Prefacio

Este libro cubre el cálculo de una sola variable. Es adecuado para un curso de un año (o de dos semestres), normalmente conocido como Cálculo I y II en Estados Unidos. Los prerrequisitos son álgebra secundaria o universitaria, geometría y trigonometría. El libro está diseñado para estudiantes de ingeniería, física, matemáticas, química y otras ciencias.

Una razón para escribir este texto fue porque ya había escrito su secuela, Cálculo vectorial. Una razón más importante fue mi insatisfacción con la cosecha actual de libros de texto de cálculo; están demasiado hinchados y llenos de pelusa, y se vuelven más cada año. Enormes libros de texto envían una mala señal, si el tema parece un dolor gigante para escabullirse, entonces así es exactamente como lo tratarán los estudiantes. Para empeorar las cosas, la tendencia que parece haber comenzado a principios de la década de 1960 de alejar el cálculo más lejos de sus raíces en la física parece estar acelerándose. ¹ Además, muchos de los enfoques y técnicas intuitivos de los primeros días del cálculo, que creo que a menudo arrojan más conocimientos para los estudiantes, parecen haberse perdido. Estas son algunas de las que considero las fallas fatales en casi todos los textos de cálculo actuales, ya sea que tomen el enfoque “tradicional”, “reforma”, o el llamado “riguroso”. ²

Estoy de acuerdo con las opiniones del fallecido matemático ruso V.I. Arnold sobre la enseñanza de las matemáticas, en particular la idea de que “las matemáticas son la parte de la física donde los experimentos son baratos”. ³ Los vínculos con la física son especialmente importantes en el cálculo, por lo que este libro trata de introducir nuevos conceptos con motivaciones físicas (¿qué otras motivaciones puede haber?). El libro contiene ejercicios y ejemplos que espero preparen adecuadamente a los estudiantes que continúan en física e ingeniería. ⁴

Quizás polémico, el libro usa infinitesimales, convirtiéndolo en un texto de cálculo un poco “retroceso” o “retro”. Mi justificación para este acto herético era puramente pedagógica: los infinitesimales facilitan el aprendizaje del cálculo, y su uso se alinea más con la forma en que los estudiantes verán el cálculo en sus clases y libros de texto de física, química y otras ciencias (donde los infinitesimales se emplean liberalmente). Esto podría arruinar algunas plumas entre los “puristas” matemáticos, pero no son el público principal de este libro. Dicho esto, el libro sigue siendo compatible con el enfoque habitual basado en límites, por lo que un instructor podría simplemente ignorar las partes que involucran infinitesimales y enseñar el material como lo haría normalmente. No quería ser dogmático, así que usé infinitesimales donde pensé que tenía sentido, y usé límites donde correspondía (por ejemplo, al discutir la continuidad, series). Nuevamente, la pedagogía era mi prioridad.

Los ejercicios al final de cada sección se dividen en tres categorías: A, B y C. Los ejercicios A son en su mayoría de naturaleza computacional rutinaria, los ejercicios B son un poco más involucrados y los ejercicios C suelen requerir algún esfuerzo o perspicacia para resolverlos. Una forma cruda de describir A, B y C sería “Fácil”, “Moderado” y “Desafiante”, respectivamente. Sin embargo, muchos de los ejercicios B son fáciles y no todos los ejercicios C son difíciles. El Apéndice A proporciona respuestas y sugerencias a muchos de los ejercicios impares y algunos de los ejercicios pares.

Algunos ejercicios requieren que el estudiante escriba un programa de computadora para resolver problemas de aproximación numérica (por ejemplo, métodos numéricos para aproximar integrales definidas). Los algoritmos se presentan en pseudocódigo, con implementaciones de código en varios lenguajes (principalmente Java, pero también C, Python, Octave, Sage). Espero que los comentarios del código ayuden al lector a descubrir qué se está haciendo, independientemente de la familiaridad con esos idiomas. Los estudiantes son libres de implementar soluciones utilizando el idioma de su elección. No hay “ejercicios de calculadora” dedicados, ya que esos han sido inútiles por la computación moderna (con la que los estudiantes necesitan familiarizarse).

Estilísticamente hice un esfuerzo consciente para romper con un modo desafortunado pero demasiado común de escribir en textos matemáticos, lamenté en el prefacio de un libro de física: “Nada es más repelente para los seres humanos normales que la sucesión clínica de definiciones, axiomas y teoremas generados por los trabajos de matemáticos puros”. ⁵ Yo mismo he sido culpable de ese pecado, pero he cambiado mis caminos y desterrado todo rastro de ese tipo de cosas de este libro. Así que no encontrarás Definición 1.2, Teorema 3.3, Corolario 4.6, Lema 5.7, Axioma 1B, etc. En cambio, traté de tomar prestado el mejor de los estilos de los libros de texto de física y lenguas extranjeras que tanto disfruté en la universidad. También evité deliberadamente lo que el autor Gore Vidal llamó el “nosotros-ness” que prevalece en la escritura académica. No hay una buena razón para el “nosotros real” en un libro de texto, y sale como un poco pomposo, así que no lo usaremos.

Este libro se publica bajo la Licencia de Documentación Libre de GNU (GFDL), que permite a otros no sólo copiar y distribuir el libro sino también modificarlo. Para más detalles, consulte la copia incluida de la GFDL. Para que no haya ambigüedad sobre este asunto, cualquiera puede hacer tantas copias de este libro como desee y distribuirlo como desee, sin necesidad de mi permiso. La versión PDF siempre estará disponible gratuitamente para el público sin costo alguno (vaya a http://www.mecmath.net/calculus). No dude en ponerse en contacto conmigo en mcorral@schoolcraft.edu para cualquier duda sobre este o cualquier otro asunto relacionado con el libro. Doy la bienvenida a sus comentarios.

Schoolcraft College Michael Corral
Diciembre 2020