}$ Note que la función$f$ es continua en ambas variables, así que cuando trazamos estos puntos en el sistema de coordenadas de la derecha, podemos conectarlos todos para formar una superficie en 3-espacio. La gráfica de la función de distancia$f$ se muestra en la Figura 9.1.8.

Figura 9.1.8. La superficie de distancia.

Hay muchas herramientas de gráficos disponibles para dibujar superficies tridimensionales como se indica en el Prefacio (consulte Enlaces a gráficos interactivos en Características del texto). Dado que podremos visualizar gráficas de funciones de dos variables independientes, pero no funciones de más de dos variables, trataremos principalmente de funciones de dos variables en este texto. Es importante señalar, sin embargo, que las técnicas que desarrollamos se aplican a funciones de cualquier número de variables.

Notación: Dejamos$\mathbb{R}^2$ denotar el conjunto de todos los pares ordenados de números reales en el plano (dos copias del sistema de números reales) y dejamos$\mathbb{R}^3$ representar el conjunto de todos los triples ordenados de números reales (que constituye el tres-espacio).

9.1.3 Algunas ecuaciones estándar en tres espacios

Además de graficar funciones, también vamos a querer entender gráficas de algunas ecuaciones simples en tres dimensiones. Por ejemplo, en$\mathbb{R}^2\text{,}$ las gráficas de las ecuaciones$x=a$ y$y=b\text{,}$ dónde$a$ y$b$ son constantes, se encuentran líneas paralelas a los ejes de coordenadas. En la siguiente actividad consideramos sus análogos tridimensionales.

Actividad 9.1.4

Considera el conjunto de puntos$(x,y,z)$ que satisfacen la ecuación$x=2\text{.}$ Describe este conjunto lo mejor que puedas.
Considera el conjunto de puntos$(x,y,z)$ que satisfacen la ecuación$y=-1\text{.}$ Describe este conjunto lo mejor que puedas.
Considera el conjunto de puntos$(x,y,z)$ que satisfacen la ecuación$z=0\text{.}$ Describe este conjunto lo mejor que puedas.

La actividad 9.1.4 muestra que las ecuaciones donde una variable independiente es constante conducen a planos paralelos a los que resultan de un par de ejes de coordenadas. Cuando hacemos la constante 0, obtenemos los planos de coordenadas. El$xy$ -plano satisface$z=0\text{,}$ el$xz$ -plano satisface$y=0\text{,}$ y el$yz$ -plano satisface$x=0$ (ver Figura 9.1.9).

Figura 9.1.9. Los planos de coordenadas.

En una nota relacionada, definimos un círculo en$\mathbb{R}^2$ como el conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto fijo. En$\mathbb{R}^3\text{,}$ llamamos esfera al conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto fijo. Para encontrar la ecuación de una esfera, necesitamos entender cómo calcular la distancia entre dos puntos en tres espacios, y exploramos esta idea en la siguiente actividad.

Actividad 9.1.5

Dejar$P=(x_0, y_0, z_0)$ y$Q=(x_1, y_1, z_1)$ ser dos puntos en$\mathbb{R}^3\text{.}$ Estos dos puntos forman vértices opuestos de una caja rectangular cuyos lados son planos paralelos a los planos de coordenadas como se ilustra en la Figura 9.1.10, y la distancia entre$P$ y$Q$ es la longitud de la diagonal azul mostrada en Figura 9.1.10.

Figura 9.1.10. La fórmula de distancia en$\mathbb{R}^3\text{.}$

Considera el triángulo rectángulo$PRS$ en la base de la caja cuya hipotenusa se muestra como la línea roja en la Figura 9.1.10. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de este triángulo? Dado que este triángulo rectángulo se encuentra en un plano, podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar una fórmula para la longitud de la hipotenusa de este triángulo. Encuentra tal fórmula, que será en términos de$x_0\text{,}$$y_0\text{,}$$x_1\text{,}$ y$y_1\text{.}$
Ahora observe que el triángulo$PRQ$ cuya hipotenusa es el segmento azul que conecta los puntos$P$ y$Q$ con una pierna como la hipotenusa$PR$ del triángulo que se encuentra en la parte (a) se encuentra enteramente en un plano, por lo que podemos volver a utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de su hipotenusa. Explique por qué la longitud de esta hipotenusa, que es la distancia entre los puntos$P$ y$Q\text{,}$ es
\[ \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}. \nonumber \]

Es importante recordar la fórmula desarrollada en la Actividad 9.1.5.

La distancia entre puntos

La distancia entre puntos$P=(x_0, y_0, z_0)$ y$Q=(x_1, y_1, z_1)$ (denotada como$|PQ|$) in$\mathbb{R}^3$ viene dada por la fórmula

\[ |PQ| = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}.\label{eq-9-1-Distance-3D}\tag{9.1.1} \]

La ecuación (9.1.1) se puede utilizar para derivar la fórmula para una esfera centrada en un punto$(x_0,y_0,z_0)$ con radio$r\text{.}$ Dado que la distancia desde cualquier punto$(x,y,z)$ de dicha esfera hasta el punto$(x_0,y_0,z_0)$ es$r\text{,}$ el punto$(x,y,z)$ satisfará la ecuación

\[ \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} = r \nonumber \]

Al cuadrar ambos lados, llegamos a la ecuación estándar para una esfera.

La ecuación de una esfera

La ecuación de una esfera con centro$(x_0,y_0,z_0)$ y radio$r$ es

\[ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2. \nonumber \]

Esto tiene sentido si comparamos esta ecuación con su análogo bidimensional, la ecuación de un círculo de radio$r$ en el plano centrado en$(x_0,y_0)\text{:}$

\[ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2. \nonumber \]

9.1.4 Rastros

Cuando estudiamos funciones de varias variables, a menudo nos interesa cómo cada variable individual afecta la función en sí misma. En Preview Activity 9.1.1, vimos que la cantidad de dinero en una cuenta depende de la cantidad inicialmente invertida y de la duración de la inversión. No obstante, si fijamos la inversión inicial, la cantidad de dinero en la cuenta depende únicamente de la duración de la inversión, y si establecemos la duración de la constante de inversión, entonces la cantidad de dinero en la cuenta depende únicamente de la inversión inicial. Esta idea de mantener constante una variable mientras permitimos que la otra cambie será una herramienta importante para nosotros a la hora de estudiar funciones de varias variables.

Como otro ejemplo, considere nuevamente la función de distancia$f$ definida por

\[ f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2y)}{g} \nonumber \]

donde$x$ es la velocidad inicial de un objeto en pies por segundo,$y$ es el ángulo de lanzamiento en radianes, y$g$ es la aceleración debida a la gravedad (32 pies por segundo al cuadrado). Si mantenemos constante el ángulo de lanzamiento en$y=0.6$ radianes, podemos considerar solo$f$ una función de la velocidad inicial. En este caso tenemos

\[ f(x) = \frac{x^2}{32}\sin(2\cdot 0.6). \nonumber \]

Podemos trazar esta curva en la superficie trazando los puntos en la superficie cuando$y = 0.6\text{,}$ como se muestra a la izquierda en la Figura 9.1.11. La fórmula muestra claramente que$f$ es cuadrático en la$x$ dirección. Más descriptivamente, a medida que aumentamos la velocidad de lanzamiento manteniendo constante el ángulo de lanzamiento, la distancia horizontal que recorre el objeto aumenta proporcionalmente al cuadrado de la velocidad inicial.

Del mismo modo, si fijamos la velocidad inicial a 150 pies por segundo, podemos considerar la distancia como una función del ángulo de lanzamiento solamente. En este caso tenemos

\[ f(y) = \frac{150^2 \sin(2y)}{32}. \nonumber \]

Podemos nuevamente trazar esta curva en la superficie trazando los puntos en la superficie cuando$x=150\text{,}$ como se muestra a la derecha en la Figura 9.1.11. La fórmula muestra claramente que$f$ es sinusoidal en la$y$ dirección -dirección. Más descriptivamente, a medida que aumentamos el ángulo de lanzamiento manteniendo constante la velocidad inicial, la distancia horizontal recorrida por el objeto es proporcional al seno del doble del ángulo de lanzamiento.

Figura 9.1.11. Izquierda: La traza con$y = 0.6\text{.}$ Derecha: La traza con$x = 150\text{.}$

Las curvas que definimos cuando fijamos una de las variables independientes en nuestra función de dos variables se llaman trazas.

Definición 9.1.12

Una traza de una función$f$ de dos variables independientes$x$ y$y$ en la$x$ dirección es una curva de la forma$z = f(x,c)\text{,}$ donde$c$ es una constante. De igual manera, una traza de una función$f$ de dos variables independientes$x$ y$y$ en la$y$ dirección es una curva de la forma$z = f(c,y)\text{,}$ donde$c$ es una constante.

Comprender las tendencias en el comportamiento de las funciones de dos variables puede ser un desafío, al igual que esbozar sus gráficas; las huellas nos ayudan con cada una de estas tareas.

Actividad 9.1.6

En las siguientes preguntas, investigamos el uso de trazas para comprender mejor una función a través de tablas y gráficas.

a. Identificar la$y = 0.6$ traza para la función de distancia$f$ definida$f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2y)}{g}$ por resaltando o dando vueltas a las celdas apropiadas en la Tabla 9.1.5. Escribe una oración para describir el comportamiento de la función a lo largo de esta traza.

b. Identificar la$x = 150$ traza para la función de distancia resaltando o dando vueltas a las celdas apropiadas en la Tabla 9.1.5. Escribe una oración para describir el comportamiento de la función a lo largo de esta traza.

Figura 9.1.13. Coordina ejes para trazar trazas.

c. Para la función$g$ definida por$g(x,y) = x^2 + y^2 + 1\text{,}$ explicar el tipo de función que será cada traza en la$x$ dirección (manteniendo$y$ constante). Trazar las$y=4$ trazas$y=-4\text{,}$$y=-2\text{,}$$y=0\text{,}$$y=2\text{,}$ y en el sistema de coordenadas tridimensionales proporcionado en la Figura 9.1.13.

d. para la función$g$ definida por$g(x,y) = x^2 + y^2 + 1\text{,}$ explicar el tipo de función que será cada traza en la$y$ dirección (manteniendo$x$ constante). Trazar las$x=4$ trazas$x=-4\text{,}$$x=-2\text{,}$$x=0\text{,}$$x=2\text{,}$ y en el sistema de coordenadas tridimensionales en la Figura 9.1.13.

e. Describir la superficie generada por la función$g\text{.}$

9.1.5 Mapas de Contorno y Curvas de Nivel

Todos hemos visto mapas topográficos como el de las Montañas Puercoespín en la península alta de Michigan que se muestra en la Figura 9.1.14. ¹ Las curvas de estos mapas muestran las regiones de altitud constante. Los contornos también representan cambios en la altitud: los contornos que están muy juntos significan ascensos o descensos pronunciados, mientras que los contornos que están muy separados indican solo ligeros cambios en la elevación. Así, los mapas de contorno nos dicen mucho sobre superficies tridimensionales. Matemáticamente, si$f(x,y)$ representa la altitud en el punto$(x,y)\text{,}$ entonces cada contorno es la gráfica de una ecuación de la forma$f(x,y) = k\text{,}$ para alguna constante$k\text{.}$

Fuente del mapa: Departamento de Recursos Naturales de Michigan, con permiso de la DNR de Michigan y Bob Wild.

Figura 9.1.14. Mapa de contorno de las Montañas Puercoespín.

Actividad 9.1.7

En el mapa topográfico de las Montañas Puercoespín de la Figura 9.1.14,

identificar los puntos más altos y más bajos que pueda encontrar;
desde un punto de su elección, determine un camino de ascenso más empinado que conduzca al punto más alto;
a partir de ese mismo punto inicial, determinar el camino menos empinado que conduce al punto más alto.

Las curvas en una superficie que describen puntos a la misma altura o nivel se denominan curvas de nivel.

Definición 9.1.15

Una curva de nivel (o contorno) de una función$f$ de dos variables independientes$x$ y$y$ es una curva de la forma$k = f(x,y)\text{,}$ donde$k$ es una constante.

Los mapas topográficos se pueden utilizar para crear una superficie tridimensional a partir de los contornos bidimensionales o curvas de nivel. Por ejemplo, las curvas de nivel de la función de distancia definida por$f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2y)}{32}$ trazadas en el$xy$ plano -se muestran a la izquierda en la Figura 9.1.16. Si levantamos estos contornos y los trazamos en sus respectivas alturas, entonces obtenemos una imagen de la propia superficie, como se ilustra a la derecha en la Figura 9.1.16.

Figura 9.1.16. Izquierda: Curvas de nivel. Derecha: Curvas de nivel a alturas apropiadas.

El uso de curvas de nivel y trazas puede ayudarnos a construir la gráfica de una función de dos variables.

Actividad 9.1.8

Figura 9.1.17. Izquierda: Curvas de nivel para$f(x,y) = x^2+y^2\text{.}$ Derecho: Curvas de nivel para$g(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\text{.}$

Deje$f(x,y) = x^2+y^2\text{.}$ Dibujar las curvas de nivel$f(x,y) = k$ para$k=1\text{,}$$k=2\text{,}$$k=3\text{,}$ y$k=4$ en el conjunto izquierdo de ejes dados en la Figura 9.1.17. (Usted decide sobre la escala de los ejes.) Explica cómo se$f$ ve la superficie definida por.
Deje$g(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\text{.}$ Dibujar las curvas de nivel$g(x,y) = k$ para$k=1\text{,}$$k=2\text{,}$$k=3\text{,}$ y$k=4$ sobre el conjunto derecho de ejes dados en la Figura 9.1.17. (Usted decide sobre la escala de los ejes.) Explica cómo se$g$ ve la superficie definida por.
Compara y contrasta las gráficas de$f$ y$g\text{.}$ ¿Cómo son iguales? ¿En qué se diferencian? Utilice trazas para cada función para ayudar a responder estas preguntas.

Las trazas y curvas de nivel de una función de dos variables son curvas en el espacio. Para entender mejor estas trazas y curvas de nivel, primero dedicaremos un tiempo a aprender sobre vectores y funciones valoradas por vectores en las próximas secciones y volveremos a nuestro estudio de funciones de varias variables una vez que tengamos esas herramientas más matemáticas para apoyar su estudio.

9.1.6 Una galería de funciones

Terminamos esta sección considerando una colección de funciones e ilustrando sus gráficas y algunas curvas de nivel.

Figura 9.1.18. $z=x^2+y^2$

Figura 9.1.19. $z=4-(x^2+y^2)$

Figura 9.1.20. $z = \sqrt{z^2 + y^2}$

Figura 9.1.21. $z = x^2 - y^2$

Figura 9.1.22. $z = \sin (x) + \sin (y)$

Figura 9.1.23. $z = y^2 - x^3 + x$

Figura 9.1.24. $z = xye^{-x^2-y^2}$

9.1.7 Resumen

Una función$f$ de varias variables es una regla que asigna un número único a una colección ordenada de entradas independientes. El dominio de una función de varias variables es el conjunto de todas las entradas para las que se define la función.
En$\R^3\text{,}$ la distancia entre puntos$P=(x_0, y_0, z_0)$ y$Q=(x_1, y_1, z_1)$ (denotado como$|PQ|$) viene dada por la fórmula
\[ |PQ| = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}. \nonumber \]

y así la ecuación de una esfera con centro$(x_0,y_0,z_0)$ y radio$r$ es

\[ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2. \nonumber \]
Una traza de una función$f$ de dos variables independientes$x$ y$y$ es una curva de la forma$z = f(c,y)$ o$z = f(x,c)\text{,}$ donde$c$ es una constante. Una traza nos dice cómo la función depende de una sola variable independiente si tratamos a la otra variable independiente como una constante.
Una curva de nivel de una función$f$ de dos variables independientes$x$ y$y$ es una curva de la forma$k = f(x,y)\text{,}$ donde$k$ es una constante. Una curva de nivel describe el conjunto de entradas que conducen a una salida específica de la función.