2.1: Funciones inversas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Las derivadas calculadas en el capítulo anterior fueron principalmente para polinomios y algunas funciones trigonométricas. En este capítulo se mostrará cómo encontrar las derivadas de otro tipo de funciones, comenzando en esta sección con funciones inversas. La idea aquí es que si una función es diferenciable y tiene una inversa entonces esa función inversa también es diferenciable.

Recordemos que una función es una regla que asigna un solo objeto$y$ de un conjunto (el rango) a cada objeto$x$ de otro conjunto (el dominio). Esa regla se puede escribir como$y = f(x)$, donde$f$ esta la función (ver Figura [fig:function]). Existe una regla vertical simple para determinar si una regla$y=f(x)$ es una función:$f$ es una función si y solo si cada línea vertical cruza la gráfica de$y=f(x)$ en el plano$xy$ -coordenada como máximo una vez (ver Figura [fig:verticalrule]).

Recordemos que una función$f$ es uno a uno (a menudo escrito como$1-1$) si asigna valores distintos de$y$ a distintos valores de$x$. En otras palabras, si$x_1 \ne x_2$ entonces$f(x_1 ) \ne f(x_2 )$. Equivalentemente,$f$ es uno a uno si$f(x_1 ) = f(x_2 )$ implica$x_1 = x_2$. Existe una regla horizontal simple para determinar si una función$y=f(x)$ es uno a uno:$f$ es uno a uno si y solo si cada línea horizontal cruza la gráfica de$y=f(x)$ en el plano$xy$ -coordenada como máximo una vez (ver Figura [fig:horizontalrule]).

Si una función$f$ es uno a uno en su dominio, entonces$f$ tiene una función inversa, denotada por$f^{-1}$, tal que$y=f(x)$ si y solo si$f^{-1}(y) = x$. El dominio de$f^{-1}$ es el rango de$f$.

La idea básica es que$f^{-1}$ “deshace” lo que$f$ hace, y viceversa. En otras palabras,

\[\begin{aligned} {3} f^{-1}(f(x)) ~&=~ x \quad&&\text{for all $x$ in the domain of $f$, and}\\ f(f^{-1}(y)) ~&=~ y \quad&&\text{for all $y$ in the range of $f$.}\end{aligned}\]

Intuitivamente es claro que una función es uno a uno (y por lo tanto invertible) cuando está estrictamente aumentando o disminuyendo estrictamente; si la función, digamos, aumenta y luego disminuye (como en la Figura [fig:horizontalrule] (b)) entonces la regla horizontal sería violada alrededor de ese “punto de inflexión”. Para funciones diferenciables una derivada positiva significa que la función está aumentando, mientras que una derivada negativa significa que la función está disminuyendo (esto se probará en el Capítulo 3).

Sin embargo, una función aún puede ser uno a uno incluso si su derivada es cero solo en puntos aislados (es decir, no idénticamente cero en un intervalo completo de puntos) y positiva en cualquier otro lugar o negativa en cualquier otro lugar. Por ejemplo, la función$f(x) = x^3$ tiene derivada$f'(x) = 3x^2$, que es cero solo en el punto aislado$x = 0$ y positiva para todos los demás valores de$x$. Claramente$f$ es uno a uno sobre el conjunto de todos los números reales (¿por qué?) y por lo tanto tiene una función inversa$x = f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$ definida para todos los números reales$y$ (es decir, el rango de$f$).

Así, tener una derivada que sea siempre positiva o siempre negativa es suficiente para que una función sea uno-a-uno pero no necesaria. Sin embargo, es necesario tener una derivada distinta de cero para que la función inversa sea diferenciable.

En álgebra aprendiste eso$\frac{a}{b} = \frac{1}{\frac{b}{a}}$ para todos los números reales$a \ne 0$ y$b \ne 0$ (y por lo tanto$\frac{b}{a} \ne 0$). Lo mismo es cierto para los infinitesimales$\dy$ y$\dx$ (distintos de cero por definición) ya que pueden tratarse como números, lo que inmediatamente produce una fórmula para la derivada de una función inversa:

El inverso de una función seguiría existiendo en un punto donde$\dydx = 0$ pero no sería diferenciable ahí, ya que su derivada sería la cantidad indefinida$\frac{1}{0}$.

Ya que$y$ es una función de$x$,$\dydx$ será en términos de$x$ y por lo tanto$\frac{1}{\dydx}$ será en términos de$x$. Sin embargo, ya que (por invertibilidad)$x$ es una función de$y$, normalmente$\dxdy$ sería en términos de$y$, no$x$, para que los dos lados de la ecuación no$\dxdy = \frac{1}{\dydx}$ estén en los mismos términos! Una forma de manejar esta discrepancia es usar la fórmula$y = f(x)$ para resolver$x$ en términos de$y$ entonces sustituir esa expresión en$\dydx$, así que eso$\dxdy = \frac{1}{\dydx}$ es ahora en términos de$y$. Eso podría no ser siempre posible, sin embargo (por ejemplo, intente resolver$x$ en la fórmula$y = x \sin x$).

Ejemplo$\PageIndex{1}$: invderiv

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la inversa$f^{-1}$ de la función$f(x) = x^3$ luego encuentra la derivada de$f^{-1}$.

Solución: La función$y = f(x) = x^3$ es uno a uno sobre el conjunto de todos los números reales (¿por qué?) por lo que tiene una función inversa$x = f^{-1}(y)$ definida para todos los números reales, a saber$x = f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$.

El derivado de$f^{-1}$ es

\[\begin{aligned} \dxdy ~&=~ \frac{1}{\dydx} ~=~ \frac{1}{3x^2} \quad\text{, which is in terms of $x$, so putting it in terms of $y$ yields}\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {3\ left (\ sqrt [3] {y}\ right) ^2} ~=~\ frac {1} {3 y^ {2/3}}\ end {alineado}\] que concuerda con la derivada obtenida diferenciando$x = \sqrt[3]{y}$ directamente. Obsérvese que esta derivada se define para todos$y$ excepto$y = 0$, lo que ocurre cuando$x = \sqrt[3]{0} = 0$, es decir, en el punto$(x,y) = (0,0)$.

Las funciones a menudo se expresan en términos de$x$, por lo que es común ver una función inversa también expresada en términos de$x$: escribir la inversa de$f(x) = x^3$ como$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ (no as$f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$)), por confuso que pueda ser. En ese caso, la idea es cambiar los roles de$x$ y$y$ en la función original$y = f(x)$, haciéndola$x = f(y)$, y luego escribir$y = f^{-1}(x)$ y usar

\[\dydx ~=~ \frac{1}{\dxdy}\]poner la derivada de$f^{-1}$ en términos de$x$, siguiendo el mismo procedimiento mencionado anteriormente.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: invderivalt

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la inversa$f^{-1}$ de la función$f(x) = x^3$ luego encuentra la derivada de$f^{-1}$.

Solución: Reescribir$y = f(x) = x^3$ como$x = f(y) = y^3$, para que su función inversa$y = f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}$ tenga derivada

\[\begin{aligned} \dydx ~&=~ \frac{1}{\dxdy} ~=~ \frac{1}{3y^2} \quad\text{, which is in terms of $y$, so putting it in terms of $x$ yields}\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {3\ left (\ sqrt [3] {x}\ right) ^2} ~=~\ frac {1} {3 x^ {2/3}}\ end {alineado}\] que concuerda con la derivada obtenida diferenciando$y = \sqrt[3]{x}$ directamente.

Para obtener una fórmula en notación prima para la derivada de una función inversa, observe que para todos$x$ en el dominio de una función diferenciable invertible$f$,

\[f^{-1}(f(x)) ~=~ x \quad\Rightarrow\quad \ddx\,\left(f^{-1}(f(x))\right) ~=~ \ddx\,(x) \quad\Rightarrow\quad \left(f^{-1}\right)'(f(x)) \;\cdot\; f'(x) ~=~ 1\]por la Regla de la Cadena, y por lo tanto:

[sec2dot1]

Para los Ejercicios 1-8, mostrar que la función dada$y = f(x)$ es uno a uno sobre el intervalo dado, luego encuentra las fórmulas para la función inversa$f^{-1}$ y su derivada. Ejemplo de uso

Ejemplo$\PageIndex{1}$: invderivalt

Agrega texto aquí.

Solución

como guía, incluyendo el putting$f^{-1}$ y su derivado en términos de$x$.

$f(x) = x$, para todos$x$

$f(x) = 3x$, para todos$x$

$f(x) = x^2$, para todos$x \ge 0$

$f(x) = \sqrt{x}$, para todos$x \ge 0$

$f(x) = \frac{1}{x}$, para todos$x > 0$

$f(x) = \frac{1}{x}$, para todos$x < 0$

$f(x) = \frac{1}{x^2}$, para todos$x > 0$

$f(x) = x^5$, para todos$x\vphantom{\frac{1}{x^2}}$

El círculo unitario$x^2 + y^2 = 1$ no define$y$ como una sola función de$x$, ya que$y = \pm \sqrt{1 - x^2}$ define dos funciones separadas. Pero la parte del círculo unitario en el primer cuadrante, es decir, for$0 \le x \le 1$ y$0 \le y \le 1$, sí define$y = f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ como una sola función de$x$ eso es uno a uno en el intervalo$\ival{0}{1}$. Encuentra las fórmulas para su función inversa$f^{-1}$ y su derivada. [[1.] ]

Mostrar que si$f$ es diferenciable e invertible, y si$f^{-1}$ es dos veces diferenciable, entonces

\[\left(f^{-1}\right)''(x) ~=~ -\frac{f''(f^{-1}(x))}{\left(f'(f^{-1}(x))\right)^3} ~.\]

La notación de arco$\arcsin\,x$,$\arccos\,x$,$\arctan\,x$,$\arccsc\,x$,$\arcsec\,x$,$\arccot\,x$ se utiliza a menudo en lugar de$\sin^{-1}x$,,,$\cos^{-1}x$,$\tan^{-1}x$,$\csc^{-1}x$,$\sec^{-1}x$,$\cot^{-1}x$,, respectivamente. ↩
Para el caso general ver pp.61-63 en Franklin, P., Un tratado de cálculo avanzado, Nueva York: Dover Publications, Inc., 1964. ↩
Por ejemplo, para ver cómo se calculan las raíces cuadradas y las raíces cubicas véase el Capítulo 2 en Fike, C.T., Computer Evaluation of Mathematical Functions, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1968. ↩
Se demostrará en el Capítulo 9 que este límite sí existe de hecho. ↩
Este es sin duda un argumento de “agitando la mano”. En el Capítulo 3 se discutirá un método más exacto para probar límites como éste. ↩
Este texto casi utilizado$\log\,x$ también, impedido sólo por el deseo de compatibilidad con otros textos matemáticos. ↩
Tenga en cuenta que cuando se usa la fórmula$\ln\,\left(\frac{a}{b}\right) = \ln\,a - \ln\,b$ en cálculos numéricos, especialmente en calculadoras de mano, es preferible usar el lado izquierdo de la ecuación, es decir$\ln\,\left(\frac{a}{b}\right)$, ya que el lado derecho$\ln\,a - \ln\,b$ es vulnerable al problema de la cancelación sustractiva, lo que puede dar una incorrecta respuesta de 0 si$a$ y$b$ son casi iguales. Para una discusión de cancelación sustractiva ver § 1.3 en Henrici, P., Essentials of Numerical Analysis, with Pocket Calculator Demostrations, New York: John Wiley & Sons, Inc., 1982. ↩
La notación binaria lleva a la broma “Hay 10 tipos de personas en el mundo: los que entienden binarios y los que no. ” ↩