7.3: Método de Euler
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- ¿Cuál es el método de Euler y cómo podemos utilizarlo para aproximar la solución a un problema de valor inicial?
- ¿Qué tan preciso es el método de Euler?
En la Sección 7.2, vimos cómo se puede usar un campo de pendiente para esbozar soluciones a una ecuación diferencial. En particular, el campo de pendiente es una gráfica de una gran colección de líneas tangentes a un gran número de soluciones de la ecuación diferencial, y esbozamos una única solución simplemente siguiendo estas líneas tangentes. Pensando un poco más, podemos usar esta misma idea para aproximar numéricamente las soluciones de una ecuación diferencial.
Considerar el problema de valor inicial
dydt=12(y+1), y(0)=0.
a. use la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente a la solucióny(t) ent=0. Luego use el valor inicial dado para encontrar la ecuación de la línea tangente ent=0.
b. Esbozar la línea tangente en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.1 en el intervalo0≤t≤2 y utilícela para aproximary(2), el valor de la solución ent=2.
c. Suponiendo que su aproximación paray(2) es el valor real dey(2), usar la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente ay(t) ent=2. Entonces, escriba la ecuación de la línea tangente ent=2.
d. Agregue un boceto de esta línea tangente en el intervalo2≤t≤4 a su trazado Figura 7.3.1; use esta nueva línea tangente para aproximary(4), el valor de la solución ent=4.
e. Repita el mismo paso para encontrar una aproximación paray(6).
7.3.1 Método de Euler
Vista previa Actividad 7.3.1 demuestra un algoritmo conocido como Método 1 de Euler, que genera una aproximación numérica a la solución de un problema de valor inicial. En este algoritmo, aproximaremos la solución tomando pasos horizontales de un tamaño fijo que denotamos porΔt.
Antes de explicar el algoritmo en detalle, recordemos cómo calculamos la pendiente de una línea: la pendiente es la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal, como se muestra en la Figura 7.3.2.
Es decir,m=ΔyΔt. Resolviendo paraΔy, vemos que el cambio vertical es producto de la pendiente y el cambio horizontal, o
Ahora, supongamos que nos gustaría resolver el problema de valor inicial
Existe un algoritmo mediante el cual podemos encontrar una fórmula algebraica para la solución a este problema de valor inicial, y podemos comprobar que esta solución esy(t)=t−1+2e−t. Pero en cambio estamos interesados en generar una solución aproximada creando una secuencia de puntos(ti,yi), dondeyi≈y(ti). Para esto primero ejemplo, elegimosΔt=0.2.
Ya que sabemos quey(0)=1, vamos a tomar el punto inicial para ser(t0,y0)=(0,1) y movernos horizontalmente porΔt=0.2 al punto(t1,y1). Así,t1=t0+Δt=0.2. Ahora, la ecuación diferencial nos dice que la pendiente de la línea tangente en este punto es
así que para movernos a lo largo de la línea tangente dando un paso horizontal de tamaño tambiénΔt=0.2, debemos movernos verticalmente por
Entonces tenemos la aproximacióny(0.2)≈y1=y0+Δy=1−0.2=0.8. En este punto, hemos ejecutado un paso del método de Euler, como se ve gráficamente en la Figura 7.3.3.
Ahora repetimos este proceso: en(t1,y1)=(0.2,0.8), la ecuación diferencial nos dice que la pendiente es
Si avanzamos horizontalmente porΔt at2=t1+Δ=0.4, debemos movernos verticalmente por
En consecuencia llegamos ay2=y1+Δy=0.8−0.12=0.68, lo que day(0.2)≈0.68. Ahora hemos completado el segundo paso del método de Euler, como se muestra en la Figura 7.3.4.
Si continuamos de esta manera, podremos generar los puntos que(ti,yi) se muestran en la Figura 7.3.5. Debido a que podemos encontrar una fórmula para la solución realy(t) a esta ecuación diferencial, podemos graficarlay(t) y compararla con los puntos generados por el método de Euler, como se muestra en la Figura 7.3.6.
Debido a que necesitamos generar una gran cantidad de puntos(ti,yi), es conveniente organizar la implementación del método de Euler en una tabla como se muestra. Comenzamos con los datos iniciales dados.
ti | yi | dy/dt | Δy |
0.0000 | 1.0000 |
A partir de aquí, calculamos la pendiente de la línea tangentem=dy/dt usando la fórmula parady/dt a partir de la ecuación diferencial, y luego encontramosΔy, el cambio en ely, uso de la reglaΔy=mΔt.
ti | yi | dy/dt | Δy |
0.0000 | 1.0000 | −1.0000 | −0.2000 |
A continuación, aumentamosti porΔt yyi porΔy para obtener
ti | yi | dy/dt | Δy |
0.0000 | 1.0000 | −1.0000 | −0.2000 |
0.2000 | 0.8000 |
Continuamos el proceso por cuantos pasos decidamos, generando eventualmente una tabla como la Tabla 7.3.7.
ti | yi | dy/dt | Δy |
0.0000 | 1.0000 | −1.0000 | −0.2000 |
0.2000 | 0.8000 | −0.6000 | −0.1200 |
0.4000 | 0.6800 | −0.2800 | −0.0560 |
0.6000 | 0.6240 | −0.0240 | −0.0048 |
0.8000 | 0.6192 | 0.1808 | 0.0362 |
1.0000 | 0.6554 | 0.3446 | 0.0689 |
1.2000 | 0.7243 | 0.4757 | 0.0951 |
Considerar el problema de valor inicial
- Utilice el método de Euler conΔt=0.2 para aproximar la solución enti=0.2,0.4,0.6,0.8, y1.0. Registrar su trabajo en la siguiente tabla, y bosquejar los puntos(ti,yi) en los ejes provistos.
Cuadro 7.3.8. Tabla para registrar resultados del método de Euler. ti yi dy/dt Δy 0.0000 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 Figura 7.3.9. Rejilla para trazar puntos generados por el método de Euler. - Encuentra la solución exacta al problema del valor inicial original y usa esta función para encontrar el error en tu aproximación en cada uno de los puntosti.
- Explicar por qué el valory5 generado por el método de Euler para este problema de valor inicial produce el mismo valor que una suma de Riemann izquierda para la integral definida∫10(2t−1) dt.
- ¿En qué diferirían tus cálculos si el valor inicial fueray(0)=1? ¿Qué significa esto sobre diferentes soluciones a esta ecuación diferencial?
Considerar la ecuación diferencialdydt=6y−y2.
- Esbozar el campo de pendiente para esta ecuación diferencial en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.10.
Figura 7.3.10. Rejilla para trazar el campo de pendiente de la ecuación diferencial dada.
- Identificar cualquier solución de equilibrio y determinar si son estables o inestables.
- Cuál es el comportamiento a largo plazo de la solución que satisface el valor inicialy(0)=1?
- Usando el valor inicialy(0)=1, utilice el método de Euler conΔt=0.2 para aproximar la solución enti=0.2,0.4,0.6,0.8, y1.0. Registrar sus resultados en la Tabla 7.3.11 y esbozar los puntos correspondientes(ti,yi) en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.12. Obsérvese la diferente escala horizontal en los ejes en la Figura 7.3.12 en comparación con la Figura 7.3.10.
Cuadro 7.3.11. Tabla para registrar resultados del método de Euler conΔt=0.2. ti yi dy/dt Δy 0.0 1.0000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figura 7.3.12. Ejes para trazar los resultados del método de Euler. - Qué sucede si aplicamos el método de Euler para aproximar la solución cony(0)=6?
7.3.2 El error en el método de Euler
Dado que estamos aproximando las soluciones a un problema de valor inicial usando líneas tangentes, debemos esperar que el error en la aproximación sea menor cuando el tamaño del paso sea menor. Considerar el problema de valor inicial
cuya solución podemos encontrar fácilmente.
La pregunta que plantea este problema de valor inicial es “qué función sabemos que es la misma que su propia derivada y tiene valor 1 cuandot=0?” No es difícil ver que la solución es Ahoray(t)=et. aplicamos el método de Euler para aproximarsey(1)=e usando varios valores deΔt. Estos las aproximaciones serán denotadas porEΔt, y las usaremos para ver qué tan preciso es el Método de Euler.
Para comenzar, aplicamos el método de Euler con un tamaño de paso deΔt=0.2. En ese caso, encontramos quey(1)≈E0.2=2.4883. El error es por lo tanto
Repetidamente el halvingΔt da los siguientes resultados, expresados tanto en forma tabular como gráfica.
Δt | EΔt | Error |
0.200 | 2.4883 | 0.2300 |
0.100 | 2.5937 | 0.1245 |
0.050 | 2.6533 | 0.0650 |
0.025 | 2.6851 | 0.0332 |
Observe, tanto numérica como gráficamente, que el error se reduce aproximadamente a la mitad cuandoΔt se reduce a la mitad. Este ejemplo ilustra el siguiente principio general.
Si se usa el método de Euler para aproximar la solución a un problema de valor inicial en un punto¯t, entonces el error es proporcional a EsΔt. decir,
por alguna constante de proporcionalidadK.
7.3.3 Resumen
- El método de Euler es un algoritmo para aproximar la solución a un problema de valor inicial siguiendo las líneas tangentes mientras damos pasos horizontales a través delt eje.
- Si queremos aproximary(¯t) para algunos fijos¯t tomando pasos horizontales de tamañoΔt, entonces el error en nuestra aproximación es proporcional aΔt.